数学4.2 直线、圆的位置关系一课一练

这是一份数学4.2 直线、圆的位置关系一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2，1)对称，则圆C2的方程是( B )
A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25
[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2，1)的对称点(4－x，2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25．
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为( A )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
[解析] 解法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1，0)，C2(－1，2)，得l方程为x＋y－1＝0．
解法二：直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y＝－(x－1)，故选A．
3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是( B )
A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0．
4．设r>0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16可能( C )
A．相离 B．相交
C．内切或内含或相交 D．外切或外离
[解析] ∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0，0)，∴两圆的圆心的距离为eq \r(0－12＋0＋32)＝eq \r(10)<4，半径分别为4，r，∴当|4－r|5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( C )
A．5 B．4
C．3 D．2eq \r(2)
[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，
∵两切线互相垂直，
∴eq \f(y0,x0)·eq \f(y0＋3,x0－4)＝－1，∴3y0－4x0＝－16．
∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3．
6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为( D )
A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6
C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36
[解析] 半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由eq \r(b2＋32)＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36．
二、填空题
7．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__．
[解析] 圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3，0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O2(0，－3)，半径为r2＝6，∴|O1O2|＝eq \r(－3－02＋0＋32)＝3eq \r(2)，∴r2－r1<|O1O2|8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2eq \r(3)，则a＝__1__．
[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝eq \f(1,a)，圆心(0，0)到直线y＝eq \f(1,a)的距离d＝|eq \f(1,a)|，于是由(eq \f(2\r(3),2))2＋|eq \f(1,a)|2＝22，解得a＝1．
三、解答题
9．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
[解析] 解法一：联立两圆方程
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－12x－2y－13＝0,x2＋y2＋12x＋16y－25＝0))，
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0．
再由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋3y－2＝0,x2＋y2－12x－2y－13＝0))，
联立得两圆交点坐标(－1，2)，(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，
∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径为
eq \f(1,2)eq \r(5＋12＋－6－22)＝5．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25．
解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0．设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为参数)．
可求得圆心C(－eq \f(12λ－12,21＋λ)，－eq \f(16λ－2,21＋λ))．
∵圆心C在公共弦所在直线上，
∴4·eq \f(－12λ－12,21＋λ)＋3·eq \f(－16λ－2,21＋λ)－2＝0，
解得λ＝eq \f(1,2)．
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0．
10．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] 设直线l的方程为y＝x＋b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋b，,x2＋y2－2x＋4y－4＝0，))
消元得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0．
设此方程两根为x1，x2，
则A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－(b＋1)，
x1x2＝eq \f(b2＋4b－4,2)．
以AB为直径的圆过原点O，
∴kOA·kOB＝eq \f(y1y2,x1x2)＝－1．
∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋3b－4＝0，
∴b＝－4或b＝1．
又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)，
经检验当b＝－4或b＝1时满足Δ>0．
∴存在这样的直线l为y＝x－4或y＝x＋1．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为( D )
A．4 B．4eq \r(2)－1
C．2eq \r(2)－2 D．2
[解析] ∵|CC′|＝5＜R－r＝7，
∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r＝2．
2．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( A )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
[解析] 以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．
3．已知两圆相交于两点A(1，3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是( C )
A．－1 B．2
C．3 D．0
[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，kAB＝eq \f(－4,m－1)＝－1．
∴m＝5，线段AB的中点(3，1)在直线x－y＋c＝0上
∴c＝－2，∴m＋c＝3．
4．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( B )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
[解析] 由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))，所以2eq \r(a2－\f(a2,2))＝2eq \r(2)，解得a＝2．圆M、圆N的圆心距|MN|＝eq \r(2)，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．
二、填空题
5．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是__外切__．
[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4．
又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，
圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a，0)，半径r2＝1，
则d＝|C1C2|＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(4)＝2，
∴d＝r1＋r2．∴两圆外切．
6．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是__(x－2)2＋(y－2)2＝2__．
[解析] 已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6，6)且与直线x＋y－2＝0垂直的方程为x－y＝0．方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1，1)和(3，3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2，2)，半径为eq \r(2)，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2．
C级 能力拔高
1．已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆心M的轨迹方程．
[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB所在的直线方程为2(m＋1)x＋2(n＋1)y－m2－1＝0，由于A、B两点平分圆N的圆周，所以A，B为圆N直径的两个端点，即直线AB过圆N的圆心N，而N(－1，－1)，所以－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0，即m2＋2m＋2n＋5＝0，即(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)，由于圆M的圆心M(m，n)，从而可知圆心M的轨迹方程为
(x＋1)2＝－2(y＋2)(y≤－2)．
2．已知圆C：x2＋y2－2x＋4my＋4m2＝0，圆C1：x2＋y2＝25，直线l：3x－4y－15＝0．
(1)求圆C1：x2＋y2＝25被直线l截得的弦长；
(2)当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；
(3)是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P(2，0)距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)因为圆C1：x2＋y2＝25的圆心O坐标为(0，0)，半径为5，则圆心O到直线l：3x－4y－15＝0的距离为d＝eq \f(15,5)＝3，
所以直线l被圆C1：x2＋y2＝25截得的弦长为2eq \r(52－32)＝8．
(2)圆C与圆C1的公共弦直线为2x－4my－4m2－25＝0，
因为该弦平行于直线l：3x－4y－15＝0，
所以eq \f(3,2)＝eq \f(4m,4)≠eq \f(4m2＋25,15)，得m＝eq \f(2,3)．
经检验符合题意，所以m＝eq \f(2,3)．
(3)假设这样的实数m存在．
设弦AB中点为M，由已知得|AB|＝2|PM|，
即|AM|＝|BM|＝|PM|，
所以点P(2，0)在以弦AB为直径的圆上．
设以弦AB为直径的圆方程为：x2＋y2－2x＋4my＋4m2＋λ(3x－4y－15)＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22－2×2＋4m2＋λ3×2－15＝0,3×\f(2－3λ,2)－4×\f(4λ－4m,2)－15＝0))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4m2－9λ＝0,16m－25λ－24＝0))，
消去λ得：100m2－144m＋216＝0，25m2－36m＋54＝0，
因为Δ＝362－4×25×54＝36(36－25×6)<0，
所以方程25m2－36m＋54＝0无实数根，
所以，假设不成立，即这样的圆不存在．