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人教版新课标A必修12.3 幂函数教案及反思
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这是一份人教版新课标A必修12.3 幂函数教案及反思，共22页。
2.3 幂函数
整体设计
教学分析
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.
三维目标
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.
2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.
3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.
教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.
5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量).
（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）.
思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？
问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.
问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?
问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.
函数 性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
特殊点
图象分布
问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？
问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?
活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.
讨论结果：
①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.
②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:
一般地,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.
④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.
列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
0
1
1.41
1.73
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x3
…
-27
-8
-1
0
1
8
27
…
y=x-1
…
-
-1
1
…
描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.
图2-3-1
让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图象,完成表格.
函数 性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
单调性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
特殊点
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
图象分布
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ、Ⅱ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.
⑥幂函数y=xα的性质.
（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；
（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.
特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.
当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.
（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.
在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
应用示例
思路1
例1判断下列函数哪些是幂函数.
①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.
活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.
解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;
②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
④y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.
点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数？
①y=x;②y=2x2;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3.
解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;
④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;
⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.
例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.
活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.
解：（1）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R.所以函数y=x的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数.
（2）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R+,所以函数y=x的定义域是R+,由于函数y=x的定义域不关于原点对称,所以函数y=x是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.
（3）要使函数y=x-2有意义,只需y=有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
例3证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.
活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.
证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.
证明：任取x1,x2∈［0,+∞),且x1＜x2,则
f(x1)-f(x2)===,
因为x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以＜0.
所以f(x1)
思路2
例1函数y＝（x2-2x）的定义域是( )
A.{x|x≠0或x≠2} B.（-∞,0）∪（2,＋∞）
C.（-∞,0］∪［2,＋∞) D.（0,2）
分析：函数y＝（x2-2x）化为y=,要使函数有意义需x2-2x＞0,即x＞2或x＜0,所以函数的定义域为{x|x＞2或x＜0}.
答案：B
变式训练
函数y＝（1-x2）的值域是( )
A.［0,＋∞) B.（0,1］ C.（0,1） D.［0,1］
活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.
函数的值域要根据函数的定义域来求.
函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.
分析：令t＝1-x2,则y＝,
因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
答案：D
点评：注意换元法在解题中的应用.
例2 比较下列各组数的大小：
（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.
比较数的大小,常借助于函数的单调性.
对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.
对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.
解：（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.
（2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.
点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.
知能训练
1.下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x
2.下列结论正确的是( )
A.幂函数的图象一定过原点 B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数 D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )
A.y=x3 B.y=x2 C.y= D.y=x
4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.
答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x
拓展提升
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.
①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x,y＝x;
③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y＝x.
活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.
解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.
图2-3-2 图2-3-3
图2-3-4 图2-3-5
①观察图2-3-2得到:
函数y＝x-1、y＝x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
②观察图2-3-3得到:
函数y＝x、y＝x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
③观察图2-3-4得到:
函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.
④观察图2-3-5得到:
函数y=x、y＝x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.
根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.
课堂小结
1.幂函数的概念.
2.幂函数的性质.
3.幂函数的性质的应用.
作业
课本P87习题2.3 1、2、3.
设计感想
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.
习题详解
(课本第79页习题2.3)
1.函数y=是幂函数.
2.解析:设幂函数的解析式为f（x）=xα,
因为点（2,）在图象上,所以=2α.
所以α=,即幂函数的解析式为f（x）=x,x≥0.
3.（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4；
（2）把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k=＝,即v=r4；
（3）把r=5代入v=r4,得v=×54≈3 086（cm3/s）,即r=5 cm时,该气体的流量速率为3 086 cm3/s.
备课资料
历史上数学计算方面的三大发明
你知道数学计算方面的三大发明吗?这就是阿拉伯数字、十进制和对数.
研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.
十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表示出来.
16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(Napier,J.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs,H.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”
一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.1707~1783)才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受.
(设计者：邓新国)
本章复习
整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型,面对纷繁复杂的变化现象,我们还可以根据变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界的变化规律的三类重要且常用的基本初等函数,本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质,因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下,综合复习所学知识,进行知识梳理和整合,同时通过进行知识梳理和整合,使学生形成知识网络,强化数学思想和方法的运用,通过复合函数和抽象函数的复习,提高学生的综合能力.
