2021年山西省吕梁市八年级上学期数学期中试题

这是一份2021年山西省吕梁市八年级上学期数学期中试题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1.给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中，正确的有（   ）个.
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 0
2.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（    ）
A. 2cm，3cm，4cm         B. 1cm，2cm，3cm         C. 3cm，4cm，5cm         D. 4cm，5cm，6cm
3.下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（   ）
A.               B.               C.               D. 
4.已知直角三角形ABC，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是(     ).
A. 30°                                      B.   40°                                      C. 45°                                      D. 50°
5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A＝54°，∠B＝46°.则∠CDE的大小为（   ）

A. 45°                                       B. 40°                                       C. 39°                                       D. 35°
6.如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=100°，若∠BAE=60°，则∠CAE的度数为（    ）

A. 40°                                      B. 60°                                      C. 80°                                      D. 100°
7.在探索多边形内角和公式的过程中，多数同学采用如下表格中分割多边形的方法，并从四边形，五边形等特殊多边形的内角和计算，得到 边形的内角和公式．
多边形
四边形
五边形
六边形
七边形
…
边形
图 例




…

内角和




…

以上表格中：由 ， ， ， ，…，得到 的结论，体现的数学思想是：（    ）
A. 数形结合                             B. 类比                             C. 由特殊到一般                             D. 公理化
8.如图，若△ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，BB′交 MN 于点 O，则下列说法不一定正确的是（    ）

A. AC＝A′C′                          B. BO＝B′O                          C. AA′⊥MN                          D. AB∥B′C′
9.如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则(   )

A. BC>PC+AP                     B. BC 10.如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB=9，BC=6，则△DNB的周长为（   ）

A. 12                                         B. 13                                         C. 14                                         D. 15
二、填空题
11.如果一个多边形的内角和为1620°，那么这个多边形的一个顶点有________条对角线．
12.如图，把边长为12的正三角形ABC纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形DEFGHK，则剪去的小正三角形的边长为________．

13.如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝35°，则∠AOB的度数为________.

14.如图，AB=AC，BE=CD，要使 ，依据SSS，则还需添加条件________．（填一个即可）

15.已知两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），给出下列说法：①两点关于 轴对称；②两点关于 轴对称；③两点之间的距离为4．其中正确的是________．（填序号）
16.如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CF⊥AD，BE⊥AD．若CF=8，BE=6，AD=10，则EF的长为       ．

17.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分线．若E是AC上一点且BE⊥AC，P是AD的动点，则PC+PE的最小值是________．

18.已知O为等边三角形ABD的边BD的中点，AB=4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF=120°，若AF=1，则BE的长为 ________．
三、解答题
19.  
（1）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

（2）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①作出△ABC关于 轴对称的 ，并写出 各顶点的坐标；
②将△ABC向右平移6个单位长度，作出平移后的 ，并写出 各顶点的坐标；
③观察 与 ，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．

20.如图，在四边形ABCD中，E是CB的中点，延长AE、DC相交于点F，∠CEA＝∠B+∠F.求证：AB＝FC.

21.如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．


22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD与CE交于点O，连接OB．

（1）若OF⊥AC于点F，AB=4，OF= ．求△BOC的面积；
（2）求证：AC=AE+CD．
23.综合探究:探索等腰三角形中相等的线段

问题情境：
数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究．
问题初探：
（1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是DE=DF．并且展示了他们的证法如下：
证明：如图1，

∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC=90°
∵AB=AC
∴∠B=∠C（依据1）
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△BDE和△CDF中

∴△BDE≌△CDF（依据2）
∴DE=DF
①请写出依据1和依据2的内容
依据1：________．
依据2：________
②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法________．
（2）问题再探：
未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图3．则CG与DE有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系为________ ．
（3）类比探究：
奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个符合题意结论：①在图4中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然成立；②在图5中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，那么DE=DF仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，正确
（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、三边都不相等的三角形，错误
（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确
故答案为：B
【分析】根据三角形的分类以及定义，分别对选项判断分析即可。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：A. ，能构成三角形，不合题意；
B. ，不能构成三角形，符合题意；
C. ，能构成三角形，不合题意；
D. ，能构成三角形，不合题意。
故答案为：B。
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，即可一一判断得出答案。
3.【答案】 D
【解析】【解答】∵过三角形ABC的顶点A作AD⊥BC于点D，点A与点D之间的线段叫做三角形的高线，
∴D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三角形某一边上高的概念，逐一判断选项，即可得到答案．
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：另一个锐角的度数为 ，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的两锐角互余，可得另一个角为 .
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵∠A＝54°，∠B＝46°，
∴∠ACB＝180°﹣54°﹣46°＝80°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB＝ ×80°＝40°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠DCB＝40°，
故答案为：B.

