北师大版必修12.1指数概念的扩充教案

这是一份北师大版必修12.1指数概念的扩充教案，共5页。教案主要包含了教学方法，学习方法，教学手段，教学过程等内容，欢迎下载使用。

教材分析
（1）教材的地位与作用
本节课是学生在已掌握了对数的定义，对数恒等式，对数式和指数式的互化和指数的运算性质的基础上，进一步研究对数的运算性质，它一方面可以进一步深化学生对数定义，对数与指数的互逆关系的理解与认识，使学生得到较系统的研究逆运算的方法和公式应用的相关技巧，同时也为今后换底公式的推导，对数函数的学习，实际问题的应用打下坚实的基础。因此，本节课的内容对知识起到了铺路石的作用。
（2）教学目标
1.经历幂概念的自然扩充过程，充分感受分数指数幂规定的合理性，理解分数指数幂的意义；
2.能将方根转化成幂的形式；
3.激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的价值，感悟数学文化。
（3）教学重点、难点
重点:理解分数指数幂的概念及表示；
难点:分数指数幂的引入．
二、教学方法
遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课我采用引导发现式的教学方法。通过在教学过程中的铺垫、提问，启发学生通过主动思考、合作探究来达到对对数运算性质及应用技巧的发现和接受。
三、学习方法
“听来的忘得快，看到的记得住，做过的才能会。”让学生充分经历数学知识的形成过程，才能更好地理解记忆相关知识，更重要的是利于学生方法的掌握，思想的形成。
类比探究式学习:以整数指数幂的意义推广探究分数指数幂的意义
2.合作探究式学习:小组共同探究分数指数幂的意义
四、教学手段
1.多媒体: 良好的交互性，利于教师引导学生进行合作探究，节省阶梯训练，总结规律等环节的抄题时间，提高教学效率。
2.粉笔加黑板:带领学生完成根式与分数指数幂的转化，使学生应用所学知识解决计算问题。
五、教学过程
（一）、教师主导，提出问题
1、推荐书目：R·柯朗，H·罗宾：《什么是数学》
对于引进新的符号，扩充一个范围，使得在原来范围内成立的规律，在这更大的范围内继续成立，这是数学推广过程的一个特征。
“伪造名画案”：
二战后期，盟军收复比利时，荷兰保安人员开始搜捕纳粹同党。他们根据一家艺术品公司的档案发现，荷兰画家范·米格伦（H. A. Van Meegeren, 1889-1947）曾通过中介将17世纪著名画家弗美尔（J. Vermeer, 1632-1675）的作品“基督与奸妇”出售给纳粹头目戈林。1945年5月29日，范·米格伦被控犯有叛国罪而被捕入狱。同年7月12日，范·米格伦在狱中声称：“基督与奸妇”是他本人伪造的作品，其他五幅假冒弗美尔真迹的油画也都是他本人的作品！人们普遍认为，范·米格伦在撒谎，其目的是逃避叛国罪。为了证明自己，范·米格伦在狱中开始伪造弗美尔的作品《耶稣和医生们在一起》，在伪造的尾声也就是1947年10月12日，范·米格伦已经被判伪造名画罪，入狱一年，他拒绝完成最后一道工序“将画变古”。同年12月30日，心脏病突发，死于狱中。直到1976年卡内基-梅隆大学的科学家们采用数学建模的方法完成了证明。
范·米格伦究竟是否伪造了弗美尔的画？经测定，油画中的铅-210大约每经过22年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。据此，人们获得了油画中的铅含量 P 与年数 t 之间的关系：
思考：表中相应 P 值的意义究竟是什么呢？
、学生探求，发现问题
Q1：请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果：
Q2:讨论：的意义，是什么数？
、主体互动，研究问题
1、合作探究：
讨论：的意义，是什么数？
观察：相邻三个正整数指数幂之间的关系：
0、1、2  1、2、4
1、2、3  2、4、8
2、3、4  4、8、16
猜想：若在指数0 和1之间插入算术平均数，则对应的幂应该为什么数？
小结：（1）若，则称为的次方根。其中为大于1的正整数。
的次幂：一般地，给定正实数a，对于给定的正整数n，存在唯
一的正实数b，使得，我们把b叫做a的次幂，记作．
例如：若已知a3=27则，则我们也可以用分数指数幂表示为．
2、观察以下式子，并总结出规律：a＞0
①
②
③
④
3、利用上例你能表示出下面的式子吗？
，（x＞0，a＞0，m，n，且n＞1，）
、课堂整理，解决问题
1、分数指数幂：一般地，给定正实数a，对于任意给定的整数，存在唯一的正实数，使得bn=am，我们把叫做的次幂，记作，它就是分数指数幂．
例如：，则；，则．
注1：（1）我们也把写成，即=
（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：
（a≠0，n），（a＞0，m，n，且n＞1）
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
2、分别将引入中出现的分数指数幂化为根式。
（五）、课堂练习，巩固提高
例1、把下列各式中的写成正分数指数幂的形式：
（2）（3）
例2、求值：(1)；(2)；(3)；(4)
拓展问题：19世纪数学家给出无理量的如下定义：“具有分数指数的量称为不
尽根，也称为无理量。”你觉得这个定义严谨吗？试说明理由。
思考交流：请同学们阅读教材65页至66页理解指数可以扩充到全体实数
后有意义吗？
（六）、反思小结，信息反馈
1．请同学们回顾一下本节课我们主要学习了哪些内容？
2．除了知识上的收获外，本节课你还学到了什么？
A. 伪造名画案
B. 幂指数的扩充过程
C. 类比的思想方法
D. 一节课的小结
E. 其他
（七）、作业布置
1.正式作业：课本P66，练习3.
计算：（1）;（2）;（3）
2.（选做）指数概念扩充的发展历史小故事。
板书设计
3.2.1 指数概念的扩充
例1
1、
2、分数指数幂： PPT显示 例2
注：（1） 例3
（2）
（3）
t
50
100
500
1000
5000
P
指数n
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
幂
…
…