2021年上海市闵行10校联考八年级上学期数学期中试卷

 八年级上学期数学期中试卷

一、单选题

1.在下列各式中，二次根式 的有理化因式是(    )           

A.                               B.                               C.                               D. 

2.下列二次根式中，最简二次根式是（      ）           

A.                               B.                               C.                               D. 

3.下列方程是关于x的一元二次方程的是（      ）           

A.                   B.                   C.                   D. 

4.下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（      ）           

A.                B.                C.                D. 

5.下列命题是真命题的是（       ）           

A. 两个锐角的和还是锐角；                                B. 全等三角形的对应边相等；
C. 同旁内角相等，两直线平行；                         D. 等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（      ） 

A. DA=DE                             B. AC=EC                             C. AH＝EH                             D. CD＝ED

二、填空题

7.化简： =         

8.化简： ________．   

9.已知： ，那么a的取值范围是________．   

10.不等式 的解集是________.   

11.已知最简二次根式 与 是同类二次根式，x=________．   

12.方程 的根是       ．   

13.在实数范围内分解因式： ________.   

14.方程 的根的判别式的值为________．   

15.某种商品原价800元，经过两次降价后售价为612元，其中二次降价的百分率比第一次降价的百分率多5%，如果设第一次降价的百分率为x，那么根据题意所列出的方程为________（只列出方程，无需求解）．   

16.把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是________.   

17.如图，已知  ，要使 ≌ 成立， 还需填加一个条件，那么这个条件可以是________．（只需写出一个即可） 

18.如图，三角形纸片ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝________度． 

三、解答题

19.如图，已知，AB⊥BD，AC⊥CD，且∠BAD＝∠CAD． 

求证：AD⊥BC．

20.计算：

21.解方程：

22.用配方法解方程：

23.先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．   

24.已知关于x的一元二次方程 （m为常数）．   

（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；   

（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值；   

（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围；   

25.某工程队，在工地一边的靠墙处（墙的长度为70米），用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，并且在平行于墙的一边开一扇宽为2米的门，如果围成的长方形临时仓库的面积为1800平方米，求长方形的两条边长．   

26.如图，已知，在 中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE． 

（1）求证：AF＝CE．   

（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证： ．   

27.如图，已知， 是等边三角形，CE是 的外角∠ACM的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．

（1）如图1，如果点D在边BC上，求证：AD＝DE；   

（2）如图2，如果点D在边BC的延长线上，那么（1）中的结论“AD＝DE”还成立吗？请说明理由；   

（3）如果 的边长为4，且∠DAC＝30°，请直接写出线段BD的长度．（无需写出解题过程）   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C  

【解析】【解答】解：∵ ，

∴二次根式 的有理化因式是： .

故答案为：C.

【分析】根据题意，将二次根式有理化，即去掉根号，即可得到答案。

2.【答案】 A  

【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，此项符合题意；

B、 不是最简二次根式，此项不符题意；

C、 不是最简二次根式，此项不符题意；

D、 不是最简二次根式，此项不符题意；

故答案为：A．

【分析】根据最简二次根式的含义，判断得到答案即可。

3.【答案】 C  

【解析】【解答】解：A、方程 中的 不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；

B、方程 可整理为 ，是一元一次方程，此项不符题意；

C、方程 满足一元二次方程的定义，此项符合题意；

D、当 时，方程 不是一元二次方程，此项不符题意；

故答案为：C．

【分析】由一元二次方程的含义，判断得到答案即可。

4.【答案】 B  

【解析】【解答】解：A、△＝（-6）2-4×1×1=32＞0，方程有两个不相等的实数根；

B、△＝（-1）2-4×2×2=-15<0，方程没有实数根；

C、△＝（4）2-4×4×1=0，方程有两个相等的实数根；

D、△＝（m-1）2-4×4×3，不能判定正负，故不可知方程的根的情况．

故答案为：B．

【分析】由一元二次方程根的判别式，判断得到答案即可。

5.【答案】 B  

【解析】【解答】解：A、两锐角之和不一定是锐角，如40+80=120是钝角，故此选项不符合题意；

B、全等三角形的对应边相等，此选项符合题意；

C、同旁内角互补，两直线平行，故同旁内角相等，两直线不一定平行，此选项不符合题意;

