高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数综合训练题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数综合训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cs x，则y′＝sin x
B．若y＝sin x，则y′＝－cs x
C．若y＝eq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x2)
D．若y＝eq \r(x)，则y′＝eq \f(\r(x),2)
C [∵(cs x)′＝－sin x，∴A不正确；
∵(sin x)′＝cs x，∴B不正确；
∵(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x))，∴D不正确．]
2．在曲线f(x)＝eq \f(1,x)上切线的倾斜角为eq \f(3,4)π的点的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(－1，1)D．(1，1)或(－1，－1)
D [切线的斜率k＝tan eq \f(3,4)π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－eq \f(1,x2)，∴－eq \f(1,x\\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选D．]
3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( )
A．eq \f(1,10)B．10
C．10ln 10D．eq \f(1,10ln 10)
C [∵f′(x)＝10xln 10，
∴f′(1)＝10ln 10．]
4．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( )
A．4 B．－4 C．28 D．－28
C [∵y′＝3x2，
∴点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12．
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28．]
5．若f(x)＝sin x，f′(α)＝eq \f(1,2)，则下列α的值中满足条件的是( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(2,3)π D．eq \f(5,6)π
A [∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cs x．
又∵f′(α)＝cs α＝eq \f(1,2)，∴α＝2kπ±eq \f(π,3)(k∈Z)．
当k＝0时，α＝eq \f(π,3)．]
二、填空题
6．若f(x)＝eq \r(x)，且f′(α)＝eq \f(1,4)，则α＝________．
4 [因为f′(x)＝eq \f(1,2\r(x))，所以f′(α)＝eq \f(1,2\r(α))＝eq \f(1,4)，解得α＝4．]
7．已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq \f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________．
3 [依题意知，f(1)＝eq \f(1,2)×1＋2＝eq \f(5,2)，
f′(1)＝eq \f(1,2)，∴f(1)＋f′(1)＝eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)＝3．]
8．直线y＝eq \f(1,2)x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．
ln 2－1 [设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0．
∵y′＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，由题意知eq \f(1,x0)＝eq \f(1,2)，
∴x0＝2，y0＝ln 2．
由ln 2＝eq \f(1,2)×2＋b，得b＝ln 2－1．]
三、解答题
9．若质点P的运动方程是s＝eq \r(3,t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．
[解] ∵s′＝(eq \r(3,t2))′＝(teq \s\up12(eq \f(2,3)))′＝eq \f(2,3)teq \s\up12(－eq \f(1,3))，
∴s′|t＝8＝eq \f(2,3)×8eq \s\up12(－eq \f(1,3))＝eq \f(2,3)×2－1＝eq \f(1,3)，
∴质点P在t＝8 s时的瞬时速度为eq \f(1,3) m/s．
10．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解] (1)因为y′＝2x．
P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0．
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0．
(2)直线PQ的斜率k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1，设切点为(x0，xeq \\al(2,0))，因为y′＝2x，所以切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝eq \f(1,2)，所以切点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，
与PQ平行的切线方程为y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)，
即4x－4y－1＝0．
1．已知函数f(x)＝ln x的图像在(a，f(a))处的切线斜率为k(a)，则“a>2”是 “k(a)A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
A [因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝eq \f(1,x)(x>0)，k(a)＝eq \f(1,a)(a>0)，若k(a)2，故“a>2”是 “k(a)2．(多选题)下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝exB．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln xD．f(x)＝sin x
ABC [若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0．
A中，f′(x)＝ex>0，B中f′(x)＝3x2≥0，C中f′(x)＝eq \f(1,x)>0，故ABC中均不存在互相垂直的切线方程．而D中f′(x)＝cs x，其可正可负，一定存在使cs x1·cs x2＝－1的情形，故选ABC．]
3．若曲线y＝xeq \s\up12(－eq \f(1,2))在点(a，aeq \s\up12(－eq \f(1,2)))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________．
64 [因为y′＝－eq \f(1,2)xeq \s\up12(－eq \f(3,2))，所以曲线y＝xeq \s\up12(－eq \f(1,2))在点(a，aeq \s\up12(－eq \f(1,2)))处的切线方程为：
y－aeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝－eq \f(1,2)aeq \s\up12(－eq \f(3,2)) (x－a)，令x＝0得y＝eq \f(3,2)aeq \s\up12(－eq \f(1,2))，令y＝0得x＝3a，
所以eq \f(1,2)×eq \f(3,2)aeq \s\up12(－eq \f(1,2))×3a＝18，解得a＝64．]
4．曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线方程为_________，其与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn＝______．
y＝(n＋1)x－n eq \f(1,n＋1) [∵y′＝(n＋1)xn，∴y′|x＝1＝n＋1．∴曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，即y＝(n＋1)x－n．
令y＝0得x＝eq \f(n,n＋1)，∴xn＝eq \f(n,n＋1)，
∴x1·x2·…·xn＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n,n＋1)＝eq \f(1,n＋1)．]
点P是f(x)＝x2上任意一点，求点P到直线y＝x－1的最短距离．
[解] 与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝eq \f(1,2)，y0＝eq \f(1,4)．即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq \f(3\r(2),8)．