数学必修2第一章 空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图教学设计

1．2　空间几何体的三视图和直观图

1．2．1　中心投影与平行投影

1．2．2　空间几何体的三视图

Q

从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中．”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图把几何体画在纸上．

X

1．投影

[归纳总结]　当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有下述性质：

(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段．

(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线．

(3)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长．

(4)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等．

2．三视图

[归纳总结]　三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样；侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样．正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等．

Y

1．下列说法：

①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；

②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；

③几何体在平行投影与中心投影下有不同的 表现形式．

其中正确说法的个数为(　B　)

A．0　　　 B．1　　　

C．2　　　 D．3

[解析]　由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确．

2．下列说法错误的是 (　D　)

A．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度

B．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度

C．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度

D．一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样

[解析]　一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视长度一样，侧视图和俯视图宽度一样，故选项D错误．

3．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的__①②④__．(填入所有可能的几何体的编号)

①三棱锥；②四棱锥；③四棱柱；④圆锥；⑤圆柱．

[解析]　三棱锥、四棱锥、圆锥的正视图可能是一个三角形．

4．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别是__2__和__4__．

[解析]　三棱柱的高同侧视图的高为2，侧视图的宽恰为底面正三角形的高，故底边长为4．

H

命题方向1　⇨对投影的理解

典例1 如图1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个而上的投影可能是图2中的__①②③__．

[思路分析]　抓住已知图形的端点，确定端点在投影面的位置．进而确定投影的图形．

[解析]　要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．

在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图2①；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图2②；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图2③．

『规律方法』　画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的正投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．

〔跟踪练习1〕 

如图1所示，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的投影可能是下图中的__②③__．(填序号)

[解析]　四边形BFD1E在面ADD1A1，面BCC1B1上的投影为③，在其余各面上的射影均为②，故填②③．

命题方向2　⇨简单几何体的三视图

典例2 画出图中正四棱锥的三视图．(尺寸不作严格要求)

[解析]　正四棱锥的三视图如图所示：

『规律方法』　画三视图应遵循的原则和注意事项：

(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”．

(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．

(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．

〔跟踪练习2〕 

画出下列几何体的三视图．

[解析]　图①为正六棱柱，正视图和侧视图都是矩形，正视图中有两条竖线，侧视图中有一条竖线，俯视图是正六边形．图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．三视图如图．

(1)

(2)

命题方向3　⇨简单组合体的三视图

典例3 如下图所示，画出下列组合体的三视图．

[思路分析]　图①是一个长方体挖去一个四棱柱，图②是上下叠起且轴线重合的三个圆柱组成的几何体．

[解析]　三视图如下图①②所示．

『规律方法』　画组合体的三视图时应注意它是由哪些简单几何体生成的，认清相交面、相交线的位置．

〔跟踪练习3〕 

画出如图所示几何体的三视图．

[解析]　①此几何体的三视图如图所示：

②此几何体的三视图如图所示：

Y 　虚线漏画或画为实线

典例4 画出如图所示几何体的正视图和俯视图．

[错解]　正视图和俯视图，如图所示．

[错因分析]　正视图的上边矩形中缺少几何体中间小圆柱的轮廓线(用虚线表示)；俯视图中的三个圆都应画为实线，因为三个圆都是可见的．

[思路分析]　三种视图中，可见的线都画成实线，存在但不可见的线一定要画出，但要画成虚线；画三视图时，一定要分清可见线与不可见线，避免出现错误．

[正解]　正视图与俯视图如图所示．

X 　空间想象能力——识图、画图、用图

1．识画三视图的关键是弄清方位，确定前后，左右位置关系，抓住垂直关系．

2．由三视图还原空间几何体的策略

(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体，另外需注意非正常位置放置的常见几何体的三视图特征．

(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．

3．由三视图还原空间几何体的步骤

典例5 根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．

[解析]　图(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：

〔跟踪练习4〕 

一个几何体的三视图如图所示．则该几何体的直观图可以是(　D　)

[解析]　由俯视图易知，只有选项D符合题意．故选D．

K

1．下列图形中采用了中心投影画法的是 (　A　)

[解析]　选项A中采用了中心投影画法．

2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 (　D　)

A．①②　　  B．①③　　

C．①④　　  D．②④

[解析]　①的三个视图都相同，都是正方形；②的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图都不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同．故选D．

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是 (　D　)

A．棱柱  B．棱台

C．圆柱  D．圆台

[解析]　由三视图可知，该几何体是圆台．

4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为 (　B　)

[解析]　由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B．