【分析】利用三角形的内角和定理，求出∠ACB=80°，由角平分线定义可得∠DCB＝ ×80°＝40°，根据两直线平行，内错角相等，可得∠CDE＝∠DCB＝40°.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2＝100°，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∵AD＝AE ， ∠ADE＝∠AED ， BE＝CD ，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝40°，
故答案为：A．

【分析】先利用“SAS”证明△AEB≌△ADC，再根据全等三角形的性质及三角形的外角求解即可。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：表格中的数据是由四边形、五边形、六边形、七变形…特殊的的内角和，得出一般的n变形的内角和的过程，
故答案为：C．

【分析】数学思想题：由特殊到一般。
8.【答案】 D
【解析】【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC=A′C′，BO=B′O，AA′⊥MN，故A、B、C选项符合题意，AB∥B′C′不一定成立.
∴不一定正确的是选项D．
故答案为：D．

【分析】根据轴对称图形的性质逐项判断即可。
9.【答案】 C
【解析】【解答】∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
∵BC=PC+BP，
∴BC=PC+AP．
故答案为：C．

【分析】根据垂直平分线的性质，可得AP=BP，再证明即可。
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵D为BC的中点，且BC=6，
∴BD= BC=3，
由折叠性质知NA=ND，
则△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12，
故答案为：A．
【分析】由折叠性质知NA=ND，根据中点定义BD= BC=3，根据三角形的周长计算方法及等量代换即可得出答案。
二、填空题
11.【答案】 8
【解析】【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x-2）×180=1620，
解得；x=11，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：11-3=8，
故答案为8．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
12.【答案】 4
【解析】【解答】解：∵剪去三个三角形
∴AD=AE=DE，BK=BH=HK，CG=CF=GF，
∵六边形DEFGHK是正六边形，
∴DE=DK=HK=GH=GF=EF，
∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形；
∴AD=DK=BK= =4，
∴剪去的小正三角形的边长4．
故答案为：4．

【分析】根据等边三角形及正六边形的性质计算即可。
13.【答案】 70°
【解析】【解答】∵△ABC≌△DCB，∠DBC＝35°，
∴∠ACB＝∠DBC＝35°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠DBC＝35°+35°＝70°.
故答案为：70°.

【分析】根据全等三角形的对应角相等，可得∠ACB＝∠DBC＝35°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可求出∠AOB的度数.
14.【答案】 AE=AD或CE=BD（填其中任一个均可）
【解析】【解答】由题意，有以下两种情况：（1）当 时，由 定理可证得 ；（2）当 时，
，
，即 ，
则当 时，也可利用 定理证得 ；
故答案为： 或 （填其中任一个均可）．

【分析】根据“SSS”证明三角形全等的方法选择即可。
15.【答案】 ②③
【解析】【解答】解： 两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），
两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
两点关于 轴对称；
两点的纵坐标相等，
两点之间的距离为2+2=4．
综上所述，②③说法符合题意．
故答案为：②③．

【分析】根据点的坐标及两点之间的距离公式逐项判断即可。
16.【答案】 4
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，
∵AD=10，
∴ED=AD-AE=10-8=2
∴EF＝FD-ED=6-2=4，
故答案为:4．

【分析】先利用“AAS”证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质得到AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，最后利用线段的加减计算即可。
17.【答案】
【解析】【解答】解：连接PB，

AB=AC=10，AD是∠BAC的平分线，
AD为BC的垂直平分线，
PB=PC．
要是PC+PE的值最小，即PB+PE的值最小，只有点P、B、E在一条直线上时，PB+PE的值，即BE的长即为所求．
AB=AC=10，BC=12，AD=8，BE⊥AC，
，
即 ，
解得： ．
PC+PE的最小值是 ．
故答案为： ．

【分析】先利用等腰三角形的性质证出AD是BC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质及将军饮马的方法求PC+PE的最小值即可。
18.【答案】 3或1
【解析】【解答】解：当F在线段DA的延长线上，如图1，作OM∥AB交AD于M，

