2021学年第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计及反思

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2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系Q 观察下图中的∠AOB与∠A′O′B′.这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？X 1．异面直线(1)概念：不同在__任何一个__平面内的两条直线叫做异面直线．[归纳总结]　对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到一个平面同时经过这两条直线．“异面”的含义就是“不能共面”的意思．定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为“不同在某一平面内”．(2)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．2．空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内，__有且只有__一个公共点．(2)平行直线——同一平面内，__没有__公共点．(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．3．公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相__平行__图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒__a∥c__作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的__传递性__ 4．等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__相等__或__互补__图形语言符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°作用证明两个角相等或互补 [归纳总结]　等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线．但是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行．初中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立，否则不成立．5．两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的__锐角__(或__直角__)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．[归纳总结]　在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的．(2)异面直线所成的角α的范围：__0°＜α≤90°__．(3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是__直角__，那么就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a__⊥__b．[归纳总结]　两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．Y 1．在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是(　C　)A．SB　 　 B．SC　C．BC　 　 D．AB[解析]　如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．2．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(　D　)A．60°  B．120°C．30°  D．60°或120°[解析]　∵α与β的两边对应平行，∴α与β相等或互补，故β为60°或120°．3．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是(　D　)A．相交  B．异面C．平行  D．异面或相交[解析]　如图借助正方体可知c与b相交或异面．4．如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有__3__条.[解析]　∵四边形ABB′A′，ADD′A′均为长方形∴AA′∥BB′，AA′∥DD′．又四边形BCC′B′为长方形∴BB′∥CC′，∴AA′∥CC′．故与AA′平行的棱共有3条，它们分别是BB′，CC′，DD′．H 命题方向1　⇨空间两条直线位置关系的判定典例1 已知a，b，c是空间三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；③如果a，b是相交直线，b，c是相交直线，那么a，c也是相交直线；④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面．在上述命题中，正确命题的个数是(　A　)A．0　　　　 B．1　　　　C．2　　　　 D．3[解析]　①a与c可能相交，也可能异面；②a与c可能相交，也可能平行；③a与c可能异面，也可能平行；④a与c可能不在一个平面内．故①②③④均不正确． 『规律方法』　判断空间中两条直线位置关系的诀窍：(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．〔跟踪练习1〕 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　D　)A．一定平行　　　 B．一定相交C．一定异面  D．相交或异面[解析]　画出图形，得到结论．如图①，分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是相交关系；如图②，分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是异面关系．综上可知，应选D．命题方向2　⇨平行线的传递性典例2 如图，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．[思路分析]　平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．[解析]　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，∵E是AA1的中点，∴EQ∥A1D1，EQ=A1D1， 又在矩形A1B1C1D1中A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，∴EQ∥B1C1，EQ=B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E∥C1Q，B1E=C1Q，又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边中点，∴QD∥C1F，QD=C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q∥DF，C1Q=DF，又∵B1E∥C1Q，B1E=C1Q，∴B1E∥DF，B1E=DF，∴四边形B1EDF为平行四边形．