（新教材）2021-2022学年上学期高一第一次月考备考A卷-数学

（新教材）2021-2022学年上学期高一

第一次月考备考金卷

数   学  （A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列语言叙述中，能表示集合的是（    ）

A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．太阳系内的所有行星

C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形

【答案】B

【解析】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A错误；

对B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B正确；

对C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C错误；

对D，与大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D错误，

故选B．

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】由特称命题的否定为全称命题可得，命题“，”的否定是“，”，

故选B．

3．若为实数，则是的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意，若，则或，故充分性不成立；

若，则，故必要性成立，

因此，是的必要不充分条件，故选B．

4．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【解析】由题意，，

因此，故选A．

5．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】集合，

，

，故选A．

6．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】不等式成立的充分条件是，

设不等式的解集为A，则，

当时，，不满足要求；

当时，，

若，则，解得，

故选A．

7．下列结论正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，的最小值是2

C．当时，的最小值是1

D．设，则的最小值是2

【答案】A

【解析】对于A，当时，，当且仅当取等号，故A对；

对于B，当时，为增函数，，没有最小值，B错误；

对于C，，，

当且仅当时取等号，即最大值是1，没有最小值，错误；

对于D，，故D错误，

故选A．

8．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ）

A．或  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】由题意，知，且1是的根，所以，

所以，所以或，

因此原不等式的解集为或，故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列关于空集的说法中，正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】A：因为用于元素与集合之间，故A错误；

B：因为空集是任何集合的子集，故B正确；

C：因为中的元素是，故C正确；

D：因为空集是任何集合的子集，故D正确，

故选BCD．

10．已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】，，

①若不为空集，则，解得，

，，，且，

解得，此时；

②若为空集，则，解得，符合题意，

综上实数满足即可，故选ACD．

11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．不等式的解集为

C．不等式的解集为或

D．

【答案】AC

【解析】关于的不等式的解集为，

所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；

方程的两根为、，

由韦达定理得，解得，

对于B，，由于，所以，

所以不等式的解集为，故B不正确；

对于C，由B的分析过程可知，

所以或，

所以不等式的解集为或，故C正确；

对于D，，故D不正确，

故选AC．

12．下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A．若，则函数的最大值为

B．若，，则的最小值为

C．若，，，则的最大值为1

D．若，，，则的最小值为

【答案】BC

【解析】A：由，则．

又，

当且仅当时等号成立，错误；

B：，所以可化为，

则，

当且仅当时等号成立，正确；

C：由，，，即，解得，

当且仅当时等号成立，正确；

D：由，即，

即，

当且仅当，即，时等号成立，错误，

故选BC．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．下列各组中的两个集合相等的有_________．

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

【答案】（1）（3）

【解析】（1）中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，有．

（2）中P是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，

Q是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，

1∉Q，所以．

（3）中，

当n为奇数时，；当n为偶数时，，

所以，．

（4）中集合的研究对象不相同，所以．

故答案为（1）（3）．

14．某青年旅社有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租；若将出租费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张．若要使该旅社每晚的收入超过万元，则每个床位的定价的取值范围是___________．

【答案】

【解析】设每床每晚的租金提高10的倍，即为元，

出租的床位会减少10的倍张，即为张，

由题意可得该旅社每晚的收入为，

整理可得，解得，

因为，所以，

此时每个床位的定价，

所以每个床位的定价的取值范围是，

故答案为．

15．设，，若，则实数的值是_________．

【答案】

【解析】由题设，，

又，

当时，，符合题设；

当时，，若，得；若，得，

综上，a的值为，故答案为．

16．设是4个有理数，使得，

则________．

【答案】3

【解析】依题意，集合，

即，

则，

所以，故答案为．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，．

（1）分别求，；

（2）已知，若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或，或；（2）．

【解析】（1）因为，所以或，

因为或，所以或．

（2）因为，所以，解之得，所以．

18．（12分）已知，．

（1）是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；

若不存在，请说明理由；

（2）是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；

若不存在，请说明理由．

【答案】（1）存在实数，使是的充分条件；（2）当实数时，是的必要条件．

【解析】（1）要使是的充分条件，需使，

即，解得，

所以存在实数，使是的充分条件．

（2）要使是的必要条件，需使．

当时，，解得，满足题意；

当时，，解得，

要使，则有，解得，

所以，

综上可得，当实数时，是的必要条件．

19．（12分）（1）已知，求函数的最大值；

（2）已知，且，求的最小值．

【答案】（1）1；（2）16．

【解析】（1），，

，

当且仅当，时，．

（2），且，

，

即的最小值为16，当且仅当，，时取等号．

20．（12分）如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？

（2）若使每间虎笼面积为24 ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？

【答案】（1）当长为，宽为时，面积最大，最大面积为；（2）当长为，宽为时，钢筋网总长最小，最小值为．

【解析】（1）设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，

则，则，

所以每间虎笼面积的最大值为，

当且仅当，即时等号成立．

（2）设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，

则钢筋网总长为，所以钢筋网总长最小为，当且仅当等号成立．

21．（12分）已知不等式的解集为．

（1）求，的值，并求不等式的解集；

（2）解关于的不等式（，且）．

【答案】（1），R；（2）当时，，当时，．

【解析】（1）因不等式的解集为，

则，且，2是方程的两个根，

于是得，解得，所以，

不等式化为，即恒成立，

所以不等式的解集为R．

（2）由（1）知关于的不等式化为，

即，

而，当时，，解得，

当时，原不等式化为，而，解得，

所以，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为．

22．（12分）已知二次函数．

（1）若的解集为，求不等式的解集；

（2）若对任意，恒成立，求的最大值；

（3）若对任意，恒成立，求的最大值．

【答案】（1）；（2）1；（3）．

【解析】（1）因为的解集，

所有的根为1和2，且．

所以，，故，，

所以，即，，

所以，即不等式的解集为．

（2）因为对任意，恒成立，所以，即，

又，所以，故，

所以，当，时取“=”，

所以的最大值为1．

（3）令，则，所以，

对任意，恒成立，

所以恒成立，

所以，

所以，此时，

，

当，，时取“=”，

此时成立，

故的最大值为．