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2021年浙江省衢州市八年级上学期数学期中考试试卷
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这是一份2021年浙江省衢州市八年级上学期数学期中考试试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
1.衢州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.需要做一个三角形的木架，在以下四组长度的木棒中，符合条件的是（ ）
A. 3cm，2cm，1cm B. 3cm，4cm，5cm C. 5cm，12cm，6cm D. 6cm，6cm，12cm
3.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若a
5.如图，已知BC=DC，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABC≌ ADC的是（ ）
A. ∠B=∠D=90° B. ∠BCA=∠DCA C. ∠BAC=∠DAC D. AB=AD
6.如图，在5×5的方格纸中有一个格点 ABC（每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（ ）
A. 面积为7 B. 三边长都是有理数 C. 是直角三角形 D. 是等腰三角形
7.已知关于x的不等式组 的整数解共有4个，则a的取值范围是（ ）
A. 2≤a≤3 B. 2
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
9.不等式 的解集为________．
10.在Rt ABC中，∠C=90°，∠A－∠B=60°，则∠A=________．
11.已知命题“全等三角形的面积相等”，写出它的逆命题________．
12.两个全等的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中两个直角三角尺的短直角边分别在∠AOB的两边上，长直角边交于点P，连结OP，且OM=ON，若∠AOB=60°，OM=6cm，则线段OP=________cm．
13.如图，点E是Rt ABC、Rt BCD的斜边BC的中点，AB=AC，∠BCD=30°，则∠EAD的度数为________ ．
14.关于x的不等式组 的解集为 ；则代数式 2019b－4(a+15)3－37的值为________.
15.如图，在长方形 ABCD中，点E为长方形ABCD的边AD上一点，若AE=2，S ABE=6，将长方形ABCD沿BE折叠，使点A落在EC上的点F处，则 BCE的面积是 ________．
16.如图，等腰 Rt△ABC外有一点D，连结AD、CD，AE垂直平分DC于点E，∠DAB的平分线交DC于点F，连结BF，若 BF=1，AF= ，则线段CF=________．
三、解答题（本题共有7小题，第17~19小题每小题6分，第20~22小题每小题8分，第23小题每小题10分，共52分．）
17.解下列不等式和不等式组．
（1）2(x+1)>3x－4；
（2）
18.已知，如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．
19.如图，在4×5的网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点）．
（1）如图1，画出所有以AB为一边且与 ABC全等的格点三角形；
（2）如图2，在线段AB上画出一点P，使CP+PD的值最小，并求出最小值．
20.如图，在 ABC中，AB=AC=3cm，∠BAC=110°，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连结AD，作∠1=∠C，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BAD=30°，求∠EDC的度数．
（2）当DC等于多少时， ABD≌ DCE？试说明理由．
21.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为3．
（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边(a
22.2020年，全球爆发新冠肺炎疫情，某洗化日化公司为扩大经营，决定购进8台机器生产洗手液．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产洗手液的产量如下表所示，经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过36万元．
甲
乙
价格（万元/台)
6
4
每台日产量（吨)
15
10
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？请写出所有的购买方案．
（2）若该公司购进的8台机器的日生产能力不能低于82吨，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
23.如图，在 ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，AB=6，点D是射线AM上一点（不与A、B两点重合），点D从点A出发，沿射线AM的方向运动，以CD为一边在CD的右侧作 CDE，使CE=CD，∠DCE=∠ACB，连结BE．
（1）求∠ABE的度数；
（2）是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出线段BD的长；若不存在，请说明理由；
（3）BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出 BDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故A不符合题意；
B.是轴对称图形，故B不符合题意；
C.是轴对称图形，故C不符合题意；
D.不是轴对称图形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义，逐项进行判断，即可求解.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：A.由1+2=3，不能组成三角形，故A不符合题意；
B.由3+4＞5，能组成三角形，故B符合题意；
C.由5+6＜12，不能组成三角形，故C不符合题意；
D.由6+6=12，不能组成三角形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 三角形的三边关系为： 三角形的任意两边的和大于第三边， 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，据此逐项进行判断，即可求解.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：不等式组 的解集在数轴上表示为：
；
故答案为：A.
【分析】在数轴上表示解集时，一要找准起点，二要找准方向，三要区别实心点与空心圈.
