北师大版必修14.2换底公式教案

这是一份北师大版必修14.2换底公式教案，共7页。教案主要包含了复习回顾，讲授新知等内容，欢迎下载使用。

知识与技能
掌握换底公式，能够应用解决计算和证明问题。
过程与方法
由具体的对数运算，到换底公式，在这过程中进行猜想，得出规律，再进行证明，体现化归的思想。
情感、态度与价值观
对数换底公式的学习，培养学生的探究意识和严谨的思维品质。
教学重点：
换底公式的灵活运用
教学难点：
换底公式的证明和灵活运用
教学过程：
一、复习回顾、思考引入
1.对数与指数的互化：ab＝N化成对数式为b＝lgaN. (N>0，a>0，a≠1)
2.对数运算有哪三条基本性质？
如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：
（1）
（2）
（3）
3.对数运算有哪三个常用结论？
4.能尝试解决计算lg48吗？
学生思考回答，可能会有两种不同的解决方案，也可能没有办法解决从而引入新课（前三个课前以填空的形式给出）
二、讲授新知
1、探究换底公式
教师出示思考题，学生独立思考完成。教师提问了解学生完成情况
计算对数lg864，lg264，lg28，lg464，lg48.
问题1：对数lg864的值与对数lg264和lg28的值有什么关系？
提示：lg864＝2，lg264＝6，lg28＝3,
lg864＝eq \f(lg264,lg28).
问题2：对数lg864的值与对数lg464和lg48的值有什么关系？
提示：lg864＝2，lg464＝3, lg48＝eq \f(3,2)， lg864＝eq \f(lg464,lg48).
问题3：经过问题1,2你能猜想得出什么结论？
提示：lgab＝eq \f(lgMb,lgMa)(a，M>0，a，M≠1，b>0)．
2、换底公式再认识
对数的换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b>0，a，b≠1，N>0)．
思考：(学生分小组讨论完成)
问题1.换底公式的作用是什么？
更换对数的底数（统一底数）
问题2.为什么要更换对数的底数呢?
运算律要求底数相同
（2）底数相同可以将问题转移到真数上，达到简化
问题3.能尝试解决计算lg48吗？
学生思考回答，有两种不同的解决方案
问题4.换底公式对吗？可以证明吗？如何证明？
学生先看课本84页证明过程，教师再针对性的讲解
证明： 设,根据对数定义，有

根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以a为底的对数，得
因为
所以
由于则，解出x,得
因为，所以
问题5.能将lgab用换底公式换为以b为底的对数吗？能得到什么的数式？
lgab·lgba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；
3、换底公式的应用
（1）计算求值
例1 计算：lg1627lg8132；
解析：lg1627lg8132＝eq \f(lg 27,lg 16)×eq \f(lg 32,lg 81)
＝eq \f(lg 33,lg 24)×eq \f(lg 25,lg 34)＝eq \f(3lg 3,4lg 2)×eq \f(5lg 2,4lg 3)＝eq \f(15,16)；
出题意图：本题主要是对于对数换底公式的基本应用，让学生了解换底公式的主要作用是统一底数，进而利用对数运算性质。
总结：在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底统一底数便于计算求值．
（2）化简证明
例2 证明（）
证明:将利用换底公式化为以a为底的对数式，则
即
思考1. （＞0且≠1）与（）两者之间的关系
2.能否用其解决lg48和例1 的计算
目的：进一步熟悉换底公式，并得到其重要的一个推论，感知应用解题的快捷性。
巩固练习：
课本86页练习2、3
练习2.计算：
（1） （2）
练习3利用换底公式证明：
（1） （2）
抽学生板演，学生纠错，检测学生掌握情况
（3）实际中的应用
以课本例9为例
例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的百分之84，估计经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。
教师讲解体现1.函数产生过程
2.利用换底公式解决实际问题
目的：1感知数学来源于生活。
2. 强化数学建模解决实际问题的步骤为后续学做好铺垫。
拓展提升：（1）计算(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)．
解析：(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)
＝(lg32＋eq \f(lg32,lg39))(eq \f(lg23,lg24)＋eq \f(lg23,lg28))
＝(lg32＋eq \f(1,2)lg32)(eq \f(1,2)lg23＋eq \f(1,3)lg23)
＝eq \f(3,2)lg32×eq \f(5,6)lg23＝eq \f(5,4)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 2)＝eq \f(5,4).
设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值．
解析：∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝lg336，y＝lg436，
∴eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg336)＝eq \f(1,\f(lg3636,lg363))＝lg363，
eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg436)＝eq \f(1,\f(lg3636,lg364))＝lg364，
∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364
＝lg36(9×4)＝1.
总结：(1)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(2)注意一些派生公式的使用．
实际应用以幻灯片形势给出，简单说明。
拓展提升依据时间情况灵活安排，可课堂处理也可布置为课后选作作业
小结：学生进行教师补充：1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有两种思路：(1)根据题目特点，先换部分对数的底进行运算；(2)直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算．一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．
2．换底公式常用推论
lganbn＝lgab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
lgab·lgba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；
lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0)．
作业
课本88页B组第4题