2021年上海市杨浦区八年级上学期数学期中试卷

 八年级上学期数学期中试卷

一、填空题

1.若二次根式 有意义，则x的取值范围是________．   

2.二次根式 、 中与 是同类二次根式的是________．   

3.写出二次根式 的一个有理化因式可以是________．   

4.方程2x2=x的根是       ．   

5.已知正比例函数 的图像经过点 ，则函数图像经过________象限．   

6.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是________．   

7.关于x的方程 有一个根为2，则另一个根是________．   

8.已知正比例函数 ，如果y的值随着x的值增大而减小，则a的取值范围是________．   

9.在实数范围内分解因式： ________.   

10.如图，化简： ________． 

11.不等式 的解集是________．   

12.若关于x的一元二次方程 的两根为 ，其中a、m为两数，则 ________， ________．   

13.反比例函数 的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝________．   

14.如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若 是倍根方程，则 的值是________．   

二、单选题

15.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ）           

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

16.下列计算中正确的是（  ）           

A.             B.             C.             D. 

17.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ）           

A.                                                 B. （其中a、b、c是常数）
C.                                                        D. 

18.如图，点A，B在反比例函数 的图象上，点C，D在反比例函数 的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为 ，则k的值为（   ） 

A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 

三、解答题

19.化简：

20.

21.解方程：

22.用配方法解方程：

23.己知：如图，点A在反比例函数 的图像上，且点A的横坐标为2，作 垂直于x轴，垂足为点H， ． 

（1）求 的长；   

（2）求k的值；   

（3）若 、 在该函数图像上，当 时，比较 与 的大小关系．   

24.关于x的一元二次方程 ，其根的判别式的值为1，求m的值及方程的根．   

25.在直角坐标系内的位置如图所示， ，反比例函数 在第一象限内的图像与 交于点 与 交于点 ． 

（1）求该反比例函数的解析式及图像为直线 的正比例函数解析式；   

（2）求 的长．   

26.某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率x，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是x，己知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率x的值．   

27.如图，直线 与函数 的图象相交于点 ，与x轴交于点C，且 ，点D是线段 上一点． 

（1）求k的值；   

（2）若 与 的面积比为2∶3，求点D的坐标；   

（3）将 绕点O逆时针旋转90°得到 ，点 恰好落在函数 的图象上，求点D的坐标．   

答案解析部分

一、填空题

1.【答案】 x≥

【解析】【解答】∵二次根式 有意义，∴2x﹣1≥0，解得：x≥ ．

故答案为x≥ ．

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得出x的取值范围．

2.【答案】

【解析】【解答】解：∵ = ， = ， =2

∴与 是同类二次根式的是

故答案为： ．

【分析】根据同类二次根式的含义，求出答案即可。

3.【答案】

【解析】【解答】解： × =x+1.

故答案为： .

【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以 的一个有理化因式是 ．

4.【答案】 x1=0，x2=

【解析】【解答】解：2x2=x，

2x2﹣x=0，

x（2x﹣1）=0，

x=0，2x﹣1=0，

x1=0，x2= ，

故答案为：x1=0，x2= ．

【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

5.【答案】 第二、第四  

【解析】【解答】解：将点 代入 中，得

解得：

∴正比例函数

∵ ＜0

∴函数图像经过第二、第四象限

故答案为：第二、第四．

【分析】根据点A的坐标，即可得到正比例函数k的值，即可得到其经过的象限。

6.【答案】

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，

∴ ＝(-1)2﹣4a+4＞0，

解得

故答案为： ．

【分析】根据方程根与系数的关系，即可得到a的取值范围。

7.【答案】 -1  

【解析】【解答】解：设该方程两根分别为x1  ， x2  ， x1＝2，

根据公式可得：x1＋x2＝ ＝1，

解得：x2＝-1，

故答案为：-1．

【分析】将x=2代入方程，求出k的值，根据方程根与系数的关系，求出另外一个根即可。

8.【答案】

【解析】【解答】解：∵正比例函数 ，y的值随着x的值增大而减小，

∴ ＜0

解得：

故答案为： ．

【分析】因为正比例函数y随x的增大而减小，即可得到（2a-1）的值小于0，求出a的值即可。

9.【答案】

【解析】【解答】解：令x2-x-1=0，

解得：

∴

故答案为

【分析】根据题意，首先计算方程的根，根据因式分解的含义，表示出答案即可。

10.【答案】

【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜-1

∴ ＜0

∴

故答案为： ．

【分析】根据题意可知，a+1＜0，由二次根式的性质，化简得到答案即可。

11.【答案】

【解析】【解答】解：

∵ ＞0

∴

∴

故答案为； ．

【分析】将不等式移项，合并同类项，未知数系数化为1，利用分母有理化计算得到答案即可。

12.【答案】 4；

【解析】【解答】解：

移项，得

∴

解得：

∵关于x的一元二次方程 的两根为

∴ ， =

解得：a=4

故答案为：4； ．

【分析】根据方程的根表示以及两个根的值，即可得到a的值。

13.【答案】 6  

【解析】【解答】∵点P的坐标为(2，n)，则点Q的坐标为(3，n﹣1)，

依题意得：k＝2n＝3(n﹣1)，

解得：n＝3，

∴k＝2×3＝6，

故答案为：6．

 
【分析】根据点的坐标平移的规律先求出点Q的坐标，由于点P、Q均在反比例函数图象上，分别将点P、Q坐标代入y=中，建立方程，求出n值，即可求出k值.