〔跟踪练习2〕 已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．[解析]　如图，连接AC∵M，N为CD，AD的中点，∴MN∥AC，MN=AC．由正方体性质可知AC∥A′C′，AC=A′C′，∴MN∥A′C′，MN=A′C′，∴四边形MNA′C′是梯形．命题方向3　⇨等角定理的应用典例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF∥E1F1，EF＝E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1．[解析]　(1)如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF＝BD，EF∥BD．同理，E1F1∥B1D1，E1F1=B1D1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1=DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD∥B1D1，BD=B1D1，又EF∥BD，E1F1∥B1D1，EF=BD，E1F1=B1D1，所以EF∥E1F1，EF=E1F1．(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1∥B1C1，MF1=B1C1．又B1C1∥BC，B1C1=BC，所以MF1∥BC，MF1=BC，所以四边形BMF1C为平行四边形所以BM∥CF1．因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1∥AB，A1B1=AB，所以A1M∥BE，A1M=BE，所以四边形BMA1E为平行四边形所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E．同理可证A1F∥CE1．因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1． 『规律方法』　求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．〔跟踪练习3〕 如图，已知线段AA1，BB1，CC1交于O点，且＝＝，求证：△ABC∽△A1B1C1．[解析]　∵AA1与BB1交于点O，且＝，∴A1B1∥AB，同理A1C1∥AC，B1C1∥BC，又∵A1B1和AB，A1C1和AC方向相反，∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1．Y 　对异面直线所成的角概念不清致误典例4 已知AB⊥BC，BC⊥CD，DE⊥AE，DE∥BC，且AB＝BC＝CD，异面直线AB与CD成60°角，求异面直线AD与BC所成的角.[错解]　连接AE，BE(如图①所示)．∵DE∥BC，BC＝CD，BC⊥CD，∴四边形BCDE为正方形．∵AB⊥BC，AB＝BC，异面直线AB与CD成60°角，∴∠ABE＝60°，∴△ABE是正三角形．∴AE＝AB＝BC＝DE，又DE⊥AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE＝45°，∴异面直线AD与BC所成角的度数为45°．[错因分析]　对异面直线所成角的概念理解不准确，忽视了．如图②所示的情况，导致错误．[正解]　①同错解．②连接AE，BE(如图②所示)．∵DE∥BC，BC＝CD，BC⊥CD，∴四边形BCDE是正方形．又AB⊥BC，AB＝BC，异面直线AB与CD成60°角，∴AB＝BE，∠ABE＝120°.设AB＝1，则AE＝，∵DE⊥AE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，即异面直线AD与BC所成的角的度数为60°．综上所述，异面直线AD与BC所成的角的度数为60°或45°．[警示]　异面直线所成的角是两条相交直线所成的两对对顶角中较小的那一对对顶角．当由已知两条直线所成的角去推断两条相交直线所成的角时，依据等角定理两者可能相等或互补，所以我们应当考虑两种情况．X 　转化与化归思想的应用求异面直线所成的角，关键是通过平移直线，将异面直线所成角的问题化归为一个解三角形求内角的问题，通过解三角形求得结果．典例5 如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小.[思路分析]　1.PA，BC移至同一个三角形中．2．找出PA和BC所成的角．[解析]　如图，取AC中点F，连接DF，EF，在△PAC中∵D是PC中点，F是AC中点，∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，∴DE2＝DF2＋EF2．∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°． 『规律方法』　求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)证明——证明所作出的角等于要求的角．(3)计算——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(4)结论——设由(3)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．〔跟踪练习4〕 四面体A－BCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别是BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．[解析]　如图，取BD的中点G，连接EG，FG．∵E，F，G分别是BC，AD，BD的中点，∴EG∥CD，GF∥AB，EG=CD，GF=AB，∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角，即∠EGF＝30°或150°．∵AB＝CD，∴EG＝GF故由等腰△EGF知∠GFE＝75°或15°．而由FG∥AB知，∠GFE就是EF和AB所成的角．从而EF和AB所成的角为75°或15°．K 1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b(　D　)A．共面　　　　　　 B．平行C．异面  D．平行或异面[解析]　直线a，b没有公共点时，a，b可能平行，也可能异面．2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BD和CD的中点，长方体的各棱中与EF平行的有(　D　)A．1条　　 B．2条　　C．3条　　 D．4条[解析]　如图所示∵E，F分别为BD，CD的中点，∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1，同理，EF∥A1D1，EF∥AD．3．空间四边形ABCD中，给出下列说法：①直线AB与CD异面；②对角线AC与BD相交；③四条边不能都相等；④四条边的中点组成一个平行四边形．其中正确说法的个数是(　B　)A．1个  B．2个 C．3个  D．4个[解析]　由定义知①正确；②错误，否则A，B，C，D四点共面；③不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；④正确，由平行四边形的判定定理可证．4．空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则MN__<__(AC＋BD)(填“≥”“>”“≤”“<”“＝”符号)[解析]　取BC的中点E，连接EM，EN，则，相加EM＋EN＝(AC＋BD)又EM＋EN>MN，∴MN<(AC＋BD)．