人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品第2课时课后复习题

5.3诱导公式

第2课时

A级　基础巩固

一、选择题

1．已知sin(＋α)＝，那么cosα＝(　C　)

A．－　　 B．－

C．　　 D．

2．已知sinα＝，则cos(π＋α)等于(　A　)

A．  B．

C．－  D．－

[解析]　cos(π＋α)＝sinα＝．

3．若sin(3π＋α)＝－，则cos(－α)等于(　A　)

A．－  B．

C．  D．－

[解析]　由已知，得sinα＝，

则cos(－α)＝－sinα＝－．

4．已知cos(＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)(　B　)

A．  B．－

C．±  D．

[解析]　∵cos(＋α)＝－，

∴sinα＝－，

∴cos(－3π＋α)＝－cosα＝－＝－．

5．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　B　)

A．－  B．－

C．  D．

[解析]　由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，

得：－sinα－sinα＝－a，即sinα＝，

cos(270°－α)＋2sin(360°－α)

＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－a．

6．若sin(－α)＝，则cos(－α)的值为(　B　)

A．  B．－

C．  D．－

[解析]　cos(－α)＝cos[＋(－α)]

＝－sin(－α)＝－．

二、填空题

7．化简＝__－1__．

[解析]　原式＝

＝

＝－＝－1．

8．已知sin(α－)＝，那么cos(α＋)的值是　－　．

[解析]　∵(α＋)－(α－)＝，

∴α＋＝＋(α－)，

∴cos(α＋)＝cos[＋(α－)]＝－sin(α－)＝－．

三、解答题

9．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求的值．

[解析]　由已知得sinα＝－．

∵α是第三象限角，∴cosα＝－＝－．

∴原式＝＝＝．

B级　素养提升

一、选择题

1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　D　)

A．cos(A＋B)＝cosC  B．sin(A＋B)＝－sinC

C．cos(＋C)＝sinB  D．sin＝cos

[解析]　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，

∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC．

所以A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，

所以sin＝sin(－)＝cos，因此D是正确的．

2．α为锐角，2tan(π－α)－3cos(＋β)＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝(　C　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　由已知可得，－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1解得tanα＝3，故sinα＝，选C．

3．已知sin(－α)＝，那么cos(－α)＝(　D　)

A．  B．－

C．  D．－

[解析]　cos(－α)＝cos[＋(－α)]＝－sin(－α)＝－．

4．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于(　C　)

A．3－cos2x  B．3－sin2x

C．3＋cos2x  D．3＋sin2x

[解析]　f(cosx)＝f[sin(－x)]

＝3－cos2(－x)

＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x

二、填空题

5．已知sin(＋α)＝，则sin(－α)＝　　．

[解析]　∵sin(＋α)＝cosα＝，

∴sin(－α)＝cosα＝．

6．化简＝__－1__．

[解析]　原式＝＝＝－1．

三、解答题

7．若sin(180°＋α)＝－，0°<α<90°．

求的值．

[解析]　由sin(180°＋α)＝－，α∈(0°，90°)，

得sinα＝，cosα＝，

∴原式＝

＝＝＝2．

8．已知cos(－α)＝，求cos(π＋α)sin(－α)的值．

[解析]　cos(π＋α)·sin(－α)

＝cos[π－(－α)]·sin[π－(＋α)]

＝－cos(－α)·sin(＋α)

＝－sin[－(－α)]

＝－cos(－α)＝－．

C级　能力拔高

是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α， β的值；若不存在，说明理由．

[思路分析]　题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用平方关系消去α(或β)解方程可求出角α与β的一个三角函数值和其范围，进一步求出角．

[解析]　由条件得，，

①2＋②2得，sin2α＋3cos2α＝2③，

又∵sin2α＋cos2α＝1④，

由③，④得cos2α＝即cosα＝±，

∵α∈，∴α＝或α＝－．

当α＝时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，

∴β＝，代入①可知符合．

当α＝－时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，

∴β＝，代入①可知不符合．

综上所述，存在α＝，β＝满足条件．