三维目标
1.理解指数与对数,指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系,通过提问,提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认知结构.
2.让学生熟悉,能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题,培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.
3.对复合函数,抽象函数有一个新的认识,培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力.
重点难点
教学重点：指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质.
教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题.
课时安排
1课时
教学过程
应用示例
思路1
例1计算:
(1)［(3)(5)0.5+(0.008)÷(0.02)×(0.32)］÷0.062 50.25;
（2）.
活动：学生观察、思考,学生观察式子的特点,特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价.
解：(1)原式=［()3×()·()2×0.5+(0.2)3×()÷(0.2)］÷(0.5)4×=［×+52÷］÷0.5=+10=.
（2）=
===.
点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用.
变式训练
如果已知log5427＝a,54b＝3,如何用a、b表示log10881?
解法一：由54b＝3得log543＝b.
所以log10881＝＝==.
解法二：由log5427=a,得54a=27,设x=log10881,则108x=81,
所以(542×27-1)x=3×27,即(542×54-a)x=54b×54a.
所以542x-ax=54a+b,即2x-ax=a+b.
因此,得x=.
点评：解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;解法二是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但解法二运算的技巧性较大.
例2已知a＞0,a≠1,x=,求(x+)n的值.
活动：学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,a与a具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,必要时给予提示.
x2-1=(a+a)2-1=(a+2·a0+a)-1=(a-2·a0+a)=(a-a)2.
这时应看到==|a-a|.
解：将x=(a+a)代入x2-1,得x2-1=(a+a)2-1=(a-a)2.
所以==|a-a|,
x+=(a+a)+ |a-a|=
所以(x+)n=
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.
例3若函数f(x)的定义域是(,3］,求f(log3x)的定义域.
活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数f(x)的定义域,求抽象函数f［g(x)］的定义域,要借助于f(x)的定义域来求,由于函数f(x)的定义域是(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,从中解出x,即为f(log3x)的定义域.
解：因为函数f(x)的定义域为(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,
即0.5＜log3x≤3,即＜x≤9.
因此函数f(log3x)定义域为(3,9］.
点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的定义域要严格注意对应法则.
变式训练
1.求函数y=的定义域.
2.求函数f(x)=的定义域.
答案：1.{x|x≠0且x≠1}.2.{x|x≤0}.
思路2
例1求函数y=的定义域、值域和单调区间.
活动：学生观察,思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;函数的值域要根据定义域来求;求函数的单调区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分母是一个指数式,因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单调性确定.
解：函数y=的定义域是全体实数,
因为y===［()x］2≥,所以函数的值域为［,+∞).
设u=()x,则它在(-∞,+∞)上单调递减,
而二次函数y=(u)2在u≤时是减函数,在u≥时是增函数,
令()x≤,则x≥1,令()x≥,则x≤1,
所以函数y=在［1,+∞)上是增函数,在(-∞,1］上是减函数.
点评：这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的.
例2已知函数f(x)=x(+).
(1)指出函数的奇偶性,并予以证明；
(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0),都有f(x)＞0.
解：(1)因为f(x)的定义域是不为0的实数,关于原点对称,
又f(-x)=-x(+)=x()=x(-1+)=x(+)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)当x＞0时,2x＞1,所以f(x)＞0.
当x＜0时,由f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x)＞0.
所以对一切x∈R,x≠0,恒有f(x)＞0.
点评：利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题,当x＜0时,证明f(x)＞0较繁,若注意到f(x)为偶函数,则只需证明当x＞0时,f(x)＞0,而这是显然的.
知能训练
课本P82复习参考题A组 1、3、4、6、8、10.
拓展提升
问题：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,过
A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,若
C恰好在函数y=log2x的图象上,试求A、B、C三点的坐标.
活动：学生先仔细审题,理解题目的含义,然后思考交流,教师适当时候提示指导.
画出函数的图象,设出点的坐标,由图形间的关系建立方程求解.
解：先画出函数的图象如图.
图2-1
设A(x1,log8x1)、B(x2,log8x2),
则C(x1,log8x2).因为C在函数y=log2x的图象上,
所以log8x2=log2x1,即log2x2=log2x1.
所以x2=x13.
又=,即=,
所以x1log8x13=x13log8x1.
所以3x1log8x1=x13log8x1.由x1>1,所以log8x1≠1.