14.【答案】 0  

【解析】【解答】解：

解得：

∵ 是倍根方程，

∴ 或

∴ 或

若 ， = ；

若 ， =

综上： =0

故答案为：0．

【分析】将方程去括号，合并同类项，根据倍根方程的含义，即可得到n和m之间的代数关系，分类讨论，得到答案即可。

二、单选题

15.【答案】 C  

【解析】【解答】解：A． ，故此选项不符合题意；

B． ，故此选项不符合题意；

C． 是最简二次根式，故此选项符合题意；

D． = ，故此选项不符合题意．

故答案为：C．

【分析】根据最简二次根式的性质，计算得到答案即可。

16.【答案】 D  

【解析】【解答】解：A． ，故本选项不符合题意；

B． ，故本选项不符合题意；

C．     是最简二次根式，不能化简，故本选项不符合题意；

D． ，由 ，可得原式= ，故本选项符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据二次根式的性质和运算，分别判断得到答案即可。

17.【答案】 A  

【解析】【解答】解：A． ，整理，得 ，是一元二次方程，故符合题意；

B．当a=0时， （其中a、b、c是常数）不是一元二次方程，故不符合题意；

C． 不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意；

D． ，整理，得 ，不是一元二次方程，故不符合题意．

故答案为：A．

【分析】根据一元二次方程的含义，判断得到答案即可。

18.【答案】 B  

【解析】【解答】把x=1代入 得：y=1,

∴A(1,1),把x=2代入 得：y= ,

∴B(2, ),

∵AC//BD// y轴,

∴C(1,K),D(2, )

∴AC=k-1,BD= - ，

∴S△OAC= （k-1）×1,

S△ABD=  ( - )×1,

又∵△OAC与△ABD的面积之和为 ，

∴ （k-1）×1＋  ( - )×1= ，解得：k=3;

故答案为B.

【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为 ，列出方程，求解得出答案.

三、解答题

19.【答案】 解：原式=   

= 

=

【解析】【分析】利用二次根式的性质把各二次根式化成最简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后再合并同类二次根式，即可求解.

20.【答案】 解：

=

=

=

=

【解析】【分析】将二次根式化简，运算得到答案即可。

21.【答案】 解：

整理，得

∴x－1=0或x－3=0

解得：

【解析】【分析】将方程去括号、合并同类项，解方程得到答案即可。

22.【答案】 解：

整理，得：

配方，得：

∴

【解析】【分析】利用完全平方公式的性质，利用配方法求出答案即可。

23.【答案】 （1）解：∵点A的横坐标为2， 

∴OH=2

∵

∴ OH·AH=3

解得：AH=3

（2）解：∵OH=2，AH=3 

∴点A的坐标为（2，3）

将点A的坐标代入 中，得

解得：k=6

（3）解：∵k=6＞0 

∴反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小

∵ 、 在该函数图像上，且

∴ ＞ ．

【解析】【分析】（1）根据点A的横坐标为2，AH垂直于x轴，S△AOH=3，即可得到AH的长；
（2）根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可；
（3）在第一象限内，y随x的增大而减小，即可得到y1和y2的关系。

24.【答案】 解：

移项，得

由题意可得

解得：m=-2

∴该一元二次方程为

整理，得

解得： ．

【解析】【分析】根据题意，由一元二次方程的含义以及根的判别式为1，求出m的值，继而计算得到方程的根即可。

25.【答案】 （1）解：将点 代入反比例函数解析式中，得  

解得：k=8

∴反比例函数解析式为

将点 代入反比例函数解析式中，得

解得：m=2

∴点

设直线OB的正比例函数解析式为y=ax

将点 代入，得

2=4a

解得：a=

∴直线OB的解析式为y= x；

（2）解：∵ 即 轴  

∴点B的横坐标等于点C的横坐标8

将x=8代入y= x中，解得y=4

∴点B的坐标为（8,4）

∴AB=4

∵点

∴AC=1

∴BC=AB－AC=3

【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象上点的坐标即可得到B点的纵坐标，求出BC的长度即可。

26.【答案】 解：由题意可得40×15（1＋x）2=600×6（1＋x）×25% 

整理，得（x＋1）（x－ ）=0

解得： =50%， （不符合实际，舍去）

答：增长率x的值为50%．

【解析】【分析】根据题中的等量关系，计算得到一元二次方程得到答案即可。

27.【答案】 （1）解：将点 代入 中，得  

解得k=-6；

（2）解：过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N 

∵ 与 的面积比为2∶3

∴

∴

∵

∴AN=6，ON=1

∴DM=4

∵

∴ ACN和 DCM都是等腰直角三角形

∴CN=AN=6，CM=DM=4

∴OM=CN－CM－ON=1

∴点D的坐标为（1，4）；

（3）解：过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点 作 G⊥x轴于G  

设点D的纵坐标为a（a＞0），即DM=a

∵ ACN和 DCM都是等腰直角三角形

∴CN=AN=6，CM=DM=a

∴OM=CN－CM－ON=5－a

∴点D的坐标为（5－a，a）

∵∠ GO=∠OMD=∠ OD=90°

∴∠G O＋∠ OG=90°，∠MOD＋∠ OG=90°，

∴∠G O=∠MOD

由旋转的性质可得 O=OD

∴△G O≌△MOD

∴G =OM=5－a，OG=DM=a

∴ 的坐标为（-a，5－a）

由（1）知，反比例函数解析式为

将 的坐标代入，得

解得：

∴点D的坐标为（3，2）或（2，3）．

【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可得到答案；
（2）根据三角形的面积比，即可得到DM和AN的比为2:3，继而根据点A的坐标求出AN=6，求出DM=4，根据点A的坐标计算得到b=5，继而得到点D的坐标即可；
（3）根据题意，设出点D的坐标，即可得到点D'的坐标，将其代入反比例函数的解析式求出答案即可。