4.【答案】 D
【解析】【解答】A. 若a
【分析】不等式性质1：不等式的两边同时加或减同一个数或整式，不等号的方向不变；
不等式的性质2：不等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；
不等式的性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变；
根据不等式的性质逐项进行判断，即可求解.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：A.∵在Rt△ADC和Rt△ABC中，， ∴Rt△ADC≌Rt△ABC，故A不符合题意；
B.∵在△ADC和△ABC中，， ∴△ADC≌△ABC，故B不符合题意；
C.∵在△ADC和△ABC中，由BC=DC，AC=AC， ∠BAC=∠DAC，不能判断△ADC≌△ABC，故C符合题意；
D.∵在△ADC和△ABC中，， ∴△ADC≌△ABC，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项进行判断，即可求解.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：A.S△ABC=5×4-×5×2-×2×2-×3×4=7，故A符合题意；
B.AB=， AC=， BC=， 故B不符合题意；
C.∵AB2+BC2≠AC2 ， ∴△ABC不是直角三角形，故C不符合题意；
D.∵AB≠AC≠BC，∴△ABC不是等腰三角形，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A.利用面积的和差求出△ABC的面积，即可得出A符合题意；
B.根据勾股定理求出AB、AC、BC的长，即可得出B不符合题意；
C.由AB2+BC2≠AC2 ， 得出△ABC不是直角三角形，即可得出C不符合题意；
D.由AB≠AC≠BC，得出△ABC不是等腰三角形，即可得出D不符合题意.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：由，
得：，
∴不等式组的解集为＜x＜a，
∵不等式组的整数解有4个，
∴2＜a≤3.
故答案为：B.
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解有4个，即可求出a的取值范围.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：①∵ AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ACD=45°，
∴ ∠OCP= 135°，
∵AE平分 ∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE=22.5°，
∴∠OEB= ∠CAE+∠ACB=22.5°+90°=112.5°，
故 ① 错误；
②∵ AC=BC， CD⊥AB，
∴AD=BD，
∴AO=BO=OP，
∴∠OBD=∠BAE=∠APO=22.5°，
∴∠POE=∠BOE=45°，
∴ ∠POB=90° ，
故②正确；
③∵∠COP=∠COE-∠POE=45°+22.5°-45°=22.5°=∠APO，
∴CP=OC≠OD，
故 ③ 错误 ；
④如图，过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，
∴OD=OM=ON，
∵∠COE=∠CEO=67.5°，
∴CO=CE，
∴S△COP=PC·OM=CO·OM=CE·ON=S△COE ，
故④正确；
⑤如图，连接PB，
∵∠BCP=∠POB=90°，
∴PB2=PC2+BC2=OP2+OB2 ，
故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】①根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠ACD=45°，得出∠OCP= 135°，再根据角平分线的定义得出∠CAE=∠BAE=22.5°，得出∠OEB= ∠CAE+∠ACB=112.5°，即可判断 ① 错误；
②根据题意和线段垂直平分线的性质得出AO=BO=OP，得出∠OBD=∠BAE=∠APO=22.5°，从而得出
∠POE=∠BOE=45°，得出∠POB=90° ，即可判断②正确；
③先证出∠COP=∠APO，得出CP=OC≠OD，即可判断 ③ 错误 ；
④过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，根据角平分线的性质得出OD=OM=ON，再根据
∠COE=∠CEO=67.5°，得出CO=CE，利用S△COP=PC·OM=CO·OM=CE·ON=S△COE ，
即可判断④正确；
⑤连接PB，根据勾股定理得出PB2=PC2+BC2=OP2+OB2 ， 即可判断⑤正确.
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
9.【答案】 x＞2
【解析】【解答】解： ，
移项： ，
合并同类项： ，
系数化成1： ，
所以不等式的解集为： ；
故答案为： ．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
10.【答案】 75°
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=90°，
∵ ∠A-∠B=60°，
∴2∠A=150°，
∴∠A=75°.
故答案为：75°.
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得出∠A+∠B=90°，再根据∠A-∠B=60°，即可求出∠A=75°.
11.【答案】 面积相等的两个三角形是全等三角形
【解析】【解答】解： 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是“ 面积相等的两个三角形是全等三角形 ”.
故答案为： 面积相等的两个三角形是全等三角形.
【分析】命题的形式可以写成“若p则q”的形式，那么逆命题为“若q则p”，据此即可解答.
12.【答案】 212（或43）
【解析】【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP，
∴∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°，
∴MP=OP，
∵OP2-MP2=OM2 ，
∴OP2-（OP）2=62 ，
∴OP=cm.
故答案为：
【分析】先证出Rt△OMP≌Rt△ONP，得出∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°，从而得出MP=OP，再根据勾股定理求出OP的长即可.
