人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数精品测试题

4.2.1指数函数的概念

A级　基础巩固

1．给出下列函数：

①y＝3·2x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.

其中，指数函数的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

答案　B

解析　形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫指数函数，由定义知只有y＝3x是指数函数．故选B．

2．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　)

A．2  B．

C．0  D．

答案　B

解析　f(－1)＝2－1＝，f(f(－1))＝f＝3＝.故选B．

3．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为(　　)

A．a(1＋p%)元  B．a(1－p%)元

C．元  D．元

答案　C

解析　设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，∴x＝.故选C．

4．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)

A．y＝(0.9576)  B．y＝(0.9576)100x

C．y＝x  D．y＝1－(0.0424)

答案　A

解析　由100年后剩留量为原来的95.76%，

故x年后的剩留量为y＝(0.9576) .

5．(多选)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列结论正确的是(　　)

A．a＝8  B．f(0)＝－3

C．f＝2  D．f(2)＝16

答案　AC

解析　由题意知a－3＝1，所以a＝8.所以f(x)＝8x，f(0)＝1，f＝8＝2，f(2)＝82＝64.故选AC．

6．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(x)＝________.

答案　5x

解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f＝，得a＝5＝5，∴a＝5，∴f(x)＝5x.

7．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝7，则f(2a)＝________.

答案　47

解析　因为f(x)＝2x＋，f(a)＝7，则f(a)＝2a＋＝7.所以f(2a)＝22a＋＝(2a)2＋2＝2－2＝47.

8．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1，4)，(0，3)，则函数f(x)的解析式为________，f(－2)f(2)＝________.

答案　f(x)＝x＋2；　

解析　由已知，得解得所以f(x)＝x＋2.所以f(－2)f(2)＝×＝.

9．判断下列函数是否为指数函数：

(1)y＝2·()x；(2)y＝2x－1；

(3)y＝x；(4)y＝xx；

(5)y＝3；(6)y＝x.

解　(1)不是．系数不等于1.

(2)不是．指数不是x.

(3)是．

(4)不是．底数不是常数a(a>0且a≠1)．

(5)不是．指数不是x.

(6)不是．是幂函数．

10．有关部门计划于2021年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问：该市在2026年应投入多少辆电力型公交车？

解　由题意知，在2022年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)辆，

在2023年应投入的数量为128×(1＋50%)×(1＋50%)＝128×(1＋50%)2辆，

…

据此归纳可得，在2026年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)5辆，

即128×5＝972(辆)．

故该市在2026年应投入972辆电力型公交车．

B级　素养提升

1．随着我国经济的不断发展，2020年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2027年年底该地区的农民人均年收入为(　　)

A．3000×1.06×7元  B．3000×1.067元

C．3000×1.06×8元  D．3000×1.068元

答案　B

解析　设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得y＝3000×1.06x，从2020到2027年共经过了7年，故答案为3000×1.067元．

2．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　)

A．f(x＋y)＝f(x)f(y)

B．f(x－y)＝

C．f＝f(x)－f(y)

D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)

答案　ABD

解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B正确；f＝a＝(ax) ，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax) ，故C错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D正确．

3．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份________(填“甲”或“乙”)食堂的营业额较高．

答案　甲

解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．

4．某公司拟投资100万元，有两种获利的情况可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？

解　①本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本利和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．②本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本利和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由①②可知，按年利率9%每年复利一次计算的，要比按年利率10%单利计算的更有利，5年后可多得利息3.86万元．

5．截止到2020年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．

(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若按此增长率，2031年年底的人口数是多少？

(3)哪一年年底的人口数将达到135万？

解　(1)2020年年底的人口数为130万；

经过1年，2021年年底的人口数为

130＋130×3‰＝130×(1＋3‰)(万)；

经过2年，2022年年底的人口数为

130×(1＋3‰)＋130×(1＋3‰)×3‰＝130×(1＋3‰)2(万)；

经过3年，2023年年底的人口数为

130×(1＋3‰)2＋130×(1＋3‰)2×3‰＝130×(1＋3‰)3(万)．

…

所以经过x年后的人口数为130×(1＋3‰)x(万)．

即y＝f(x)＝130×(1＋3‰)x(x∈N*)．

(2)2031年年底的人口数为130×(1＋3‰)11≈134(万)．

(3)由(2)可知，2031年年底的人口数为

130×(1＋3‰)11≈134<135.

2032年年底的人口数为130×(1＋3‰)12≈134.8(万)，

2033年年底的人口数为130×(1＋3‰)13≈135.2(万)．

所以2033年年底的人口数将达到135万．