∵O为等边△ABD的边BD的中点，
∴OB=2，∠D=∠ABC=60°，
∴△ODM为等边三角形，
∴OM=MD=2，∠OMD=60°，
∴FM=FA+AM=3，∠FMO=∠BOM=120°，
∵∠EOF=120゜，
∴∠BOE=∠FOM，
而∠EBO=180°-∠ABC=120°，
∴△OMF≌△OBE，
∴BE=MF=3；
当F点在线段AB上，如图2，

同理可证明△OMF≌△OBE，
则BE=MF=AM-AF=2-1=1．
故答案为：3或1．

【分析】根据题意分来两种情况讨论：点F在线段AD上及点F在DA延长线上，再利用三角形全等及性质求解即可。
三、解答题
19.【答案】 （1）解：如图，作线段BC的中垂线，交BC与点D，则直线AD即为所求；


（2）解：①如图所示： 即为所求；
②如图所示： 即为所求；
③如图所示： 与 关于直线a对称；

【解析】【分析】（1）先做线段BC的垂直平分线，垂足为D，再连接AD即可；（2）①先做出A、B、C三点关于y轴的对称点，再连线即可；②先做出A、B、C三点向右平移6个单位长度后的对应点，再连接即可；③观察，根据轴对称图形的特征判断即可。
20.【答案】 证明：∵∠CEA＝∠B+∠F，∠CEA＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠F，
∴AB∥DC，
∴∠B＝∠ECF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△AEB和△FEC中， ，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB＝FC
【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得∠CEA＝∠B+∠BAE，利用等量代换可得∠BAE＝∠F，根据内错角相等，两直线平行可证AB∥DC，可得∠B＝∠ECF，根据“AAS”可证△AEB≌△FEC，根据全等三角形的对应边相等即可求出结论.
21.【答案】 【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
即∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2=60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形．

【解析】【分析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．

22.【答案】 （1）解：作OG⊥BC，垂足为G

∵∠BAC=90°，∠ABC=60°
∴ ∠ACB=30°
∴BC=2AB=8
∵CE平分∠ACB，OF⊥AC，OG⊥BC
∴OG=OF=
∴

（2）证明：在AC上截取AH=AE
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB
∴∠1=∠2=45°，∠3=∠4=15°
∴∠AOE=60°
在△EAO与△HAO中
 
∴△EAO≌△HAO(SAS) 
∴∠AOE=∠AOH=60°
∵∠AOE=60°
∴ ∠AOC=120°，∠COD=60°
∴∠COH=∠COD=60°…
∵CE平分∠ACB
∴∠3=∠4
在△COD与△COH中
 
∴△COD≌△COH(ASA)  
∴CD=CH
∵AC=AH+CH
∴AC=AE+CD
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，可得：OH=OG，再利用30 度角的直角三角形的性质求出BC，最后利用三角形的面积计算即可；（2）利用“SAS”证出△EAO≌△HAO，得到∠COH=∠COD，再根据“ASA”证出△COD≌△COH，最后得出结论即可。
23.【答案】 （1）等腰三角形的两个底角相等或等边对等角；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等或角角边或AAS；答案不唯一，如 连接AD ∵AB=AC，D是BC的中点 ∴AD是∠BAC的平分线 ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF
（2）CG=2DE
（3）解：选择①证明：∵DE，DF是△ABD和△ACD的中线
∴BE= AB，CF= AC 
∵AB=AC
∴BE=CF，∠B=∠C 
又∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△BDE与△CDF中
 
∴△BDE≌△CDF(SAS) 
∴DE=DF
选择②证明：∵AB=AC，D是BC的中点
∴∠B=∠C，BD=CD，AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的平分线
∴∠BDE=∠CDF=45°
在△BDE与△CDF中
 
∴△BDE≌△CDF(ASA)
∴DE=DF．
【解析】【解答】(2)CG=2DE
∵DE⊥AB，CG⊥AB，
∴
∵D是BC的中点，
∴DE是△BCG的中位线，
∴CG=2DE．

【分析】（1）①利用等腰三角形的性质判断；②利用“AAS”即可；（2）参照题干的方法，做出草图，得出结论；（3）根据自己的选择，利用三角形全等及性质证明即可。