D、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意，

故答案为：B

【分析】根据锐角的含义、全等三角形的性质、平行线的判定以及中心对称图形的含义，判断得到答案即可。

6.【答案】 D  

【解析】【解答】解：可以分析出A、B、C选项任何一个成立，那么都可以得到CH是AE的垂直平分线，那么就可以推出其他两个选项也都成立，但这是不可能的，所以A、B、C都不一定符合题意，

D选项一定符合题意，证明如下：

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵AD平分 ，

∴ ，

在 和 中，

，

∴ ，

∴ ．

故答案为：D．

【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质，证明得到△CDF≌△EDH，继而得到CD=ED即可得到答案。

二、填空题

7.【答案】

【解析】【解答】解： = = ，故填 ． 

【分析】根据最简二次根式的方法求解即可．

8.【答案】

【解析】【解答】解：由二次根式的定义得： ，解得 ，

则 ，

故答案为： ．

【分析】根据题意，将二次根式化简为最简二次根式即可。

9.【答案】 a≤1  

【解析】【解答】解：由题意知 ，

故a-1≤0，

即a≤1．

故答案为a≤1．

【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质，求出a的取值范围即可。

10.【答案】

【解析】【解答】解：移项得： ，即： = = =

故答案为

【分析】按照解一元一次不等式步骤移项求解即可，最后需要进行分母有理化

11.【答案】 ﹣2  

【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，

∴x+5=3，

解得：x=﹣2，

故答案为：﹣2．

【分析】根据题意，列出关于x的方程，解出x的值即可。

12.【答案】

【解析】【解答】解： ，

，

，

或 ，

解得 ，

故答案为： ．

【分析】利用提公因式法，解一元二次方程，得到答案即可。

13.【答案】 2（x- ）（x- ）  

【解析】【解答】解：设2x2-3x-1=0，

∵△=（-3）2-4×2×（-1）=17，

∴x=

∴x1= ，x2= ，

∴2x2-3x-1=2（x- ）（x- ）．

故答案为：2（x- ）（x- ）．

【分析】求出方程2x2-3x-1=0中的判别式的值，求出方程的两个解，代入ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）即可．

14.【答案】 40  

【解析】【解答】解：一元二次方程 中的 ，

则其根的判别式为 ，

故答案为：40．

【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算得到答案即可。

15.【答案】 800（1-x）（95%-x）=612  

【解析】【解答】解：根据题意得800-800x-（800-800x）（x+5%）=612

即800（1-x）（95%-x）=612，

故答案为：800（1-x）（95%-x）=612．

【分析】根据题意，由等量关系，列出方程得到答案即可。

16.【答案】 如果两条直线被第三条直线所截且同位角相等，那么这两条直线平行  

【解析】【解答】解：“同位角相等，两直线平行”的条件是：“同位角相等”，结论为：“两直线平行”，所以写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同位角相等，那么两直线平行”.

【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论.