13.【答案】 15°
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠BDC=90°，E是BC的中点，
∴AE=DE=BE=BC，
∴∠EAD=∠EDA，∠DBE=∠EBD，
∵AB=AC，
∴∠AEB=90°，
∵ ∠BCD=30°，
∴∠DBE=60°=∠EBD，
∴∠BED=60°，
∴∠AED=∠AEB+∠BED=150°，
∴∠EAD=∠EDA=15°.
故答案为：15°.
【分析】根据直角三角形斜边的中线定理得出AE=DE=BE=BC，得出∠EAD=∠EDA，∠DBE=∠EBD，再证出∠AEB=90°，∠BED=60°，从而得出∠AED=150°，即可求出∠EAD=15°.
14.【答案】 2020
【解析】【解答】解：由，
得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的解集为-2＜x＜1，
∴=-2，=1，
∴a=-5，b=3，
∴ 2019b－4(a+15)3－37 =2019×3-4×（-5+15）3-37=2020.
故答案为：2020.
【分析】先求出不等式组的解集为， 根据题意得出=-2，=1，求出a，b的值，再代入式子进行计算，即可求解.
15.【答案】 30
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，
∵ AE=2， S△ABE=6，
∴×2AB=6，
∴AB=6，
由折叠的性质得：BF=AB=6，EF=AE=2，∠BFC=90°,
利用等积法得： S△BCE=，
∴BC=CE，
∴CF=CE-EF=BC-2，
∵BC2=CF2+BF2 ，
∴BC2=（BC-2）2+62，
∴CE=BC=10，
∴ S△BCE=×10×6=30.
故答案为：30.
【分析】根据题意先求出AB的长，再根据折叠的性质得出BF=AB=6，EF=AE=2，∠BFC=90°，利用等积法得出BC=CE，再根据勾股定理求出BC的长，即可求出S△BCE的面积.
16.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，∠BAE+∠CAE=90°，
∵ AE垂直平分DC，
∴AD=AC，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠D=∠ACE=∠BAE，AD=AB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF，
∴DF=BF=1，
∵∠AFE=∠D+∠DAF，∠EAF=∠BAE+∠BAF，
∴∠AFE=∠EAF=45°，
∴AE=EF，
∵AE2+EF2=AF2 ，
∴EF2+EF2=（）2 ，
∴EF=1，
∴CE=DE=2，
∴CF=CE+EF=3.
故答案为：3.
【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出AD=AB，∠D=∠BAE，根据角平分线的定义得出∠DAF=∠BAF，从而证出AE=EF，ADF≌△ABF，得出DF=BF=1，再根据勾股定理求出EF=1，
CE=2，即可求出CF=CE+EF=3.
三、解答题（本题共有7小题，第17~19小题每小题6分，第20~22小题每小题8分，第23小题每小题10分，共52分．）
17.【答案】 （1）解：去括号，得2x+2>3x－4，
移项，得2+4>3x－2x，
合并同类项，得x<6．
∴该不等式的解集为x<6
（2）解： ，
解①得：x<2，
解②得： ，
∴不等式组的解集为
【解析】【分析】（1）依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出它们解集的公共部分，即可求解.
18.【答案】 证明：如图，连结AC．
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵∠BAD=∠BCD（已知），
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD
【解析】【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA，从而得出∠CAD=∠ACD，即可得出 AD=CD.
19.【答案】 （1）解：如图， ABD， ABD′， ABD″即为所求．
（2）解：如图，点P即为所求．
PC+PD 的最小值=
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理求解即可；
（2）作点D关于线段AB的对称点D´，连接CD´交线段AB于点 P，根据两点之间线段最短，即可得出 CP+PD的值最小，再根据勾股定理，求出CD´的长，即可求出 CP+PD的最小值最.
20.【答案】 （1）解：∵AB=AC，
∴ ．
∵∠1=∠C，
∴∠1=∠B=35°．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠1+∠EDC，
∴∠EDC=∠BAD=30°
（2）解：当DC=AB=3cm时， ABD≌ DCE．
理由如下：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠1+∠EDC，∠1=∠B，
∴∠BAD=∠EDC．在 ABD和 DCE中， ，
∴ ABD≌ DCE(ASA)．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求出∠B=∠C=35°，得出∠1=∠B=35°， 利用 ∠ADC=∠B+∠BAD=∠1+∠EDC， 即可求出∠EDC=∠BAD=30° ；
（2） 当DC=AB=3cm时， △ABD≌△DCE，先证出∠BAD=∠EDC ，再利用全等三角形的判定定理即可证出 △ABD≌△DCE.
