人教B版 (2019)第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.4 求导法则及其应用导学案

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如何求下列函数的导数：
(1)y＝xeq \r(x)；
(2)y＝2x2＋sin x．
问题：由此你能类比联想一下[f(x)＋g(x)]′的求导法则吗？
[提示] [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．
知识点1 导数的运算法则
(1)和与差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[Cf(x)]′＝Cf′(x)．
(3)商的导数
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,g2x)，g(x)≠0．
拓展：①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
②[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)．
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)中“＋”“－”前后一致；(2)区别记忆函数积与商的导数中f′(x)g(x)与f(x)g′(x)的连接符号，函数积的导数中为“＋”，函数商的导数中为“－”；(3)一般来说，[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))eq \s\up12(′)≠eq \f(f′x,g′x)．
1．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝( )
A．ex(x＋1) B．1＋ex
C．x(1＋ex)D．ex(x－1)
A [f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，故选A．]
2．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝________．
1 [∵f(x)＝ax2＋c，
∴f′(x)＝2ax，故f′(1)＝2a＝2，∴a＝1．]
知识点2 复合函数的概念及求导法则
(1)复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量．
(2)一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则可以证明，复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)．
这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x．
函数y＝lg2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝lg2(x＋1)是由y＝lg2u及u＝x＋1两个函数复合而成．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝eq \f(1,1＋x2)是复合函数．( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cs(－x)．( )
(3)y＝e2x的导数y′＝2e2x．( )
(4)[f(x)g(x)h(x)]′＝f′(x)g′(x)h′(x)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
类型1 导数四则运算法则的应用
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝eq \f(ln x,x2＋1)；(4)y＝x2－sin eq \f(x,2)cseq \f(x,2)．
[解] (1)y′＝2x－2x－3．
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2．
(3)y′＝eq \f(x2＋1－2x2·ln x,xx2＋12)．
(4)∵y＝x2－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)＝x2－eq \f(1,2)sin x，
∴y′＝2x－eq \f(1,2)cs x．
1．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
[跟进训练]
1．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)＝________．
3 [因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，∴f′(0)＝3．]
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________．
－eq \f(1,e) [因为f(x)＝2xf′(e)＋ln x，所以f′(x)＝2f′(e)＋eq \f(1,x)．令x＝e，∴f′(e)＝2f′(e)＋eq \f(1,e)，即f′(e)＝－eq \f(1,e)．]
类型2 复合函数的导数
【例2】 (对接教材P83例3)求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝eq \f(1,2x－13)；
(3)y＝5lg2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x．
[思路点拨] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1．
(2)函数y＝eq \f(1,2x－13)可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－eq \f(6,2x－14)．
(3)函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5lg2u)′·(1－x)′＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,x－1ln 2)．
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cs x＋3cs v
＝3sin2x cs x＋3cs 3x．
1．解答此类问题常犯的两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
[跟进训练]
3．求下列函数的导数．
(1)y＝eq \f(x,1－\r(1－x))；
(2)y＝lg2(2x2－1)．
[解] (1)y＝eq \f(x,1－\r(1－x))
＝eq \f(x1＋\r(1－x),1－\r(1－x)1＋\r(1－x))
＝eq \f(x1＋\r(1－x),1－1－x)＝1＋eq \r(1－x)．
设y＝1＋eq \r(u)，u＝1－x，
则y′＝y′u·u′x＝(1＋eq \r(u))′·(1－x)′
＝eq \f(1,2\r(u))·(－1)＝－eq \f(1,2\r(1－x))．
(2)设y＝lg2u，u＝2x2－1，
则y′＝y′u·u′x＝eq \f(1,uln 2)·4x＝eq \f(4x,2x2－1ln 2)．
类型3 导数运算法则的综合应用
若点P是曲线y＝ex上的任意一点，如何求点P到直线l：y＝x的最小距离？
[提示] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线l的距离最小．
设P(x0，y0)，则y′|eq \s\d16(x＝x0)＝eeq \s\up12(x0)，
由eeq \s\up12(x0)＝1可知x0＝0，此时y0＝e0＝1．
即P(0，1)，利用点到直线的距离公式得最小距离d＝eq \f(\r(2),2)．
【例3】 (1)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋b＝0垂直，则a＝________．
(2)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．
(1)2 (2)eq \r(5) [(1)因为y＝eax，所以y′＝aeax，
由题意可知y′|x＝0＝a＝2可知a＝2．
(2)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，
又因为y′＝eq \f(2,2x－1)，所以y′|x＝x0＝eq \f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1．
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)，
∴点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5)．]
正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
[跟进训练]
4．已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝eq \f(1,4)相切，求实数a的值．
[解] 因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋eq \f(2,x－2)(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0．
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝eq \f(|2－a|,\r(4a－12＋1))＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(11,8)．
1．函数y＝(2 021－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 021－8x)2 B．－24x
C．－24(2 021－8x)2D．24(2 021－8x)2
C [y′＝3(2 021－8x)2×(2 021－8x)′
＝3(2 021－8x)2×(－8)＝－24(2 021－8x)2．]
2．函数y＝x2cs 2x的导数为( )
A．y′＝2xcs 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcs 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cs 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcs 2x＋2x2sin 2x
B [y′＝(x2)′cs 2x＋x2(cs 2x)′
＝2xcs 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcs 2x－2x2sin 2x．]
3．若函数f(x)＝x2＋ln x的图像在(a，f(a))处的切线与直线2x＋6y－5＝0垂直，则a的值为( )
A．1B．2或eq \f(1,4)
C．2D．1或eq \f(1,2)
D [由题意知：直线2x＋6y－5＝0的斜率为－eq \f(1,3)，则f(x)在(a，f(a))处切线的斜率为3，
又∵f′(x)＝2x＋eq \f(1,x)，即f′(a)＝2a＋eq \f(1,a)＝3，∴a＝1或eq \f(1,2)，故选D．]
4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________．
eq \f(3,2) [f′(x)＝eq \f(1,3x－1)·(3x－1)′＝eq \f(3,3x－1)，∴f′(1)＝eq \f(3,2)．]
5．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
y＝3x [y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求函数的导数的常见类型及解题思路有哪些？
[提示] 导数的计算在应用导数研究函数性质中具有非常重要的作用，大量的错误都是导数求解错误所致，进而影响后续问题的解答，因此在应用导数公式的基础上深刻理解函数式的结构特征，并把握以下的求导原则是十分必要的．
(1)对于分式中分子、分母齐次结构的函数，可考虑通过裂项化为和差形式
若待求导的函数是两个函数商的形式，可以直接利用商的导数运算法则进行求导，但这样做运算量较大，如果先对函数进行适当变形，再对函数求导，这样会大大减少运算量．
(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形
若待求导的函数中含有根式，可以应用求导公式和导数的运算法则直接求解，但这样往往比较烦琐，因此可以考虑先对函数进行适当变形——分子、分母有理化．有理化有两种形式：一是分子中含有根式，则进行分子有理化；二是分母中含有根式，则进行分母有理化．如果所给两“项”的分母是互为有理化因式的结构形式，直接通分就能达到分母有理化的效果，从而使化简过程更为简捷．
(3)对于多个整式乘积形式的函数，可以考虑展开，化为和差形式
若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小．
(4)对于三角函数，可考虑恒等变形
对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．
2．如何求复合函数的导数？
[提示] (1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝a·f′(ax＋b)．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)
3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)
1．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．
2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养．