初中苏科版2.3 数轴精品课时练习

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2021-2022学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题2.15数轴与动点和距离综合问题大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2020·苏州高新区实验初级中学七年级期中）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c．

（1）比较大小：a 0，b －2（填＞、＜或＝）；
（2）化简：|a|－|b+2|－|a+c|．
【答案】（1）＜，＞；（2）-b+c-2．
【分析】（1）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大判断即可；
（2）由数轴可知，a＜2＜b＜0＜c＜1，据此可得b+2＞0，a+c＜0，再根据绝对值性质去绝对值符号化简可得．
【解析】 （1）根据数轴可知，
a，（4）＜，（5）＜
【分析】先根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后对各小题分析判断即可求解．
【解析】 根据图形可得，a＜0，b＞0且|a|＞|b|，
（1）a﹣b＝a+（﹣b）＜0，
故答案为：＜，
（2）a+b＜0，
故答案为：＜，
（3）﹣a>b，
故答案为： >，
（4）ab＜0．
故答案为：＜，
（5）＜0
故答案为：＜．
12．（2020·广州大学附属中学七年级期中）a与b两个数在数轴上对应的点分别为点A、B．
（1）线段AB的长为　 　，线段AB的中点C所表示的数是　 　（用a、b表示）．
（2）若a＝5，b＝1，数轴上是否存在点M，点M到点A，点B的距离之和是8？若存在，请写出点M所表示的数；若不存在．请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在数轴上有两个动点P、Q？P的速度为1个单位长度/秒，Q的速度为2个单位/秒，点P，Q分别从点A，B同时出发，在数轴上运动，则经过多少时间后PQ＝AQ？
【答案】（1）|a﹣b|，；（2）存在，M所表示的数为﹣1或7；（3）秒或秒或秒
【分析】（1）线段AB的长度等于代表A、B两点的数字之差的绝对值；而要求AB中点C对应的数字，由于AC＝BC，所以点C对应的数字为，两数的平均数；
（2）由于数轴上线段的长度等于线段端点代表数字之差的绝对值，本题A、B代表的数字确定，只要设出点M代表的数字为，然后表示出线段MA，MB的值，依据已知MA+MB＝8，列出式子即可求出M代表的数字，注意此题要分两种情形讨论；
（3）本小题属于动点问题，依据公式路程＝速度×时间，设运动时间为t秒，分别表示线段PQ和AQ的值，将它们代入已知关系式PQ＝AQ中，就可以求出对应的时间．只是本题要从运动方向上进行讨论，一是P、Q背向同时出发，二是P、Q同时向右出发两种情况．
【解析】（1）∵与两个数在数轴上对应的点分别为点A、B，∴AB═；
∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC；
∴C点代表的数字为，两数的平均数；
即C点代表的数字为；
故答案为：|和；
（2）存在；
设M点代表的数字为；
当点M在点B的左侧时，MB＝1﹣，MA＝5﹣，
∵MA+MB＝8，∴I﹣+5﹣＝8；
解得：＝﹣1；
当点M在A点的右侧时，MA＝﹣5．NB＝﹣1；
∴﹣5+﹣1＝8，
解得：＝7；
综上，存在这样的点M，使点M到点A， B的距离之和是8，M所表示的数为﹣1或7；
（3）设点P，Q分别从点A，B同时出发的运动时间为t秒，
当点P，Q分别从点A，B同时出发，背向而行时，AQ＝5+2t，PQ＝t+5+2t．
∵PQ＝AQ，∴3t+5＝（5+2t）；
解得：t＝；
当点P，Q分别从点A，B同时出发，沿BA方向向右运动时，
①点Q在A的左侧时，
AQ＝5﹣2t，PQ＝t+（5﹣2t）＝5﹣t；
∵PQ＝AQ，∴5﹣t＝（5﹣2t）；
解得：t＝；
②点Q在A的右侧时，
AQ＝2t﹣5，PQ＝t﹣（2t﹣5）＝5﹣t．
∵PQ＝AQ，∴2t﹣5＝（5﹣t）
解得：t＝；
综上，经过秒或秒或秒后PQ＝AQ；
13．（2020·辽宁沈阳市·七年级期中）已知点A表示的数是﹣2．点B表示的数是4．
（1）①画出数轴，并用数轴上的点表示点A和点B；
②点A和点B在数轴上对应点之间的距离是　 　个单位长度；
（2）点P、点Q分别是数轴上的两个动点，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的负方向运动，同时，点Q从原点O出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上运动．当点A和点Q在数轴上对应点之间的距离与点B和点P在数轴上对应点之间的距离相等时，请直接写出点P在数轴上对应的数是　 　．
【答案】（1）①见解析，②6；（2）﹣10或﹣6
【分析】（1）①画出数轴，并在数轴上表示出点A，点B即可；
②根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据路程＝速度×时间，结合运动方向可以用含运动时间为t的式子分别表示P，Q两点表示的数，再根据点A和点Q在数轴上对应点之间的距离与点B和点P在数轴上对应点之间的距离相等，列出方程求解即可．
【解析】 （1）①如图所示：

