人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法学案及答案

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一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时，能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下．
问题：保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的原理．
[提示] 略
知识点 数学归纳法的定义
一个与自然数有关的命题，如果
(1)当n＝n0时，命题成立；
(2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立．
那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．
数学归纳法的初始值n0一定是取1吗？
[提示] 不一定．n0的取值视具体情况而定．
拓展：数学归纳法两个步骤的联系：
第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1．( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线为eq \f(1,2)n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [三角形是边数最少的多边形，故第一步应检验n＝3．]
类型1 用数学归纳法证明恒等式
【例1】 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，
右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·eq \f(2k＋12k＋2,k＋1)
＝2k·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]＝右边．
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原等式均成立．
用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.
[跟进训练]
1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3 ×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．
2(2k＋1) [令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，
f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以eq \f(fk＋1,fk)＝eq \f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．]
2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq \f(1,3)n(4n2－1)(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝12，
右边＝eq \f(1,3)×1×(4×12－1)＝1，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，
即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq \f(1,3)k(4k2－1)，
则当n＝k＋1时，
12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2
＝eq \f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2
＝eq \f(1,3)k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2
＝eq \f(1,3)(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]
＝eq \f(1,3)(2k＋1)(2k2＋5k＋3)
＝eq \f(1,3)(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)
＝eq \f(1,3)(k＋1)(4k2＋8k＋3)
＝eq \f(1,3)(k＋1)[4(k＋1)2－1]，
即当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)知，对一切n∈N*等式成立．
类型2 用数学归纳法证明不等式
【例2】 证明不等式1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(n))<2eq \r(n)(n∈N＋)．
[思路点拨] 在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．
[证明] ①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))<2eq \r(k)．
则当n＝k＋1时，
1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))＋eq \f(1,\r(k＋1))
<2eq \r(k)＋eq \f(1,\r(k＋1))＝eq \f(2\r(k)·\r(k＋1)＋1,\r(k＋1))
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．
1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．
[跟进训练]
3．用数学归纳法证明对一切n∈N*，1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,n2)≥eq \f(3n,2n＋1)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝eq \f(3×1,2×1＋1)＝1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，
即1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,k2)≥eq \f(3k,2k＋1)．
则当n＝k＋1时，要证1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,k2)＋eq \f(1,k＋12)≥eq \f(3k＋1,2k＋1＋1)，
只需证eq \f(3k,2k＋1)＋eq \f(1,k＋12)≥eq \f(3k＋1,2k＋3)．
因为eq \f(3k＋1,2k＋3)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3k,2k＋1)＋\f(1,k＋12)))
＝eq \f(3,4k＋12－1)－eq \f(1,k＋12)
＝eq \f(1－k＋12,k＋12[4k＋12－1])
＝eq \f(－kk＋2,k＋124k2＋8k＋3)≤0，
所以eq \f(3k,2k＋1)＋eq \f(1,k＋12)≥eq \f(3k＋1,2k＋3)，
即1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,k2)＋eq \f(1,k＋12)≥eq \f(3k＋1,2k＋1＋1)，
所以当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立．
类型3 归纳——猜想——证明
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝eq \f(Sn,n2n－1)且a1＝eq \f(1,3)．
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
[思路点拨] (1)令n＝2，3可分别求a2，a3．
(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明．
[解] (1)a2＝eq \f(S2,22×2－1)＝eq \f(a1＋a2,6)，a1＝eq \f(1,3)，
则a2＝eq \f(1,15)，类似地求得a3＝eq \f(1,35)．
(2)由a1＝eq \f(1,1×3)，a2＝eq \f(1,3×5)，a3＝eq \f(1,5×7)，…，猜得：
an＝eq \f(1,2n－12n＋1)．
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝eq \f(1,2k－12k＋1)，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝eq \f(Sn,n2n－1)，
得ak＝eq \f(Sk,k2k－1)，
ak＋1＝eq \f(Sk＋1,k＋12k＋1)，
所以Sk＝k(2k－1)ak
＝k(2k－1)eq \f(1,2k－12k＋1)＝eq \f(k,2k＋1)，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－eq \f(k,2k＋1)．
因此，k(2k＋3)ak＋1＝eq \f(k,2k＋1)，
所以ak＋1＝eq \f(1,2k＋12k＋3)
＝eq \f(1,[2k＋1－1][2k＋1＋1])．
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
[跟进训练]
4．已知函数y＝f(n)(n∈N＋)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N＋，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．
[解] (1)因为f(1)＝2，
f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，
所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8．
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16．
(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N＋)．
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想正确，即f(k)＝2k，
那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
所以，当n＝k＋1时，猜想正确．
由①②知，对任意的n∈N＋，都有f(n)＝2n．
类型4 用数学归纳法解决平面几何问题
1．如图，两直线a，b相交，其把平面分成几部分？
[提示] 4部分．
2．如图，三条直线a，b，c两两相交，不共交于一点，其把平面分成几部分？
[提示] 7部分．
3．如图，四条直线a，b，c，d两两相交，交点均不重合，其把平面分成几部分？结合尝试与发现1，2分析，如果前k条线两两相交(交点均不重合)把平面分成f(k)部分，再增加一条相交直线(交点均不重合)，其把平面分成f(k＋1)部分，那么f(k＋1)与f(k)之间存在怎样的等量关系？
[提示] 11部分，f(k＋1)＝f(k)＋k＋1．
【例4】 (对接教材P52例2)已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．
[证明] (1)当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)＝k(k－1)＋2(部分)，
当n＝k＋1时，第k＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分，
故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)，
即当n＝k＋1时，命题也成立．
根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.
[跟进训练]
5．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)＝eq \f(nn－1,2)．
[证明] (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝eq \f(1,2)×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝eq \f(1,2)k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)＝eq \f(1,2)k(k－1)，
l与其他k条直线的交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝eq \f(1,2)k(k－1)＋k＝eq \f(1,2)k(k－1＋2)＝eq \f(1,2)k(k＋1)＝eq \f(1,2)(k＋1)[(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3．]
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq \f(1－an＋2,1－a)(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1B．1＋a＋a2
C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3
B [当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2．]
3．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝( )
A．a1＋(k－1)dB．eq \f(ka1＋ak,2)
C．ka1＋eq \f(kk－1,2)dD．(k＋1)a1＋eq \f(kk＋1,2)d
C [假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋eq \f(kk－1,2)d．]
4．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．
1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 [当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1．]
5．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2．
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2．
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．
(2) [在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．利用数学归纳法证明数学命题时需要注意哪些问题？
[提示] (1)一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项公式及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决．
(2)第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1．
(3)步骤(ⅱ)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n＝k(其中k≥n0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立．而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．
2．利用归纳假设的常用技巧有哪些？
[提示] 在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)
2．掌握数学归纳法的步骤．(难点)
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)
1．通过数学归纳法的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养．
2．通过利用数学归纳法证明数学命题，提升数学运算素养．