从而有3x1=x13.所以x1=,x2=3.
所以A、B、C三点的坐标分别为A(,log83)、B(3,log83)、C(,log2).
课后作业
课本P82复习参考题A组 2、5、7、9.
设计感想
本堂课是对过去学过的一章知识进行复习,目的是构建知识体系,形成知识网络,总结解题的方法规律和思想,以便综合运用这些知识,使学生能够见题想法,见题有法,能够做到一题多解,触类旁通,由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题方法的总结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果,做到以不变应万变,使全体同学在知识和技能上都有较大的提高.
习题详解
(课本第82页复习参考题)
A组
1.（1）11；（2）；（3）；（4）.
2.（1）原式===;
（2）原式===.
3.（1）因为lg2=a,lg3=b,log125===,
所以log125=.
（2）因为log23=a,log37=b,log1456=====.
4.（1）（-∞,）∪（,+∞）;（2）［0,+∞）.
5.（,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.
6.（1）因为log67>log66=1,所以log67>1.
又因为log76log76.
（2）因为log3π>log33=1,所以log3π>1.又因为log20.8<0,所以log3π>log20.8.
7.证明：（1）因为f（x）=3x,所以f（x）·f（y）=3x×3y=3x+y.
又因为f（x+y）=3x+y,所以f（x）·f（y）=f（x+y）.
（2）因为f（x）=3x,所以f（x）÷f（y）=3x÷3y=3x-y.
又因为f（x-y）=3x-y,所以f（x）÷f（y）=f（x-y）.
8.证明:因为f（x）=lg,a、b∈（-1,1）,
所以f（a）+f（b）=lg=lg,
f（）=lg（）
=lg
=lg.
所以f（a）+f（b）=f（）.
9.（1）设保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式为y=k·ax（a>0,且a≠1）.
因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,
所以解得
所以y=192×0.93x,
即所求函数解析式为y=192×0.93x.
（2）当x=30 ℃时,y≈22（小时）；
当x=16 ℃时,y≈60（小时）,
即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时.
（3）图象如图：
图2-2
10.解析：设所求幂函数的解析式为f（x）=xα,因为f（x）的图象过点（2,）,
所以=2α,即2=2α.所以α=.所以f（x）=x（x>0）.
图略,f(x)为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.
B组
1.A
2.因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以+=+=lg2+lg5=lg10=1.
3.（1）f（x）=a在x∈（-∞,+∞）上是增函数.
证明：任取x1,x2∈（-∞,+∞）,且x1
=-
=.
因为x1,x2∈（-∞,+∞）,
所以
又因为x1
（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数,则f（-x）+f（x）=0,即a+a=0a=+=+=1,即存在实数a=1使f（x）=为奇函数.
4.证明:（1）因为f（x）=,g（x）=,
所以［g（x）］2-［f（x）］2=［g（x）+f（x）］［g（x）-f（x）］
=
=ex·e-x=ex-x=e0=1,
即原式得证.
（2）因为f（x）=,g（x）=,
所以f（2x）=,2f（x）·g（x）
=2··
=.
所以f（2x）=2f（x）·g（x）.
（3）因为f（x）=,g（x）=,
所以g（2x）=,
［g（x）］2+［f（x）］2=（）2+（）2
=
=.
所以g（2x）=［f（x）］2+［g（x）］2.
5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t=1时,θ=52,于是
52=15+(62-15)e-k,
解得k≈0.24,那么θ=15+47e-0.24t.
所以,当θ=42时,t≈2.3;当θ=32时,t≈4.2.
答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃.
6.(1)由P=P0e-kt可知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=(1-10%）P0.于是有(1-10%)P0=P0e-5k,
解得k=ln0.9,那么P=P0e.
所以,当t=10时,P=P0e=P0eln0.81=81%P0.
答:10小时后还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P0时,有50%P0=P0e,
解得t=≈33.
答:污染减少50%需要花大约33h.
(3)其图象大致如下:
图2-3
备课资料
【备用习题】
1.2006湖南卷函数y=的定义域是( )
A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞)
2.2006全国卷I已知函数f(x)=a,若f(x)为奇函数,则a=_________.
3.函数y=log2的值域是__________.
4.已知函数y=2x的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(16)=_________.
5.若函数y=log2［ax2+（a-1）x+］的定义域为R,则a的取值范围是_________.
