（新高考）2021-2022学年上学期高三第一次月考备考B卷-数学

（新高考）2021-2022学年上学期高三

第一次月考备考金卷

数   学  （B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】∵，，

∴，故选C．

2．复数满足条件（为虚数单位），则（    ）

A．1 B．5 C． D．25

【答案】A

【解析】因为，所以，

所以，故选A．

3．已知直线，．则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意，直线，直线，

因为，可得，解得，

所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．

4．设双曲线的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】由双曲线性质知，，，

由，得，解得，，

所以双曲线的离心率，故选D．

5．设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】以正方体为例，

A．，平面，平面与平面都可以是平面，与可能平行也可能相交，A错；

B．平面，平面，，，此时与相交，B错；

C．，由线面平行的性质定理，内有直线，，则，，则，则，C正确；

D．平面，平面，，，但与相交，不平行，D错，

故选C．

6．已知数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在等式中，令，可得，则，

所以，数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，

因为，故，所以，，则，

因此，，故选C．

7．已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，则，

∵，∴，

∵，∴是R上的奇函数，

∴可化为，

又∵，

，

所以在R上是减函数，

∴，解得，故选A．

8．已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得直线l的方程为，

圆C的圆心，半径为1，如图：

，

又，当取最小值时，取最小值，

此时，可得，，

则，解得，

则直线l的方程为，

则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为，

故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．在中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】对于A，大边对大角，而a<b，无解；

对于B，由正弦定理得，无解；

对于C，由可得，正弦定理求出，再由正弦定理或余弦定理可求出，有解；

对于D，由和，通过余弦定理可得，与矛盾，无解，

故选ABD．

10．下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A．若，则函数的最大值为

B．若，，则的最小值为

C．若，，，则的最大值为1

D．若，，，则的最小值为

【答案】BC

【解析】A：由，则．

又，当且仅当时等号成立，错误；

B：，所以可化为，

则，

当且仅当时等号成立，正确；

C：由，，，即，解得，

当且仅当时等号成立，正确；

D：由，即，

即，当且仅当，即，时等号成立，错误，

故选BC．

11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ）

A．若为锐角三角形且，则

B．若，则为等腰三角形

C．若，则

D．若，，，则符合条件的有两个

【答案】AC

【解析】对于A，因为若为锐角三角形且，所以，

所以，所以，故A正确；

对于B，若，则或．

若，则为等腰三角形；

若，则，则为直角三角形，故B不正确；

对于C，由可得，所以，结合正弦定理可得，

故C正确；

对于D，，，，，

即，解得，只有一个解，故D不正确，

故选AC．

12．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（    ）

A．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为

B．双曲线的渐近线方程为

C．为定值

D．存在点，使得

【答案】AC

【解析】因为双曲线的离心率为，

所以，，渐近线方程为，故B错误；

不妨设双曲线的焦点到的距离为1，即，解得，

又，故，

所以双曲线方程为，故A正确；

因为，，设，则，故C正确；

，

因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则，

所以，所以不存在点P，使得，故错误，

故选AC．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．的展开式中常数项是________．

【答案】481

【解析】由得，，

当时，中的常数项为；

当时，中的常数项为；

当时，中的常数项是1，

故的展开式中常数项为481，故答案为481．

14．一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，

则第4次摸出的是白球的概率为________．

【答案】

【解析】将4个白球和5个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排，

每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为，

其中第4个球是白球的排法数为，

故所求概率为，故答案为．

15．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，，则的最小值为_________．

【答案】

【解析】根据条件：，

因为G是的重心，，，

又M，G，N三点共线，，

，，

当且仅当，即时取等号成立，

的最小值为，故答案为．

16．若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为_________，体积的最大值为_________．

【答案】，

【解析】如图，正四面体的内接正三棱柱，

首先三个顶点必在正四面体的三条棱上，才能使得三棱柱体积最大，

正四面体棱长为6，则高为，

设正三棱柱高为，底面边长为，

因为平面平面，所以，，

，

，

当且仅当，即时等号成立，

则所制作的正三棱柱模型的高为，体积的最大值为，

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列的前n项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，得，

又，作差得，所以，

所以是以为首项，为公比的等比数列，则有．

（2）由题得，

所以．

18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若点在边上，且，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意，根据正弦定理得，

整理得，

即．

因为，所以，

又，所以．

（2）如图，作，垂足为，

则，

所以．

设，因为，，

所以，，．

在中，，

在中，，

所以，，

所以

．

19．（12分）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．

（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；

（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数有多少？（结果根据四舍五入保留到整数位）

解题中可参考使用下列数据：，，．

【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）50．

【解析】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为．

因此，的可能值为0，1，2，3，4，

则，，，，．

故的分布列为

所以的数学期望．

（2）由题意可知，，

，所以．

由服从正态分布，

得，

则，

，，

所以此次竞赛受到奖励的人数为50．

20．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．某“堑堵”如图所示，，点在线段上，平面．

（1）证明：；

（2）若点是底面内的动点，且，求三棱锥体积的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：如图，连接，设，再连接．

由题知四边形是正方形，所以是的中点．

因为平面，平面，平面平面，

所以，

在中，因为是的中点，

所以是的中点，所以．

（2）连接，在直三棱柱中，平面，

平面，所以．

又，，所以平面．

又平面，所以，

所以点的轨迹是以为直径的半圆（不包含，点）．

又，所以点到直线的最小距离．

又点是的中点，所以点到平面的距离．

又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

所以三棱锥体积的最小值为．

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）以线段为直径的圆恰好过椭圆的上下顶点，，

，，，

椭圆的方程为．

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，消去并整理得．

设点，，则，．

，且由题意知和必存在，

．

又，，即，

整理得，

得，

即，解得，

的方程为．

，

即，，解得，

，位于椭圆轴上方，，

此时直线过轴上的定点．

22．（12分）已知函数，．

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）0；（2）．

【解析】（1）当时，，其导函数为，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为．

（2）由，由，所以，

所以在上单调递增，

所以在恒成立，

即，恒成立，

设，，所以，

由（1）知，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，即的取值范围为．