北师大版必修11.1利用函数性质判定方程解的存在教学设计

课程名称

利用函数性质判定方程解的存在

课时

1课时

学段学科

高中数学

教材版本

北师大版

作者

学校

一、学习目标

（一）知识与能力目标

.熟练掌握二次函数的图象，了解函数零点的概念及其与方程的根的联系；

掌握函数零点存在的判定条件，会判断一元二次方程根的个数.

（二）过程与方法目标

设置问题情境，得出零点定义及零点存在性定理的过程，培养学生的探究意识；

（三）情感态度与价值观目标

通过对一般函数图像的分析，渗透由“形”到“数”，由特殊到一般的数学思想，体会研究和解决问题过程中的一般思维方法；

培养学生对事物的观察、归纳和探究能力。

二、导学重难点

教学重点：根据具体函数的图像研究函数与方程的关系。

教学难点：函数零点存在性的判断及其个数的确定。

三、学情分析

学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻的理解，在此基础上学习了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，学生能够画出它们的图像；通过本节课的学习，学生理解一元二次方程的实数解就是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标；在现代多媒体技术的辅助教学下，学生的学习兴趣得到进一步提高。

四、教学方法

问题教学法、多媒体辅助教学。

五、导学过程

（一）创设问题情境，引出概念

问题问题 1：（1）求出方程 x2-2x-3=0 的根?（幻灯片2）

    （2）作出函数y= x2-2x-3的图像，表示出函数图像与x轴交点（幻灯片2）

学生探究：引导学生得出方程的根与函数与x轴交点的坐标的联系。

教师点拨：在上述方程求解过程中，由函数图像可知，函数

 f（x）= x2-3x+2图像与 x 轴交点的纵坐标为 0，即交点横坐标使函数 f（x）= x2-3x+2 值为 0，因此交点横坐标就是方程x2-3x+2=0 的实数根，从而求得方程的解（我们称方程 x2-3x+2=0 的实数根为函数 f（x）= x2-3x+2的零点--引入课题）。

 定义 一般地,数y=f(x)与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。即函数f（x）的零点就是方程 f（x）= 0 的实数根。（幻灯片3，师生共同观察、分析、归纳，投影逐条显示）

注意：

（1）函数的零点并不是点，而是实数。如函数y= x2-x-6的零点分别为 x1=3，x2=-2，而不是（3，0）和（-2，0）；

（2）方程 f（x）= 0 有实数根函数 y=f（x）的图像与x轴有交点函数f（x）有零点；

（3）函数零点的求法：（幻灯片）求方程 f（x）= 0 的实数根（代数法）；作函数 y=f（x）的图像，利用函数图像、性质寻求图像与x轴的交点的横坐标（几何法）；

（ 二）函数零点存在定理的探究

问题 2：观察下面的函数图像（幻灯片6）

①    函数有无零点，有几个？

②    能说出该函数零点所在的大致范围吗？

③该函数零点两侧附近的函数值有什么共同规律吗？（题干和函数图像先行显示，问题稍后逐一显示）

学生先探究答案，然后教师总结

定理：一般地，若函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，且 f（a）·f（b）<0，则函数 y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即方程f(x)=0在（a，b）内至少有一个实数解；

注意：（1）定理指出了函数y= f(x)零点的存在性，并不能判断函数有多少个零点。

（2）我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线。

（3）不是所有函数都有零点，例如函数y=1/x就没有零点。

（4）此结论反过来不成立，例如：函数y= x2

（5）若f(a)·f(b)<0，且函数y=f(x)在（a，b）内是单调的连续曲线，则方程f(x)=0在（a，b）内有唯一实数解。

（三）巩固深化，拓展思维

例1.已知f(x)=3x-x2 ,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么? （幻灯片7）

解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线, ∵f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/3<0,  f(0)=30-(0)2 =-1>0,∴f(-1)·f(0)<0，∴函数f(x)在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解；

变式训练：

判定方程方程x3+x=0在【-1，1】内是否存在实数解？

例2讨论函数y＝ex＋4x－4的零点的个数．

分析：作出y＝ex和y＝4－4x的图像，把函数y＝ex＋4x－4的零点的个数转化为方程ex＝4－4x根的个数，再转化为y＝ex和y＝4－4x的图像交点的个数．

解：作出y＝ex和y＝4－4x的图像(如下图)，即可直观地看出零点的个数为1.

总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：

(1)解方程；(2)转化为图像交点个数

变式训练：

判断函数f(x)=x2-lgx的零点个数？

(四)课堂练习  P116

（五）归纳小结，整体认识（幻灯片）

1.掌握函数的零点概念及求法，零点将函数和方程联系起来，体现了数和形的统一。

3.能简单运用函数零点的存在性定理解决问题，当零点存在时，那么如何求出这个零点呢？这是我们下一节要研究的内容。

（六）布置作业  A组 1 2 4

教后反思

高中数学课程应该是学生在自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式下，师生、生生之间进行愉快而有效的多边互动。考虑到学生的知识水平和理解能力，本节课的设计思想以多媒体教学平台为依托，借助多媒体的帮助，为学生构建一个数学图形的世界，营造一个探究学习的环境，让师生一起进行数学实验，经历回顾旧知、探求新知、发现规律，解决问题、总结规律的全过程。

在多媒体辅助教学的授课中，容易让课堂失败的因素之一就是课堂容量太多，并且在一定程度上削弱了教师的板书，这样往往会使学生没有足够的思考时间，导致满堂灌。本节课教学过程中，教师灵活运用课件，动态展示函数的图形，在恰当的时机把握了教学节奏，给学生留足了主动思考的时间；另外，我也很注意节奏的控制，归纳总结时，正确引导学生的思维过程，逐条显示归纳点，吸引学生的注意力，提高了课堂效率。

对于函数零点概念的教学，本节课并没有按照“直接给出概念、反复辨别或训练以求理解概念”的传统模式，而是先通过问题1归纳出函数零点的概念。教学中，教师时刻关注着学生的知识形成过程，激发学生学习概念的兴趣；注意引导学生自主概括新知识特征进而形成概念，自觉应用概念去解决问题。波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”，这一点在本节课的设计中有了很好地体现。