参考答案：
1.D
2.a=
3.［2,+∞)
4.4
5.
2.3 幂函数
整体设计
教学分析
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.
三维目标
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.
2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.
3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.
教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.
5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量).
（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）.
思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？
问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.
问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?
问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.
函数 性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
特殊点
图象分布
问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？
问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?
活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.
讨论结果：
①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.
②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:
一般地,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.
④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.
列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
0
1
1.41
1.73
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x3
…
-27
-8
-1
0
1
8
27
…
y=x-1
…
-
-1
1
…
描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.
图2-3-1
让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图象,完成表格.
函数 性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
单调性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
特殊点
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
图象分布
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ、Ⅱ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.
⑥幂函数y=xα的性质.
（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；
（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.
特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.
当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.
（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.
在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
应用示例
思路1
例1判断下列函数哪些是幂函数.
①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.
活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.
解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;
②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
④y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.
点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数？
①y=x;②y=2x2;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3.
解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;
④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;
⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.
例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.
活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.
解：（1）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R.所以函数y=x的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数.
（2）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R+,所以函数y=x的定义域是R+,由于函数y=x的定义域不关于原点对称,所以函数y=x是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.
（3）要使函数y=x-2有意义,只需y=有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
例3证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.
活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.
证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.
证明：任取x1,x2∈［0,+∞),且x1＜x2,则
f(x1)-f(x2)===,
因为x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以＜0.
所以f(x1)
思路2
例1函数y＝（x2-2x）的定义域是( )
A.{x|x≠0或x≠2} B.（-∞,0）∪（2,＋∞）
C.（-∞,0］∪［2,＋∞) D.（0,2）
分析：函数y＝（x2-2x）化为y=,要使函数有意义需x2-2x＞0,即x＞2或x＜0,所以函数的定义域为{x|x＞2或x＜0}.
答案：B
变式训练
函数y＝（1-x2）的值域是( )
A.［0,＋∞) B.（0,1］ C.（0,1） D.［0,1］
活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.
函数的值域要根据函数的定义域来求.
函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.
分析：令t＝1-x2,则y＝,
因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
答案：D
点评：注意换元法在解题中的应用.
例2 比较下列各组数的大小：
（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.
比较数的大小,常借助于函数的单调性.
对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.
对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.
解：（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.
（2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.
点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.
知能训练
1.下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x
2.下列结论正确的是( )
A.幂函数的图象一定过原点 B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数 D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )
A.y=x3 B.y=x2 C.y= D.y=x
4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.
答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x
拓展提升
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.
①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x,y＝x;
③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y＝x.
活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.
解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.
图2-3-2 图2-3-3
图2-3-4 图2-3-5
①观察图2-3-2得到:
函数y＝x-1、y＝x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
②观察图2-3-3得到:
函数y＝x、y＝x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
③观察图2-3-4得到:
函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.
④观察图2-3-5得到:
函数y=x、y＝x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.
根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.
课堂小结
1.幂函数的概念.
2.幂函数的性质.
3.幂函数的性质的应用.
作业
课本P87习题2.3 1、2、3.
设计感想
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.
习题详解
(课本第79页习题2.3)
1.函数y=是幂函数.
2.解析:设幂函数的解析式为f（x）=xα,
因为点（2,）在图象上,所以=2α.
所以α=,即幂函数的解析式为f（x）=x,x≥0.
3.（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4；
（2）把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k=＝,即v=r4；
（3）把r=5代入v=r4,得v=×54≈3 086（cm3/s）,即r=5 cm时,该气体的流量速率为3 086 cm3/s.
备课资料
历史上数学计算方面的三大发明
你知道数学计算方面的三大发明吗?这就是阿拉伯数字、十进制和对数.
研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.
十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表示出来.
16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(Napier,J.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs,H.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”
一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.1707~1783)才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受.
(设计者：邓新国)
本章复习
整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型,面对纷繁复杂的变化现象,我们还可以根据变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界的变化规律的三类重要且常用的基本初等函数,本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质,因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下,综合复习所学知识,进行知识梳理和整合,同时通过进行知识梳理和整合,使学生形成知识网络,强化数学思想和方法的运用,通过复合函数和抽象函数的复习,提高学生的综合能力.
三维目标
1.理解指数与对数,指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系,通过提问,提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认知结构.
