（新高考）2021-2022学年上学期高三第一次月考备考A卷-数学

（新高考）2021-2022学年上学期高三

第一次月考备考金卷

数   学  （A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，集合，

集合，

根据补集的概念及运算，可得，故选C．

2．已知复数，，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，故虚部为，故选B．

3．“点，到直线的距离相等”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为点，到直线的距离相等，

所以，所以或．

因为“或”是“”的必要非充分条件，

所以“点，到直线的距离相等”是“”的必要非充分条件，故选B．

4．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（    ）（参考数据：，，）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】每经过5730年衰减为原来的一半，

生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为．

现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有年，

由题意可得，

因为，所以，故选C．

5．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（    ）

A．AB与CF成45°角 B．BD与EF成45°角

C．AB与EF成60°角 D．AB与CD成60°角

【答案】D

【解析】由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，

CF和BD平行，AB垂直与BD，所以AB与CF成角，故A错误；

BD与CF平行，CF垂直与EF，所以BD与EF成角，故B错误；

EF与CG平行，AB与CG成角，所以AB与EF成角，故C错误；

CD与AE平行，在三角形AEB中，AE=EB=AB，所以，所以AB与CD成角，故D正确，

故选D．

6．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由正弦定理得，

因为为锐角三角形，所以，即，

所以，所以，

所以的取值范围是，故选A．

7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，

抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以，

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率，故选A．

8．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，

∴，

∴函数关于对称，

又，

∵，∴，

∴恒成立，则是增函数，

∵，∴，

∴，得，故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（    ）

A．  B．展开式中没有常数项

C．展开式所有二项式系数和为1024 D．展开式所有项的系数和为256

【答案】BD

【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误；

因为，，

因为，所以展开式中没有常数项，B正确；

展开式所有二项式系数和为，C错误；

令，可得展开式所有项的系数和为，D正确，

故选BD．

10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为

【答案】AB

【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为，A选项正确；

对于B选项，2个球中恰有1个红球的概率为，B选项正确；

对于C选项，至少有1个红球的概率为，C选项错误；

对于D选项，2个球不都是红球的概率为，D选项错误，

故选AB．

11．已知函数的图象经过点，则（    ）

A．点是函数的图象的一个对称中心

B．函数的最小正周期是

C．函数的最大值为2

D．直线是图象的一条对称轴

【答案】ACD

【解析】因为函数的图象经过点，

所以，得，

因为，所以，

所以

，

因为图象的对称中心是点，

所以令，得，

当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，所以A正确；

因为函数的最小正周期，所以B错误；

因为，所以的最大值为2，所以C正确；

因为图象的对称轴方程是，，

所以令，，得，，

当时，，

所以直线是函数图象的一条对称轴，所以D正确，

故选ACD．

12．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】AD

【解析】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，

则从新数列的第1个1到第个1一共有项，

从新数列的第1个1到第个1一共有项，

所以，解得，

而，所以，故A正确，B错误；

，

令，

则，

，，

所以，故D正确，C错误，

故选AD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知，，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】，，，

，

的取值范围是，故答案为．

14．已知关于，的一组数据：

根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，则的值为________．

【答案】

【解析】由题意，根据表格中的数据，可得，

，即样本中心为，

则，

即，解得，

故答案为．

15．已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为_________．

【答案】

【解析】因为，所以，如图建系，

设，，，

因为，所以终点为单位圆上任意一点，

又，

所以，表示点与点间的距离，

由图可得，当位于图中B点时，点B与点A间的距离最大，且为，

所以的最大值为，

故答案为．

16．已知定义在上的函数为增函数，且函数的图象关于点成中心对称，若实数、满足不等式，则当时，的最大值为_________．

【答案】

【解析】函数的图象关于点成中心对称，

则函数的图象关于原点对称，

所以，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，

由，得，

，，则有，

不等式组所表示的平面区域如下图所示的，

联立，得，可得点，同理可得点，

代数式可视为点到平面区域内的动点的距离的平方，

由图象可知，当点与点或点重合时，取最大值，

故答案为．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，角，，所对的边分别是，，，且．

（1）求证：三内角，，成等差数列；

（2）若的面积为，，求的周长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）由正弦定理得，

，，

又，所以，所以，，所以，

所以，所以成等差数列．

（2）由题意，，

又，由正弦定理得，

由，解得（边长为正，负的舍去），

，

所以三角形周长为．

18．（12分）已知数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

所以，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以，所以，

当时，，

当时也成立，

所以．

（2）令，

所以数列前项和．

19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为6的正方形，．

（1）证明：；

（2）当四棱锥的体积为时，求二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，

∵，∴，

∵，∴，

∵，，∴平面，

∵平面，∴，

在中，∵垂直平分，∴，

∵，，∴，∴．

（2）由（1）知，平面平面，在上取一点O，连接，使，则是四棱锥的高，

∵，解得，

∵，则，即O为正方形的中心，

以O为坐标原点，过点O且垂直于的直线为x轴，所在直线为y轴，

所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，取，，

；

设平面的一个法向量，

则，取，

，

则，

设二面角的平面角为，则，

∴二面角的正弦值为．

20．（12分）2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：9:46，记作时刻46．

（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；

（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．

附：若随机变量T服从正态分布，则，，．

【答案】（1）10:04；（2）答案见解析；（3）819．

【解析】（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：，即10:04．

（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组这一区间内的车辆数，即，

所以X的可能取值为0，1，2，3，4．

所以；；；；，

所以X的分布列为：

（3）由（1）得，．

所以，

估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在通过的车辆数，由，

得，

所以估计在9:46~10:40之间通过的车辆数为．

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上､下顶点分别为，，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点，且．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过左焦点F且斜率为的动直线l与椭圆C交于P､Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得x轴为的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，坐标为．

【解析】（1）由题意，椭圆，

可得，，，，则，，

所以，即，

又因为椭圆过，所以，联立可得，，

所以椭圆的方程为．

（2）由题意设直线的方程为，，，，

联立方程组，整理得，

所以，，

若轴为的平分线，得，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，整理得，

因为直线l为动直线，所以，即，

故存在满足条件的定点M，其坐标为．

22．（12分）已知函数．

（1）判断的单调性；

（2）若，求证．

【答案】（1）在上单调递增；（2）证明见解析．

【解析】（1）函数的定义域为，

因为，

，所以，

所以当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增，

则当时，取得极小值，也是它的最小值，

所以，所以，

则在上单调递增．

（2）因为，所以不妨设，

所以要证，只需证．

因为，所以只需证，

只需证，只需证．

设，

则，

，

则，

所以当时，，在上单调递减，则，

所以在上单调递增，则，

即，所以．