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    2021年人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1《椭圆及其标准方程》导学案(含答案)

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    人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆学案

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆学案,共10页。
    3.1.1椭圆及其标准方程   导学案 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程 难点:运用标准方程解决相关问题   1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆,这_______叫做椭圆的焦点,______________叫做椭圆的焦距,焦距的____称为半焦距.思考:(1)椭圆定义中将大于|F1F2|”改为等于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?(2)椭圆定义中将大于|F1F2|”改为小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,动点的轨迹是什么? 2.椭圆的标准方程  焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系b2=a2-c2 1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是(  )A.=1    B.=1    C.=1 D.=1=12. 椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(  )A.5 B.6        C.7 D.83. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是(  )A.(±,0)     B.(0,±)    C. D.一、    情境导学         椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质,在科研生产和人类生活中具有广泛的应用,那么椭圆到底有怎样的几何性质,我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程,从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。探究    取一条定长的细线,把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板中的两点F1,F2 套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?     在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?       观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单?            一般地,如果椭圆的焦点为,焦距为2,而且椭圆上的动点P满足,=2其中>>0. 所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时,椭圆的焦点分别为,0 椭圆的标准方程 =2.      ,我们将其左边一个根式移到右边,得得对方程两边平方,得= 整理,得= 对方程两边平方,得=整理得             将方程两边同除以,得  由椭圆的定义可知>>0 ,即>>0,所以.观察图,你能从中找出表示的线段吗?由图可知,==c ,那么方程就是  (>>0)           称焦点在轴上的椭圆方程.       设椭圆,焦距为2,而且椭圆上的动点P满足=2其中>>0. 所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时:1)椭圆焦点的坐标分别是什么?2)能否通过  (>>0) 来得到此时椭圆方程的形式?  (>>0),称焦点在轴上的椭圆方程. 二、    典例解析1求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为F1(4,0)F2(4,0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10(2)焦点坐标分别为(0,-2)(0,2),经过点(4,3)(3)经过两点(2,-).   用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.(2)设方程:根据上述判断设方程1(ab0)1(ab0)或整式形式mx2ny21(m0n0mn)(3)找关系:根据已知条件建立关于abc(mn)的方程组.(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,写出标准形式即为所求. 跟踪训练1.求与椭圆1有相同焦点,且过点(3)椭圆的标准方程. 2 (1)已知P是椭圆1上一动点,O为坐标原点,则线段OP中点Q的轨迹方程为______________(2)如图所示,圆C(x1)2y225及点A(1,0)Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.典例解析1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有:直接法、定义法和代入法,本例(1)所用方法为代入法,例(2)所用方法为定义法.2.对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方法.3.代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(xy)与另一个已知曲线CF(xy)0上的动点Q(x1y1)存在着某种联系,可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来,然后代入已知曲线C的方程 F(xy)0,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)跟踪训练2.已知x轴上一定点A(1,0)Q为椭圆y21上任一点,求线段AQ中点M的轨迹方程.1.椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(  )A5    B6    C7    D82.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值(  )A1            B2         C3        D43若方程1表示椭圆,则实数m满足的条件是________4.设F1F2分别是椭圆C1(ab0)的左、右焦点,设椭圆C上一点到两焦点F1F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.  参考答案:知识梳理常数(大于|F1F2|) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半 思考: [提示] (1)点的轨迹是线段F1F2.  (2)当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.小试牛刀: 解析: (1) 易得为D选项.(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,|PF1|=2,结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.(3)椭圆的标准方程为=1,a2=,b2=,c2=a2-b2=,且焦点在x轴上,焦点坐标为.(3)椭圆的标准方程为=1,a2=,b2=,c2=a2-b2=,且焦点在x轴上,焦点坐标为. 学习过程1[] (1)因为椭圆的焦点在x轴上,且c4,2a10,所以a5b3,所以椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为1(ab0)法一:由椭圆的定义知2a12解得a6.c2,所以b4.所以椭圆的标准方程为1.法二:因为所求椭圆过点(4,3),所以1.c2a2b24,可解得a236b232.所以椭圆的标准方程为1. (3)法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得a2b2,与ab0矛盾,舍去.综上可知,所求椭圆的标准方程为1.法二:设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0B0AB).分别将两点的坐标(2,-)代入椭圆的一般方程,得解得所以所求椭圆的标准方程为1.跟踪训练1[] 法一:因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同,所以其焦点在x轴上,c225916.设所求椭圆的标准方程为1(ab0)因为c216,且c2a2b2a2b216 .又点(3)在所求椭圆上,所以11 .①②a236b220所以所求椭圆的标准方程为1.法二:由题意可设所求椭圆的标准方程为1.又椭圆过点(3),将x3y代入方程得1,解得λ11λ=-21(舍去).故所求椭圆的标准方程为1.2  [思路探究] (1)QOP的中点Q与点P的坐标关系代入法求解.(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解.(1)x21 [Q(xy)P(x0y0),由点Q是线段OP的中点知x02xy02y1,所以1,即x21.](2)[] 由垂直平分线的性质可知|MQ||MA||CM||MA||CM||MQ||CQ||CM||MA|5.M的轨迹为椭圆,其中2a5,焦点为C(1,0)A(1,0)ac1 b2a2c21.所求点M的轨迹方程为1,即1.跟踪训练2[] 设中点M的坐标为(xy),点Q的坐标为(x0y0)利用中点坐标公式,得Q(x0y0)在椭圆y21上,y1.x02x1y02y代入上式,得(2y)21.故所求AQ的中点M的轨迹方程是4y21.达标检测1D [根据椭圆的定义知,P到另一个焦点的距离为2a22×528.]2B [椭圆方程可化为x21由题意知解得k2.]3[由方程1表示椭圆,得解得mm≠1.]  4[] 椭圆上一点到两焦点的距离之和为42a4a24是椭圆上的一点,1b23c21椭圆C的方程为1.焦点坐标分别为(1,0)(1,0)5. :如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点MAQ的垂直平分线上,|MA|=|MQ|,|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,2a=5,c=1,a=,b2=a2-c2=-1=.故点M的轨迹方程为=1. 

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