21.【答案】 （1）解：∵由勾股定理可得 a2+b2=25，
四个直角三角形的面积为 ，即2ab=22，
则(a+b)2=a2+2ab+b2=25+22=47，
∴ a+b =
（2）解：∵CH⊥BG，BG⊥AF，
∴CH∥AF，
∴∠GCP=∠EAM．
∵ CGB≌ AED，
∴CG=AE，∠CGP=∠AEM=90°，
在 CGP和 AEM中， ，
∴ CGP≌ AEM(ASA)，
∴S CGP=S AEM ， GP=EM，
∴S AFP－S CGP=S AFP－S AEM=S梯形EFPM= (ME+PF) EF
【解析】【分析】（1） 由勾股定理可得a2+b2=25， 再利用四个直角三角形的面积等于大正方形的面积-小正方形的面积，得出2ab=22， 求出 (a+b)2=a2+2ab+b2 =47，即可求出a+b的值；
（2）先证出△CGP≌△AEM，得出S△CGP=S△AEM ， GP=EM，再利用S△AFP-S△CGP=S△AFP-S△AEM=
S梯形EFPM ， 得出S△AFP-S△CGP=S正方形EFGH ， 即可求解.
22.【答案】 （1）解：设购买甲种机器x台，则购买乙种机器(8－x)台．
依题意，得6x+4×(8－x)≤36，
解得 x≤2，
即x可取0，1，2三个值，
∴按该公司要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器8台；
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器7台；
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器6台
（2）解：根据题意，15x+10(8－x)≥82，
解得：x≥，
∵x≤2，
∴ ≤x≤2，
∴x 可取 1，2 两个值，即有以下两种购买方案：
方案一：购买甲种机器1台，购买乙种机器7台，所耗资金为 1×6+7×4=34（万元）；
方案二：购买甲种机器2台，购买乙种机器6台，所耗资金为 2×6+6×4=36（万元），
∴为了节约资金应选择方案一
【解析】【分析】（1） 设购买甲种机器x台，则购买乙种机器(8－x)台，根据题意列出不等式，求出不等式的解为x≤2，得出x可取0，1，2三个值， 即可得出购买的三种方案；
（2）根据题意列出不等式，求出不等式的解，得出x可取 1，2 两个值，分别计算出两种方案所耗的资金进行比较，即可求解.
23.【答案】 （1）解：∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=30°．
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE－∠DCB=∠ACB－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．
在 ACD 与 BCE 中， ，
∴ ACD≌ BCE(SAS)，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°
（2）解：当点D在线段AB上时，由（1）得∠DBE=60°恒成立，
∴∠DBE≠90°，
∴ DBE为直角三角形分两种情况讨论．
①当∠DEB=90°时，
∵∠DBE=60°，
∴DB=2BE，
∵ ACD≌ BCE（已证），
∴AD=BE．
∵AD+DB=6，
∴BE+DB=6，即3BE=6，
∴BE=2，
∴BD=4；
②当∠EDB=90°时，
∵∠DBE=60°，
∴BE=2BD，
∵ ACD≌ BCE（已证），
∴AD=BE，
∵AD+DB=6，
∴BE+DB=6，即 BE=6，
∴BE=4，
∴BD=2；
当点D在AB的延长线上时，
∵ ACD≌ BCE（已证），
∴∠A=∠CBE=30°，
∴∠ABC+∠CBE=30°+30°=60°，
∴∠DBE=120°，
∴不存在直角三角形，
综上所述：当 DBE为直角三角形时，BD的长为4或2．
（3）解：∵ ACD≌ BCE（已证），
∴AD=BE，
∴ BDE的周长=DB+BE+DE=DB+AD+DE=AB+DE=6+DE，
∵CE=CD，∠DCE=∠ACB=120°，
∴ DE = CD，
∴ BDE的周长= ，
当 CD⊥AB时，CD取得最小值为 ， BDE的周长取最小值为9
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得出∠A=∠ABC=30°，再证出△ACD≌△BCE，得出∠A=∠CBE=30°，利用∠ABE=∠ABC+∠CBE，即可求解；
（2）分两种情况讨论： ①当∠DEB=90°时， ②当∠EDB=90°时， 根据△ACD≌△BCE，得出AD=BE， 再由AD+DB=6，分别求出BD的长，即可求解；
（3）根据△ACD≌△BCE，得出AD=BE， 从而求出△BDE的周长=6+DE， 再求出DE = CD，得出△BDE的周长=6+ CD， 当 CD⊥AB时， CD取得最小值为 ， 即可求解.
