高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀课后作业题

5．5．2三角恒等变换

A级　基础巩固

一、选择题

1．y＝sinxcosx＋sin2x可化为(　A　)

A．sin＋  B．sin－

C．sin＋  D．2sin＋1

[解析]　y＝sin2x＋

＝sin2x－cos2x＋

＝＋

＝sin＋．

2．若f(tanx)＝sin2x，则f(－1)＝(　B　)

A．－2  B．－1

C．0  D．1

[解析]　f(－1)＝f[tan(－＋kπ)]＝sin2(－＋kπ)＝sin(－＋2kπ)＝－1．

3．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　由θ∈可得2θ∈，cos2θ＝－＝－，sinθ＝＝，答案应选D．

另解：由θ∈及sin2θ＝可得

sinθ＋cosθ＝＝＝＝＝＋，

而当θ∈时sinθ>cosθ，

结合选项即可得sinθ＝，cosθ＝．答案应选D．

4．若cosα＝，且α∈(0，π)，则cos＋sin的值为(　B　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　∵cosα＝，且α∈(0，π)，∴∈(0，)．

∴cos＝＝＝＝，

sin＝＝＝，

∴cos＋sin＝＋＝．

5．·等于(　B　)

A．tanα  B．tan2α

C．1  D．

[解析]　原式＝＝＝tan2α．

二、填空题

6．已知cos2α＝，且<α<π，则tanα＝　－　．

[解析]　∵<α<π，∴tanα＝－＝－．

7．求证：＝．

[证明]　左边＝

＝

＝＝＝＝＝右边．

∴原等式成立．

B级　素养提升

一、选择题

1．设0<θ<，且sin＝，则tanθ等于(　D　)

A．x  B．

C．  D．

[解析]　∵0<θ<，sin＝，

∴cos＝＝．

∴tan＝＝，tanθ＝＝＝·(x＋1)＝．

2．已知θ是第三象限的角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于(　A　)

A．  B．－

C．  D．－

[解析]　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝，

∴sin22θ＝，

∵2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，

∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)，

∴sin2θ>0，∴sin2θ＝．

3．已知函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为(　B　)

A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z} B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}

C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z} D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}

[解析]　由已知得f(x)＝2sin(x－)，

∵f(x)≥1，即sin(x－)≥，可得＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z．

4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则下列等式中一定成立的是(　A　)

A．A＝B  B．A＝C

C．B＝C  D．A＝B＝C

[解析]　∵sinAsinB＝cos2＝＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)

∴cosAcosB＋sinAsinB＝．

∴cos(A－B)＝1，

∵0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，

∴A－B＝0，∴A＝B．

二、填空题

5．已知tan＝，则cosα＝　　．

[解析]　∵tan＝±，∴tan2＝．

∴＝，解得cosα＝．

6．设π<α<3π，cosα＝m，cos＝n，cos＝p，则下列各式中正确的是__①__．

①n＝－；②n＝；③p＝；④p＝－．

[解析]　∵π<α<3π，∴<<，

∴cos＝－，即n＝－，而<<，

∴cos的符号不能确定．

三、解答题

7．已知cos(π－α)＝，α∈(－π，0)．

(1)求sinα；

(2)求cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(π－)的值．

[解析]　(1)∵cos(π－α)＝－cosα＝，

∴cosα＝－，

又∵α∈(－π，0)，

∴sinα＝－＝－．

(2)cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(－)

＝[1＋cos(－α)]＋(－sin)·(－cos)

＝＋sinα＋sin·cos

＝＋sinα＋sinα

＝＋sinα

＝＋(－)＝．