2.让学生熟悉,能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题,培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.
3.对复合函数,抽象函数有一个新的认识,培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力.
重点难点
教学重点：指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质.
教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题.
课时安排
1课时
教学过程
应用示例
思路1
例1计算:
(1)［(3)(5)0.5+(0.008)÷(0.02)×(0.32)］÷0.062 50.25;
（2）.
活动：学生观察、思考,学生观察式子的特点,特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价.
解：(1)原式=［()3×()·()2×0.5+(0.2)3×()÷(0.2)］÷(0.5)4×=［×+52÷］÷0.5=+10=.
（2）=
===.
点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用.
变式训练
如果已知log5427＝a,54b＝3,如何用a、b表示log10881?
解法一：由54b＝3得log543＝b.
所以log10881＝＝==.
解法二：由log5427=a,得54a=27,设x=log10881,则108x=81,
所以(542×27-1)x=3×27,即(542×54-a)x=54b×54a.
所以542x-ax=54a+b,即2x-ax=a+b.
因此,得x=.
点评：解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;解法二是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但解法二运算的技巧性较大.
例2已知a＞0,a≠1,x=,求(x+)n的值.
活动：学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,a与a具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,必要时给予提示.
x2-1=(a+a)2-1=(a+2·a0+a)-1=(a-2·a0+a)=(a-a)2.
这时应看到==|a-a|.
解：将x=(a+a)代入x2-1,得x2-1=(a+a)2-1=(a-a)2.
所以==|a-a|,
x+=(a+a)+ |a-a|=
所以(x+)n=
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.
例3若函数f(x)的定义域是(,3］,求f(log3x)的定义域.
活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数f(x)的定义域,求抽象函数f［g(x)］的定义域,要借助于f(x)的定义域来求,由于函数f(x)的定义域是(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,从中解出x,即为f(log3x)的定义域.
解：因为函数f(x)的定义域为(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,
即0.5＜log3x≤3,即＜x≤9.
因此函数f(log3x)定义域为(3,9］.
点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的定义域要严格注意对应法则.
变式训练
1.求函数y=的定义域.
2.求函数f(x)=的定义域.
答案：1.{x|x≠0且x≠1}.2.{x|x≤0}.
思路2
例1求函数y=的定义域、值域和单调区间.
活动：学生观察,思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;函数的值域要根据定义域来求;求函数的单调区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分母是一个指数式,因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单调性确定.
解：函数y=的定义域是全体实数,
因为y===［()x］2≥,所以函数的值域为［,+∞).
设u=()x,则它在(-∞,+∞)上单调递减,
而二次函数y=(u)2在u≤时是减函数,在u≥时是增函数,
令()x≤,则x≥1,令()x≥,则x≤1,
所以函数y=在［1,+∞)上是增函数,在(-∞,1］上是减函数.
点评：这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的.
例2已知函数f(x)=x(+).
(1)指出函数的奇偶性,并予以证明；
(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0),都有f(x)＞0.
解：(1)因为f(x)的定义域是不为0的实数,关于原点对称,
又f(-x)=-x(+)=x()=x(-1+)=x(+)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)当x＞0时,2x＞1,所以f(x)＞0.
当x＜0时,由f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x)＞0.
所以对一切x∈R,x≠0,恒有f(x)＞0.
点评：利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题,当x＜0时,证明f(x)＞0较繁,若注意到f(x)为偶函数,则只需证明当x＞0时,f(x)＞0,而这是显然的.
知能训练
课本P82复习参考题A组 1、3、4、6、8、10.
拓展提升
问题：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,过
A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,若
C恰好在函数y=log2x的图象上,试求A、B、C三点的坐标.
活动：学生先仔细审题,理解题目的含义,然后思考交流,教师适当时候提示指导.
画出函数的图象,设出点的坐标,由图形间的关系建立方程求解.
解：先画出函数的图象如图.
图2-1
设A(x1,log8x1)、B(x2,log8x2),
则C(x1,log8x2).因为C在函数y=log2x的图象上,
所以log8x2=log2x1,即log2x2=log2x1.
所以x2=x13.
又=,即=,
所以x1log8x13=x13log8x1.
所以3x1log8x1=x13log8x1.由x1>1,所以log8x1≠1.
从而有3x1=x13.所以x1=,x2=3.