17.【答案】

【解析】【解答】解：

理由：在 和 中，

，

．

故答案为 （答案不唯一）．

【分析】根据全等三角形的判定定理，计算得到答案即可。

18.【答案】 34  

【解析】【解答】解：如图，

∵△ABC中∠A＝75°，∠B＝72°，

∴∠C=180°﹣75°﹣72°=33°，

∴∠3+∠4=180°﹣33°=147°，

∵∠A+∠B+∠2+∠4+∠3+∠1=360°，∠1=32°，

∴∠2=360°﹣75°﹣72°﹣147°﹣32°=34°，

故答案为：34°．

【分析】根据折叠的性质，根据三角形的内角和定理，求出答案即可。

三、解答题

19.【答案】 证明：∵AB⊥BD，AC⊥CD， 

∴∠ABD=∠ACD=90°，

在△ABD和△ACD中

，

∴△ABD≌△ACD，

∴AB=AC，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴AD⊥BC．

【解析】【分析】根据题意，证明得到△ABD≌△ACD，即可得到AB=AC，根据等腰三角形的性质求出答案即可。

20.【答案】 解：原式=

=

= ．

【解析】【分析】将根式化简为最简二次根式，运算得到答案即可。

21.【答案】 解：(x+1)(x+2)=12， 

x2+3x+2=12,

x2+3x-10=0

(x+5)(x-2)=0，

∴x1=-5，x2=2.

【解析】【分析】将二次方程去括号，移项，合并同类项，利用十字相乘法解出方程的根即可。

22.【答案】 解：

 ， ．

【解析】【分析】根据完全平方公式的性质，利用配方法求出方程即可。

23.【答案】 解：

=

=

=

=

=

=

=

= ；

将 代入得：原式= ．

【解析】【分析】根据平方差公式、分母有理化、二次根式的性质进行化简运算，代入x和y的值，求出答案即可。

24.【答案】 （1）解： 方程 是关于x的一元二次方程，  

，

解得 ，

如果方程有两个不相等的实数根，

则其根的判别式 ，

解得 ，

故此时m的取值范围为 且 ；

（2）解：如果方程有两个相等的实数根， 

则其根的判别式 ，

解得 ；

（3）解：如果方程没有实数根， 

则其根的判别式 ，

解得 ．

【解析】【分析】（1）根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于0，求出m的值即可；
（2）同理，方程根的判别式等于0，求出m的值即可；
（3）根据题意可知方程根的判别式小于0，求出m的值即可。

25.【答案】 解：设垂直墙一边长为x米，则平行墙的一边为(122-2x)米， 

根据题意，得：(122-2x)•x=1800，

即x2-61x+900=0，

（x﹣36）(x﹣25)=0，

解得：x1=36，x2=25，

∴x=36时，122-2x=122-2×36=50（米），

当x=25时，122-2x=122-2×25=72（米），

∵墙的长度为70米，∴x=36，

故长方形的长为50米，宽为36米．

【解析】【分析】根据题意，由矩形的面积公式，即可得到关于x的一元二次方程，求出最大值即可。

26.【答案】 （1）证明： 点D是边AC的中点，  

，

，

，

在 和 中， ，

，

 ；

（2）解：由（1）知， ，  

，

四边形AECF是平行四边形，

，

，

，

，

 ．

【解析】【分析】（1）根据中点的性质以及平行的性质，证明得到△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到AF=CE即可；
（2）由（1）的结论，根据平行线的性质证明四边形AECF为平行四边形，继而由平行四边形的性质求出答案即可。

27.【答案】     （1）证明：如图1，在AB上取一点F，使 ，连接DF，

是等边三角形，

，

，即 ，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

平分 ，

，

，

，

，

又 ，

，

在 和 中， ，

，

；

 
（2）解：成立，理由如下：

如图2，延长BA，使 ，连接DF，

是等边三角形，

，

，即 ，

，

是等边三角形，

，

平分 ，

，

，

，

，

在 和 中， ，

，

；

 
（3）2或8

【解析】【解答】解：（3） 是边长为4的等边三角形，

，

由题意，分以下两种情况：

①如图3-1，当点D在边BC上时，

，

，即AD是 的角平分线，

；

②如图3-2，当点D在边BC的延长线上时，

，

，

，

，

；

综上，线段BD的长为2或8．

 
【分析】（1）根据三角形ABC为等边三角形，即可得到△CDN为等边三角形，证明得到△ADN≌△EDC，即可得到AD=DE；
（2）同理在AC延长线取CN=CD，继而根据三角形ABC为等边三角形，即可得到△CDN为等边三角形，证明得到△ADN≌△EDC，即可得到AD=DE；
（3）分两种情况进行讨论，由直角三角形的性质和等边三角形的性质求出解即可。