（新教材）2021-2022学年上学期高二第一次月考备考B卷-数学

（新教材）2021-2022学年上学期高二

第一次月考备考金卷

数   学  （B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与所成的锐角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】B

【解析】设与所成的角为θ，且0°<θ<90°，

则，，故选B．

2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ）

A．A､B､D B．A､B､C C．B､C､D D．A､C､D

【答案】A

【解析】因为，所以，

又有公共点，所以A､B､D三点共线，故选项A正确；

显然不共线，所以、、三点不共线，故选项B错误；

显然不共线，所以、、三点不共线，故选项C错误；

因为，所以不共线，从而、、三点不共线，

故选项D错误，

故选A．

3．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ）

A． B．97 C． D．61

【答案】C

【解析】∵

，

∴，故选C．

4．已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（    ）

A．5 B．14 C． D．

【答案】C

【解析】∵，，，

∴点P到直线l的距离为．

5．已知，，，若三向量共面，则实数等于（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】∵与不共线，则取，作为平面的一组基向量，

又三向量共面，则存在实数使得，

∴，解得，故选C．

6．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，

因为分别为的中点，

所以，，

所以，故选A．

7．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，

设点P的坐标为，

图中各点的坐标表示如下：B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，

，，

又，，即，所以，

所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，

且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角逐渐增大，

当点P位于C点处时，二面角最小，最小值为0，

当点P位于BB1四等分点处时，二面角最大，此时，

即为二面角的平面角，，

所以二面角正切值的取值范围为，选项ACD错误，选项B正确，

故选B．

8．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设线段的中点为，连接，

，为的中点，则，

，则，，

同理可得，，

，平面，

过点在平面内作，垂足为点，

因为，所以为等边三角形，故为的中点，

平面，平面，则，

，，平面，

以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为是边长为的等边三角形，为的中点，

则，

则、、、，

由于点在平面内，

可设，

其中，且，

从而，

因为，则，

所以，

故当时，有最大值，即，

故，即有最大值，

所以，，

故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法不正确的是（    ）

A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°

B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角

C．二面角的大小范围是

D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小

【答案】ABD

【解析】当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°时，直线l与平面α所成的角为60°，A不正确；

向量夹角的范围是，而异面直线夹角为，B不正确；

二面角的范围是，C正确；

二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确，

故选ABD．

10．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】如图：在长方体中，设，，，

则，

，

，

，

由图可知：三个向量共面，所以不能作为基底；

三个向量不共面，三个向量不共面，三个向量不共面，

所以，，可以作为基底，

故选BCD．

11．在长方体中，､､分别为棱､､的中点，，，则正确的选项是（    ）

A．异面直线与所成角的大小为60°

B．异面直线与所成角的大小为90°

C．点到平面的距离为

D．点到平面的距离为

【答案】BC

【解析】如图建立空间直角坐标系，连接，

则，，，，，

所以，，

所以，所以，

所以异面直线与所成角的大小为90°，故A错误，B正确；

又，，

设平面的一个法向量，

则，令，则，

则点到平面的距离为，故C正确，D错误，

故选BC．

12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ）

A．与是异面直线     B．与所成角的大小为

C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为

【答案】AD

【解析】对选项A，由图知：与是异面直线，故A正确；

以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

设正方体边长为，

对选项B，

，，，，

所以，，

设与所成角为，则，

又因为，所以，故B错误；

对选项C，由题知：平面的法向量为，

因为，，

设与平面所成角为，

则，，故C错误；

对选项D，，，

设平面的法向量，

则，令，得；

设平面的法向量，，

则，令，得，

设二面角的平面角为，则，

又因为为锐角，所以，故D正确，

故选AD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知点，，，，则在上的投影向量的长度为________．