②点A和点B在数轴上对应点之间的距离是4﹣(﹣2)＝6个单位长度．
故答案为：6；
（2）设运动时间为t秒，
当点Q从原点O出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动时，
则P为﹣2﹣t，Q为﹣2t，
依题意有|﹣2t﹣(﹣2)|＝4﹣(﹣2﹣t)，
解得t＝8，t＝-（舍去），
则点P在数轴上对应的数是﹣2﹣8＝﹣10；
当点Q从原点O出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的正方向运动时，
则P为﹣2﹣t，Q为2t，
依题意有2t﹣(﹣2)＝4﹣(﹣2﹣t)，
解得t＝4，
则点P在数轴上对应的数是﹣2﹣4＝﹣6．
综上所述，点P在数轴上对应的数是﹣10或﹣6．
故答案为：﹣10或﹣6．
14．（2020·安徽七年级期中）如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看到终点表示是，已知是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题．

（1）如果点表示的数是，将点向右移动个单位长度到点，那么点表示的数是 ；两点间的距离是 ；
（2）如果点表示的数是，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到点，那么点表示的数是_ _；两点间的距离是 ；
（3）如果点表示的数是m，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到点，那么请你猜想点表示的数是 ；两点间的距离是
【答案】（1）3；4；（2）1；3；（3）；
【分析】（1）先根据向右移为加，表示出点B，再根据两点间的距离公式列式计算即可；
（2）先根据向右移为加，向左移为减，表示出点B，再根据两点间的距离公式列式计算即可；
（3）①根据向右移为加，向左移为减，表示出点B；
②根据两点间的距离公式列式计算即可；
【解析】 （1）如果点A表示的数是-1，将点A向右移动4个单位长度，
那么终点B表示的数是：1+4=3，
B两点间的距离是：|3（1）|=4．
故答案为：3，4；
如果点A表示的数是2，将点A向左移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，
那么终点B表示的数是：26+3=1，
A、B两点间的距离是：2（1）=3．
故答案为：1，3；
（3）①如果点A表示的数m，将点A向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，
那么点B所表示的数是：．
故答案为：；
②A，B两点之间的距离是：．
故答案为：；
15．（2020·浙江七年级期中）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．

（1）①填空：_____0，_____0（填“＞”“＜”或“＝”）．
②化简：
（2）若，且点B到点A，C的距离相等．
①当，时求c的值．
②P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当点P在运动过程中，的值保持不变，求b的值．
【答案】（1）①＜，＞；②；（2）①11；②1
【分析】（1）①根据a，b，c在数轴上的位置可以判断a、b、c的符号，进而得出abc，a＋b的符号；②根据数轴可得：a-b＜0，a＋b＞0，b-c＜0，进而即可化简绝对值；
（2）①求出b的值，再根据中点的意义，AB＝BC，求出答案即可；
②由bx＋2cx＋|x−c|−10|x＋a|结果是定值，说明与x无关，可得出b与c的关系，再根据中点，得出b与c的另一个关系，联立求出b即可．
【解析】（1）①由a，b，c在数轴上的位置可知，a＜0，0＜b＜c，|b|＞|a|，
∴abc＜0，a＋b＞0，
故答案为：＜，＞；
②∵a＜0，0＜b＜c，|b|＞|a|，
∴a-b＜0，a＋b＞0，b-c＜0，
∴
=
=
=；
（2）①∵b2＝16，b＞0，
∴b＝4，
∵a＝−3，BC＝AB，
∴c−4＝4−（−3），
∴c＝11；
②设点P表示的数为x，点P在BC上，因此b＜x＜c，
∴bx＋2cx＋|x−c|−10|x＋a|＝bx＋2cx＋c−x−10x−10a＝（b＋2c−10−1）x＋c−10a，
∵结果与x无关，
∴b＋2c＝11，
又∵c−b＝b−（−3），即c＝2b＋3，
∴b＝1．
16．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·七年级期中）综合与实践．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示6和1的两点之间的距离是　 　；
②数轴上表示﹣2和﹣7的两点之间的距离是　 　；
③数轴上表示﹣3和6的两点之间的距离是　 　．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于　 　．
（3）应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是12，则可记为：|a﹣3|＝12，那么a＝　 　．
②若数轴上表示数a的点位于﹣3与6之间，求|a＋3|＋|a﹣6|的值．