八年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
1.衢州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.需要做一个三角形的木架，在以下四组长度的木棒中，符合条件的是（ ）
A. 3cm，2cm，1cm B. 3cm，4cm，5cm C. 5cm，12cm，6cm D. 6cm，6cm，12cm
3.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若a
5.如图，已知BC=DC，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABC≌ ADC的是（ ）
A. ∠B=∠D=90° B. ∠BCA=∠DCA C. ∠BAC=∠DAC D. AB=AD
6.如图，在5×5的方格纸中有一个格点 ABC（每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（ ）
A. 面积为7 B. 三边长都是有理数 C. 是直角三角形 D. 是等腰三角形
7.已知关于x的不等式组 的整数解共有4个，则a的取值范围是（ ）
A. 2≤a≤3 B. 2
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
9.不等式 的解集为________．
10.在Rt ABC中，∠C=90°，∠A－∠B=60°，则∠A=________．
11.已知命题“全等三角形的面积相等”，写出它的逆命题________．
12.两个全等的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中两个直角三角尺的短直角边分别在∠AOB的两边上，长直角边交于点P，连结OP，且OM=ON，若∠AOB=60°，OM=6cm，则线段OP=________cm．
13.如图，点E是Rt ABC、Rt BCD的斜边BC的中点，AB=AC，∠BCD=30°，则∠EAD的度数为________ ．
14.关于x的不等式组 的解集为 ；则代数式 2019b－4(a+15)3－37的值为________.
15.如图，在长方形 ABCD中，点E为长方形ABCD的边AD上一点，若AE=2，S ABE=6，将长方形ABCD沿BE折叠，使点A落在EC上的点F处，则 BCE的面积是 ________．
16.如图，等腰 Rt△ABC外有一点D，连结AD、CD，AE垂直平分DC于点E，∠DAB的平分线交DC于点F，连结BF，若 BF=1，AF= ，则线段CF=________．
三、解答题（本题共有7小题，第17~19小题每小题6分，第20~22小题每小题8分，第23小题每小题10分，共52分．）
17.解下列不等式和不等式组．
（1）2(x+1)>3x－4；
（2）
18.已知，如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．
19.如图，在4×5的网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点）．
（1）如图1，画出所有以AB为一边且与 ABC全等的格点三角形；
（2）如图2，在线段AB上画出一点P，使CP+PD的值最小，并求出最小值．
20.如图，在 ABC中，AB=AC=3cm，∠BAC=110°，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连结AD，作∠1=∠C，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BAD=30°，求∠EDC的度数．
（2）当DC等于多少时， ABD≌ DCE？试说明理由．
21.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为3．
（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边(a
22.2020年，全球爆发新冠肺炎疫情，某洗化日化公司为扩大经营，决定购进8台机器生产洗手液．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产洗手液的产量如下表所示，经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过36万元．
甲
乙
价格（万元/台)
6
4
每台日产量（吨)
15
10
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？请写出所有的购买方案．
（2）若该公司购进的8台机器的日生产能力不能低于82吨，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
23.如图，在 ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，AB=6，点D是射线AM上一点（不与A、B两点重合），点D从点A出发，沿射线AM的方向运动，以CD为一边在CD的右侧作 CDE，使CE=CD，∠DCE=∠ACB，连结BE．
（1）求∠ABE的度数；
（2）是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出线段BD的长；若不存在，请说明理由；
（3）BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出 BDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故A不符合题意；
B.是轴对称图形，故B不符合题意；
C.是轴对称图形，故C不符合题意；
D.不是轴对称图形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义，逐项进行判断，即可求解.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：A.由1+2=3，不能组成三角形，故A不符合题意；
B.由3+4＞5，能组成三角形，故B符合题意；
C.由5+6＜12，不能组成三角形，故C不符合题意；
D.由6+6=12，不能组成三角形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 三角形的三边关系为： 三角形的任意两边的和大于第三边， 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，据此逐项进行判断，即可求解.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：不等式组 的解集在数轴上表示为：
；
故答案为：A.
【分析】在数轴上表示解集时，一要找准起点，二要找准方向，三要区别实心点与空心圈.
