人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.2 导数及其几何意义综合训练题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.2 导数及其几何意义综合训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]
2．已知f′(x0)＝3，eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,3Δx)的值是( )
A．3 B．2 C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,2)
B [eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,3Δx)＝eq \f(2,3)eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝eq \f(2,3)f′(x0)＝2．故选B．]
3．已知曲线f(x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1，1)B．(－1，1)
C．(1，1)或(－1，－1)D．(2，8)或(－2，－8)
C [设P(x0，y0)，则f′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx3－x\\al(3,0),Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0))[3xeq \\al(2,0)＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3xeq \\al(2,0)．
由题意，知切线斜率k＝3，令3xeq \\al(2,0)＝3，得x0＝1或x0＝－1．
当x0＝1时，y0＝1；当x0＝－1时，y0＝－1．
故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)，故选C．]
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝aB．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b
C [∵f′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) (a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a．]
5．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0
A [设切点为(x0，y0)，
∵f′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx2－x\\al(2,0),Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) (2x0＋Δx)＝2x0．
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
∴x0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A．]
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是__________．(填序号)
① ② ③ ④
② [由y＝f(x)的图像及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x>0时，f′(x)<0．故②符合．]
7．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________．
2 [因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以eq \f(Δs,Δt)＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝4a，所以4a＝8，所以a＝2．]
8．若f′(x0)＝1，则eq \(lim,\s\d8(k→0)) eq \f(fx0－k－fx0,2k)＝__________．
－eq \f(1,2) [eq \(lim,\s\d8(k→0)) eq \f(fx0－k－fx0,2k)
＝－eq \f(1,2)eq \(lim,\s\d8(k→0)) eq \f(fx0－k－fx0,－k)＝－eq \f(1,2)f′(x0)＝－eq \f(1,2)．]
三、解答题
9．试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
[解] 设所求切线的切点为A(x0，y0)，
则f′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx2－x\\al(2,0),Δx)＝2x0．
∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝xeq \\al(2,0)，
又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为eq \f(y0－5,x0－3)＝eq \f(x\\al(2,0)－5,x0－3)．
∴2x0＝eq \f(x\\al(2,0)－5,x0－3)，解得x0＝1或x0＝5．
从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)．
当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10．
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25．
10．“菊花”烟花是壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．
[解] 烟花在t＝2 s时的瞬时速度就是h′(2)．
而eq \f(Δh,Δt)＝eq \f(h2＋Δt－h2,Δt)＝－4.9－4.9Δt，
所以h′(2)＝eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) eq \f(Δh,Δt)＝eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) (－4.9－4.9Δt)＝－4.9，
即在t＝2 s时，烟花正以4.9 m/s的瞬时速度下降．
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；
在0～1.5 s之间，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；
在1.5 s后，曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．
1．(多选题)下列命题正确的是( )
A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线
B．函数y＝f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点
C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，eq \f(f1－f1＋Δx,2Δx)＝1
D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图像在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0
BD [若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；
函数y＝f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图像还有一个公共点(－2，－2)，故选项B正确；
因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2，
又eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f1－f1＋Δx,2Δx)＝－eq \f(1,2)eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝－eq \f(1,2)f′(1)＝－1≠1，故选项C错误；因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1，又f(1)＝2，所以切点坐标为(1，2)，斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，化简得x＋y－3＝0，故选项D正确．故选BD．]
2．设f(x)在x＝1附近有定义，且满足eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f1－f1－x,2x)＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
D [∵eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f1－f1－x,2x)
＝eq \f(1,2)eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f1－x－f1,－x)＝－1，
∴eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f1－x－f1,－x)＝－2，即f′(1)＝－2．
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D．]
3．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
2 [因为s′(0)＝eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) eq \f(s0＋Δt－s0,Δt)
＝eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) eq \f(20＋Δt－30＋Δt2－0,Δt)
＝eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) eq \f(2Δt－3Δt2,Δt)
＝eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) (2－3Δt)
＝2．
所以物体的初速度是v0＝2．]
4．已知f′(x0)>0，若a＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，
b＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0－Δx－fx0,Δx)，c＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)，
d＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)，e＝eq \(lim,\s\d8(x→x0)) eq \f(fx－fx0,x－x0)，
则a，b，c，d，e的大小关系为__________．
c>a＝d＝e>b [a＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)，
b＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0－Δx－fx0,Δx)
＝－eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝－f′(x0)，
c＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)
＝2eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2f′(x0)，
d＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)，
e＝eq \(lim,\s\d8(x→x0)) eq \f(fx－fx0,x－x0)＝f′(x0)．即c>a＝d＝e>b．]
已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．
[解] 因为f′(1)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(a1＋Δx2＋1－a＋1,Δx)＝2a，
所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a．
因为g′(1)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(1＋Δx3＋b1＋Δx－1＋b,Δx)＝3＋b，
所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b．
因为在交点(1，c)处有公切线，
所以2a＝3＋b．
又因为c＝a＋1，c＝1＋b，
所以a＋1＝1＋b，即a＝b，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3＋b，,a＝b，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3.))