【答案】（1）①5；②5；③9；（2）|a﹣b|；（3）①﹣9或15；②9
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法得出答案，
（2）由特殊到一般，得出结论，
（3）①利用数轴上两点距离的计算方法得出答案；
②由|a＋3|＋|a﹣6|所表示的意义，转化为求数轴上表示﹣3的点到表示6的点之间的距离．
【解析】（1）①|6﹣1|＝5，
②|﹣2﹣（﹣7）|＝5，
③|﹣3﹣6|＝9，
故答案为：5，5，9；
（2）由数轴上两点距离的计算方法可得，|a﹣b|；
故答案为：|a﹣b|；
（3）①由题意得，a﹣3＝12或a﹣3＝﹣12，
解得，a＝15或a＝﹣9，
故答案为：﹣9或15；
②|a＋3|表示数轴上表示数a与﹣3的点之间的距离，|a﹣6|表示数轴上表示数a 与6两点之间的距离，
当数a的点位于﹣3与6之间时，有|a＋3|＋|a﹣6|＝|3﹣（﹣6）|＝9，
故答案为：①﹣9或15，②9.
17．（2019·云南玉溪市·七年级期中）今年暑假的一天，小明一家三口一起乘小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了6千米到超市买东西，然后又向东走了2千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，晚上返回家里．