4.【答案】 D
【解析】【解答】A. 若a
【分析】不等式性质1：不等式的两边同时加或减同一个数或整式，不等号的方向不变；
不等式的性质2：不等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；
不等式的性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变；
根据不等式的性质逐项进行判断，即可求解.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：A.∵在Rt△ADC和Rt△ABC中，， ∴Rt△ADC≌Rt△ABC，故A不符合题意；
B.∵在△ADC和△ABC中，， ∴△ADC≌△ABC，故B不符合题意；
C.∵在△ADC和△ABC中，由BC=DC，AC=AC， ∠BAC=∠DAC，不能判断△ADC≌△ABC，故C符合题意；
D.∵在△ADC和△ABC中，， ∴△ADC≌△ABC，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项进行判断，即可求解.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：A.S△ABC=5×4-×5×2-×2×2-×3×4=7，故A符合题意；
B.AB=， AC=， BC=， 故B不符合题意；
C.∵AB2+BC2≠AC2 ， ∴△ABC不是直角三角形，故C不符合题意；
D.∵AB≠AC≠BC，∴△ABC不是等腰三角形，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A.利用面积的和差求出△ABC的面积，即可得出A符合题意；
B.根据勾股定理求出AB、AC、BC的长，即可得出B不符合题意；
C.由AB2+BC2≠AC2 ， 得出△ABC不是直角三角形，即可得出C不符合题意；
D.由AB≠AC≠BC，得出△ABC不是等腰三角形，即可得出D不符合题意.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：由，
得：，
∴不等式组的解集为＜x＜a，
∵不等式组的整数解有4个，
∴2＜a≤3.
故答案为：B.
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解有4个，即可求出a的取值范围.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：①∵ AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ACD=45°，
∴ ∠OCP= 135°，
∵AE平分 ∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE=22.5°，
∴∠OEB= ∠CAE+∠ACB=22.5°+90°=112.5°，
故 ① 错误；
②∵ AC=BC， CD⊥AB，
∴AD=BD，
∴AO=BO=OP，
∴∠OBD=∠BAE=∠APO=22.5°，
∴∠POE=∠BOE=45°，
∴ ∠POB=90° ，
故②正确；
③∵∠COP=∠COE-∠POE=45°+22.5°-45°=22.5°=∠APO，
∴CP=OC≠OD，
故 ③ 错误 ；
④如图，过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，
∴OD=OM=ON，
∵∠COE=∠CEO=67.5°，
∴CO=CE，
∴S△COP=PC·OM=CO·OM=CE·ON=S△COE ，
故④正确；
⑤如图，连接PB，
∵∠BCP=∠POB=90°，
∴PB2=PC2+BC2=OP2+OB2 ，
故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】①根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠ACD=45°，得出∠OCP= 135°，再根据角平分线的定义得出∠CAE=∠BAE=22.5°，得出∠OEB= ∠CAE+∠ACB=112.5°，即可判断 ① 错误；
②根据题意和线段垂直平分线的性质得出AO=BO=OP，得出∠OBD=∠BAE=∠APO=22.5°，从而得出
∠POE=∠BOE=45°，得出∠POB=90° ，即可判断②正确；
③先证出∠COP=∠APO，得出CP=OC≠OD，即可判断 ③ 错误 ；
④过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，根据角平分线的性质得出OD=OM=ON，再根据
∠COE=∠CEO=67.5°，得出CO=CE，利用S△COP=PC·OM=CO·OM=CE·ON=S△COE ，
即可判断④正确；
⑤连接PB，根据勾股定理得出PB2=PC2+BC2=OP2+OB2 ， 即可判断⑤正确.
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
9.【答案】 x＞2
【解析】【解答】解： ，
移项： ，
合并同类项： ，
系数化成1： ，
所以不等式的解集为： ；
故答案为： ．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
10.【答案】 75°
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=90°，
∵ ∠A-∠B=60°，
∴2∠A=150°，
∴∠A=75°.
故答案为：75°.
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得出∠A+∠B=90°，再根据∠A-∠B=60°，即可求出∠A=75°.
11.【答案】 面积相等的两个三角形是全等三角形
【解析】【解答】解： 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是“ 面积相等的两个三角形是全等三角形 ”.
故答案为： 面积相等的两个三角形是全等三角形.
【分析】命题的形式可以写成“若p则q”的形式，那么逆命题为“若q则p”，据此即可解答.
12.【答案】 212（或43）
【解析】【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP，
∴∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°，
∴MP=OP，
∵OP2-MP2=OM2 ，
∴OP2-（OP）2=62 ，
∴OP=cm.
故答案为：
【分析】先证出Rt△OMP≌Rt△ONP，得出∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°，从而得出MP=OP，再根据勾股定理求出OP的长即可.