所以A、B、C三点的坐标分别为A(,log83)、B(3,log83)、C(,log2).
课后作业
课本P82复习参考题A组 2、5、7、9.
设计感想
本堂课是对过去学过的一章知识进行复习,目的是构建知识体系,形成知识网络,总结解题的方法规律和思想,以便综合运用这些知识,使学生能够见题想法,见题有法,能够做到一题多解,触类旁通,由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题方法的总结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果,做到以不变应万变,使全体同学在知识和技能上都有较大的提高.
习题详解
(课本第82页复习参考题)
A组
1.（1）11；（2）；（3）；（4）.
2.（1）原式===;
（2）原式===.
3.（1）因为lg2=a,lg3=b,log125===,
所以log125=.
（2）因为log23=a,log37=b,log1456=====.
4.（1）（-∞,）∪（,+∞）;（2）［0,+∞）.
5.（,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.
6.（1）因为log67>log66=1,所以log67>1.
又因为log76
（2）因为log3π>log33=1,所以log3π>1.又因为log20.8<0,所以log3π>log20.8.
7.证明：（1）因为f（x）=3x,所以f（x）·f（y）=3x×3y=3x+y.
又因为f（x+y）=3x+y,所以f（x）·f（y）=f（x+y）.
（2）因为f（x）=3x,所以f（x）÷f（y）=3x÷3y=3x-y.
又因为f（x-y）=3x-y,所以f（x）÷f（y）=f（x-y）.
8.证明:因为f（x）=lg,a、b∈（-1,1）,
所以f（a）+f（b）=lg=lg,
f（）=lg（）
=lg
=lg.
所以f（a）+f（b）=f（）.
9.（1）设保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式为y=k·ax（a>0,且a≠1）.
因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,
所以解得
所以y=192×0.93x,
即所求函数解析式为y=192×0.93x.
（2）当x=30 ℃时,y≈22（小时）；
当x=16 ℃时,y≈60（小时）,
即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时.
（3）图象如图：
图2-2
10.解析：设所求幂函数的解析式为f（x）=xα,因为f（x）的图象过点（2,）,
所以=2α,即2=2α.所以α=.所以f（x）=x（x>0）.
图略,f(x)为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.
B组
1.A
2.因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以+=+=lg2+lg5=lg10=1.
3.（1）f（x）=a在x∈（-∞,+∞）上是增函数.
证明：任取x1,x2∈（-∞,+∞）,且x1
=-
=.
因为x1,x2∈（-∞,+∞）,
所以
又因为x1
（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数,则f（-x）+f（x）=0,即a+a=0a=+=+=1,即存在实数a=1使f（x）=为奇函数.
4.证明:（1）因为f（x）=,g（x）=,
所以［g（x）］2-［f（x）］2=［g（x）+f（x）］［g（x）-f（x）］
=
=ex·e-x=ex-x=e0=1,
即原式得证.
（2）因为f（x）=,g（x）=,
所以f（2x）=,2f（x）·g（x）
=2··
=.
所以f（2x）=2f（x）·g（x）.
（3）因为f（x）=,g（x）=,
所以g（2x）=,
［g（x）］2+［f（x）］2=（）2+（）2
=
=.
所以g（2x）=［f（x）］2+［g（x）］2.
5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t=1时,θ=52,于是
52=15+(62-15)e-k,
解得k≈0.24,那么θ=15+47e-0.24t.
所以,当θ=42时,t≈2.3;当θ=32时,t≈4.2.
答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃.
6.(1)由P=P0e-kt可知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=(1-10%）P0.于是有(1-10%)P0=P0e-5k,
解得k=ln0.9,那么P=P0e.
所以,当t=10时,P=P0e=P0eln0.81=81%P0.
答:10小时后还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P0时,有50%P0=P0e,
解得t=≈33.
答:污染减少50%需要花大约33h.
(3)其图象大致如下:
图2-3
备课资料
【备用习题】
1.2006湖南卷函数y=的定义域是( )
A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞)
2.2006全国卷I已知函数f(x)=a,若f(x)为奇函数,则a=_________.
3.函数y=log2的值域是__________.
4.已知函数y=2x的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(16)=_________.
5.若函数y=log2［ax2+（a-1）x+］的定义域为R,则a的取值范围是_________.
参考答案：
1.D
2.a=
3.［2,+∞)
4.4
5.
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