（1）若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来；
（2）根据数轴回答超市A和外公家C相距_________千米．
（3）若小轿车每千米耗油0.08升，求小明一家从出发到返回家小轿车总耗油量．
【答案】（1）见详解；（2）10；（3）1.92．
【分析】（1）根据题意，确定A、B、C的位置；
（2）点A表示的数减去点C表示的数就得AC的距离；
（3）根据：总耗油量＝小明一家走过的路程×小轿车每千米耗油量，计算即可．
【解析】 （1）由题意得超市位置A在数轴表示的数为+6，爷爷家位置B在数轴上表示为：+6+2=+8，爷爷家位置C在数轴上表示为：+8-12=-4；在数轴上表示如图：
；
（2）因为6﹣（﹣4）＝10（千米）
故答案为：10；
（3）小明一家走的路程：6+2+12+4＝24（千米），
共耗油：0.08×24＝1.92（升）
答：小明一家从出发到返回家所经历路程小车的耗油量为1.92升．
18．（2020·广西南宁市·七年级期中）已知满足，且分别对应着数轴上的两点；
（1）__，__；
（2）若点从点出发，以每秒3个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间（秒）为多少时，点到点的距离是点到点距离的2倍；
（3）数轴上还有一点对应的数为30，若点和点同时从点和点出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向点运动，点到达点后立即停止运动，求点和点运动多少秒时，两点之间的距离为4．
【答案】（1）4，16；（2）8秒或秒；（3）4秒或8秒或10秒．
【分析】（1）利用绝对值和偶次方的非负性求出a、b的值即可解决问题；
（2）利用PA=2PB构建方程即可解决问题；
（3）分情形分别构建方程即可解决问题．
【解析】（1）∵a，b满足|4a-b|+(a-4)2=0，
∴a-4=0，4a-b=0，
∴a=4，b=4a=16，
故答案为：4，16,
（2）设运动时间为ts．则点表示的数为：，
∵PA=2PB，
∴，
∴或，
解得或，
∴运动时间为或秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
（3）设运动时间为ts，
当点在到达点前，则点表示的数为：，点表示的数为：，
点未到达C时，，
解得：或8，
②点P到达C时，点P与点C重合，
∴CQ=PQ=4，
∴BQ=30-4-16=10，
∴，
综上，点P和点Q运动4秒或8秒或10秒时，P、Q两点之间的距离为4．
19．（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期中）已知，在数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C点：c是最小的两位正整数，且a，b满足（a＋26）2＋|b＋c|＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a，b，c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若P为该数轴的一点，PA＝3PB，求线段PC的长．
（3）若点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，当点M运动到B点时，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，设点M移动时间为t秒，当点N开始运动后，t为何值时，M，N两点间的距离为8．
【答案】（1）﹣26；﹣10；10；（2）24或12；（3）20秒或28秒或32秒
【分析】（1）由c为最小的两位正整数可得出c的值，结合偶次方及绝对值的非负性可求出a，b的值；
（2）设点P对应的数为x，则PA＝|x﹣（﹣26）|＝|x＋26|，PB＝|x﹣（﹣10）|＝|x＋10|，由PA＝3PB，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，分x＜﹣26，﹣26≤x≤﹣10及x＞﹣10三种情况可求出x的值，再将其代入PC＝|x﹣10|中即可得出结论；
（3）利用时间＝路程÷速度可求出点M到达点B，C的时间及点N到达点C及返回点A的时间，分16≤t≤28，28＜t≤36及36＜t≤40三种情况考虑，由MN＝8，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】 （1）∵c是最小的两位正整数，
∴c＝10.
∵a，b满足（a＋26）2＋|b＋c|＝0，
∴a＋26＝0，b＋c＝0，
∴a＝﹣26，b＝﹣c＝﹣10.
故答案为：﹣26；﹣10；10.
（2）设点P对应的数为x，则PA＝|x﹣（﹣26）|＝|x＋26|，PB＝|x﹣（﹣10）|＝|x＋10|，
依题意得：|x＋26|＝3|x＋10|．
当x＜﹣26时，﹣x﹣26＝3（﹣x﹣10），
解得：x＝﹣2（不合题意，舍去）；
当﹣26≤x≤﹣10时，x＋26＝3（﹣x﹣10），
解得：x＝﹣14，
∴PC＝|﹣14﹣10|＝24；
当x＞﹣10时，x＋26＝3（x＋10），
解得：x＝﹣2，
∴PC＝|x﹣10|＝12.
答：线段PC的长为24或12.
（3）|﹣26﹣（﹣10）|÷1＝16（秒），
|﹣26﹣10|÷1＝36（秒），
16＋|﹣26﹣10|÷3＝28（秒），
16＋|﹣26﹣10|÷3×2＝40（秒）．
当16≤t≤28时，点M对应的数为t﹣26，点N对应的数为3（t﹣16）﹣26＝3t﹣74，
∵MN＝8，
∴|t﹣26﹣（3t﹣74）|＝8，即48﹣2t＝8或2t﹣48＝8，
解得：t＝20或t＝28；
当28＜t≤36时，点M对应的数为t﹣26，点N对应的数为﹣3（t﹣28）＋10＝﹣3t＋94，
∵MN＝8，
∴|t﹣26﹣（﹣3t＋94）|＝8，即120﹣4t＝8或4t﹣120＝8，
解得：t＝28（不合题意，舍去）或t＝32；
当36＜t≤40时，点M对应的数为10，点N对应的数为﹣3（t﹣28）＋10＝﹣3t＋94，
∵MN＝8，
∴|10﹣（﹣3t＋94）|＝8，即84﹣3t＝8或3t﹣84＝8，
解得：t＝（不合题意，舍去）或t＝（不合题意，舍去）．
答：当点N开始运动后，t为20秒或28秒或32秒时，M，N两点间的距离为8．
20．（2020·黑龙江牡丹江市·）已知有理数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示；
（1）__________；__________；____________（用“”“”填空）
（2）化简．

【答案】（1），，；（2）0
【分析】（1）根据、b、c在数轴的位置，左边点表示数小，右边点表示数大，离原点远的绝对值大即可判断；
（2）利用数轴确定，，，，根据符号化去绝对值去括号，合并同类项即可．
【解析】（1）c在的左侧，c