13.【答案】 15°
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠BDC=90°，E是BC的中点，
∴AE=DE=BE=BC，
∴∠EAD=∠EDA，∠DBE=∠EBD，
∵AB=AC，
∴∠AEB=90°，
∵ ∠BCD=30°，
∴∠DBE=60°=∠EBD，
∴∠BED=60°，
∴∠AED=∠AEB+∠BED=150°，
∴∠EAD=∠EDA=15°.
故答案为：15°.
【分析】根据直角三角形斜边的中线定理得出AE=DE=BE=BC，得出∠EAD=∠EDA，∠DBE=∠EBD，再证出∠AEB=90°，∠BED=60°，从而得出∠AED=150°，即可求出∠EAD=15°.
14.【答案】 2020
【解析】【解答】解：由，
得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的解集为-2＜x＜1，
∴=-2，=1，
∴a=-5，b=3，
∴ 2019b－4(a+15)3－37 =2019×3-4×（-5+15）3-37=2020.
故答案为：2020.
【分析】先求出不等式组的解集为， 根据题意得出=-2，=1，求出a，b的值，再代入式子进行计算，即可求解.
15.【答案】 30
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，
∵ AE=2， S△ABE=6，
∴×2AB=6，
∴AB=6，
由折叠的性质得：BF=AB=6，EF=AE=2，∠BFC=90°,
利用等积法得： S△BCE=，
∴BC=CE，
∴CF=CE-EF=BC-2，
∵BC2=CF2+BF2 ，
∴BC2=（BC-2）2+62，
∴CE=BC=10，
∴ S△BCE=×10×6=30.
故答案为：30.
【分析】根据题意先求出AB的长，再根据折叠的性质得出BF=AB=6，EF=AE=2，∠BFC=90°，利用等积法得出BC=CE，再根据勾股定理求出BC的长，即可求出S△BCE的面积.
16.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，∠BAE+∠CAE=90°，
∵ AE垂直平分DC，
∴AD=AC，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠D=∠ACE=∠BAE，AD=AB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF，
∴DF=BF=1，
∵∠AFE=∠D+∠DAF，∠EAF=∠BAE+∠BAF，
∴∠AFE=∠EAF=45°，
∴AE=EF，
∵AE2+EF2=AF2 ，
∴EF2+EF2=（）2 ，
∴EF=1，
∴CE=DE=2，
∴CF=CE+EF=3.
故答案为：3.
【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出AD=AB，∠D=∠BAE，根据角平分线的定义得出∠DAF=∠BAF，从而证出AE=EF，ADF≌△ABF，得出DF=BF=1，再根据勾股定理求出EF=1，
CE=2，即可求出CF=CE+EF=3.
三、解答题（本题共有7小题，第17~19小题每小题6分，第20~22小题每小题8分，第23小题每小题10分，共52分．）
17.【答案】 （1）解：去括号，得2x+2>3x－4，
移项，得2+4>3x－2x，
合并同类项，得x<6．
∴该不等式的解集为x<6
（2）解： ，
解①得：x<2，
解②得： ，
∴不等式组的解集为
【解析】【分析】（1）依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出它们解集的公共部分，即可求解.
18.【答案】 证明：如图，连结AC．
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵∠BAD=∠BCD（已知），
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD
【解析】【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA，从而得出∠CAD=∠ACD，即可得出 AD=CD.
19.【答案】 （1）解：如图， ABD， ABD′， ABD″即为所求．
（2）解：如图，点P即为所求．
PC+PD 的最小值=
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理求解即可；
（2）作点D关于线段AB的对称点D´，连接CD´交线段AB于点 P，根据两点之间线段最短，即可得出 CP+PD的值最小，再根据勾股定理，求出CD´的长，即可求出 CP+PD的最小值最.
20.【答案】 （1）解：∵AB=AC，
∴ ．
∵∠1=∠C，
∴∠1=∠B=35°．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠1+∠EDC，
∴∠EDC=∠BAD=30°
（2）解：当DC=AB=3cm时， ABD≌ DCE．
理由如下：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠1+∠EDC，∠1=∠B，
∴∠BAD=∠EDC．在 ABD和 DCE中， ，
∴ ABD≌ DCE(ASA)．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求出∠B=∠C=35°，得出∠1=∠B=35°， 利用 ∠ADC=∠B+∠BAD=∠1+∠EDC， 即可求出∠EDC=∠BAD=30° ；
（2） 当DC=AB=3cm时， △ABD≌△DCE，先证出∠BAD=∠EDC ，再利用全等三角形的判定定理即可证出 △ABD≌△DCE.