【答案】

【解析】由已知得，，∴，

又，所以在上的投影向量的长度为，

故答案为．

14．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点）__________．

【答案】

【解析】设，则，

因为点Q在直线OP上运动，所以，

所以，即，，

所以，

所以

，

所以当时，取得最小值，此时点Q的坐标为，

故答案为．

15．如图，在直三棱柱中，，，点､､分别是､､的中点，点是上的动点．若，则线段长度为__________．

【答案】

【解析】因为三棱柱是直三棱柱，且，

所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，点､､分别是､､的中点，

所以，，，

因为点是上的动点，设，所以，，

因为，所以，解得，

所以，，

所以，即线段长度为，

故答案为．

16．在棱长为的正方体中，，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，______；满足条件的所有点构成的平面图形的周长为______．

【答案】，

【解析】如图，取、上的点分别为、，

连接、、、，使得，

、、、四点共面，且四边形为梯形．

正方体的边长为，

所以，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、．

设点、，设，且，，

，解得，

，，，

由，则平面．

点在正方体表面上移动，且，

则点的运动轨迹为梯形，

，，解得，即点，

所以，当在上运动时，，

又，，，

所以，梯形为等腰梯形，

且梯形的周长，

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的重心．

（1）求证：；

（2）化简：．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1），①，②

，③，

①+②+③得．

（2）因为，

所以

．

18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，是的中点．利用空间向量解决下列问题：

（1）求与所成的角；

（2）求与所成角的余弦值；

（3）求两点间的距离．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

（1）因为，，

所以，

所以，故，

即与所成的角为．

（2）因为，所以，

因为，且，所以，

即与所成角的余弦值为．

（3）因为是的中点，所以，

又因为，所以，

即两点之间的距离为．

19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，，分别是棱，的中点，是棱上一点．

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）依题意可得，．

∵平面平面，平面平面，，平面，

∴平面，平面，∴．

在中，，是棱的中点，所以，

又，，平面，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（2）如图，取的中点，连接，，

则，，

由（1）知平面，∴平面，

∴是直线与平面所成角，

∴，

∴，∴，∴是棱的中点，

以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则有，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则，令，则；

有，令，则，

∴，

∴锐二面角的余弦值为．

20．（12分）在长方体中，底面是边长为1的正方形，为棱上的中点．

（1）若，求的长度；

（2）若二面角的余弦值为，求的长度．

【答案】（1）2；（2）．

【解析】（1）设，

∵，

∴，

∴．

（2）如图所示建立空间直角坐标系，设，

，，，，

则，，，

设面的法向量为，则，

令，得；

设面的法向量为，则，

令，得，

所以，

，．

21．（12分）已知为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，如图1．沿EF将折起使平面平面，连接，，如图2．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面．

【答案】（1）；（2）当时，平面．

【解析】（1）因为平面平面，，

所以．

又，

所以建立如图1所示的空间直角坐标系，

因为为等腰直角三角形，，

，分别为和上的点，且，，

则，，，，

所以，，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

（2）方法一：设，

因为，所以．

设为平面的一个法向量，则，即，

因此可取，

所以．

因为平面，所以，即，

所以当时，平面．

方法二：当时，平面．证明如下：

如图2，在平面内过作交于，连接．

因为，，

所以四边形为平行四边形，所以．

因为，所以，

又，所以．

因为平面，所以平面．

又因为，平面，所以平面．

因为，所以平面，

因为平面，所以平面．

22．（12分）在①平面，②平面平面，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）．

（1）求点到平面的距离；

（2）若__________，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）在三棱锥中，连接，，

因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，

所以，，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

又平面，∴，∴，，两两垂直．

∴，

又，

∴，

∴点到平面的距离为．

（2）与平面所成角的正弦值的取值范围为．

以选条件①为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）

在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，

建立空间直角坐标系，

则，，，，，

设，则，，，

，，

设平面的法向量为，则，

即，即，

不妨令，则；

同理可求得平面的法向量，

（选条件①）因为平面，平面，

∴，即，

即，∴，

又，∴，∴，

又平面，∴是平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

则，

令，，，

∴，

令，则，

∴在上单调递增，

∴，∴，∴，

∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．

选条件②，条件③结果相同．