21.【答案】 （1）解：∵由勾股定理可得 a2+b2=25，
四个直角三角形的面积为 ，即2ab=22，
则(a+b)2=a2+2ab+b2=25+22=47，
∴ a+b =
（2）解：∵CH⊥BG，BG⊥AF，
∴CH∥AF，
∴∠GCP=∠EAM．
∵ CGB≌ AED，
∴CG=AE，∠CGP=∠AEM=90°，
在 CGP和 AEM中， ，
∴ CGP≌ AEM(ASA)，
∴S CGP=S AEM ， GP=EM，
∴S AFP－S CGP=S AFP－S AEM=S梯形EFPM= (ME+PF) EF
【解析】【分析】（1） 由勾股定理可得a2+b2=25， 再利用四个直角三角形的面积等于大正方形的面积-小正方形的面积，得出2ab=22， 求出 (a+b)2=a2+2ab+b2 =47，即可求出a+b的值；
（2）先证出△CGP≌△AEM，得出S△CGP=S△AEM ， GP=EM，再利用S△AFP-S△CGP=S△AFP-S△AEM=
S梯形EFPM ， 得出S△AFP-S△CGP=S正方形EFGH ， 即可求解.
22.【答案】 （1）解：设购买甲种机器x台，则购买乙种机器(8－x)台．
依题意，得6x+4×(8－x)≤36，
解得 x≤2，
即x可取0，1，2三个值，
∴按该公司要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器8台；
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器7台；
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器6台
（2）解：根据题意，15x+10(8－x)≥82，
解得：x≥，
∵x≤2，
∴ ≤x≤2，
∴x 可取 1，2 两个值，即有以下两种购买方案：
方案一：购买甲种机器1台，购买乙种机器7台，所耗资金为 1×6+7×4=34（万元）；
方案二：购买甲种机器2台，购买乙种机器6台，所耗资金为 2×6+6×4=36（万元），
∴为了节约资金应选择方案一
【解析】【分析】（1） 设购买甲种机器x台，则购买乙种机器(8－x)台，根据题意列出不等式，求出不等式的解为x≤2，得出x可取0，1，2三个值， 即可得出购买的三种方案；
（2）根据题意列出不等式，求出不等式的解，得出x可取 1，2 两个值，分别计算出两种方案所耗的资金进行比较，即可求解.
23.【答案】 （1）解：∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=30°．
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE－∠DCB=∠ACB－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．
在 ACD 与 BCE 中， ，
∴ ACD≌ BCE(SAS)，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°
（2）解：当点D在线段AB上时，由（1）得∠DBE=60°恒成立，
∴∠DBE≠90°，
∴ DBE为直角三角形分两种情况讨论．
①当∠DEB=90°时，
∵∠DBE=60°，
∴DB=2BE，
∵ ACD≌ BCE（已证），
∴AD=BE．
∵AD+DB=6，
∴BE+DB=6，即3BE=6，
∴BE=2，
∴BD=4；
②当∠EDB=90°时，
∵∠DBE=60°，
∴BE=2BD，
∵ ACD≌ BCE（已证），
∴AD=BE，
∵AD+DB=6，
∴BE+DB=6，即 BE=6，
∴BE=4，
∴BD=2；
当点D在AB的延长线上时，
∵ ACD≌ BCE（已证），
∴∠A=∠CBE=30°，
∴∠ABC+∠CBE=30°+30°=60°，
∴∠DBE=120°，
∴不存在直角三角形，
综上所述：当 DBE为直角三角形时，BD的长为4或2．
（3）解：∵ ACD≌ BCE（已证），
∴AD=BE，
∴ BDE的周长=DB+BE+DE=DB+AD+DE=AB+DE=6+DE，
∵CE=CD，∠DCE=∠ACB=120°，
∴ DE = CD，
∴ BDE的周长= ，
当 CD⊥AB时，CD取得最小值为 ， BDE的周长取最小值为9
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得出∠A=∠ABC=30°，再证出△ACD≌△BCE，得出∠A=∠CBE=30°，利用∠ABE=∠ABC+∠CBE，即可求解；
（2）分两种情况讨论： ①当∠DEB=90°时， ②当∠EDB=90°时， 根据△ACD≌△BCE，得出AD=BE， 再由AD+DB=6，分别求出BD的长，即可求解；
（3）根据△ACD≌△BCE，得出AD=BE， 从而求出△BDE的周长=6+DE， 再求出DE = CD，得出△BDE的周长=6+ CD， 当 CD⊥AB时， CD取得最小值为 ， 即可求解.
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