备战2022年高考数学压轴题专题3.5 参数范围与最值不等建解不宜迟

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【题型综述】
参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：
（1） 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.
(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.
【典例指引】
类型一 参数范围问题
例1 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。

【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.
（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
(2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离

因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

所以 解得.
因此，实数t的取值范围是.
类型二 方程中参数范围问题
例2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为；
②求p的取值范围.







【解析】（1）抛物线的焦点为
由点在直线上，得，即
所以抛物线C的方程为

因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而，化简得.
方程（*）的两根为，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为在直线上
所以，即
由①知，于是，所以
因此的取值范围为
类型三 斜率范围问题
例3【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.
【解析】（1）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
类型四 离心率的范围问题
例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值
范围.

【解析】（1）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，
故，．
因此．

由于，，得
，
因此， ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是
，所以．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，
由得，所求离心率的取值范围为．
【扩展链接】
1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
；②
若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
；②
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦
点的弦.
3. 抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.
4.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
①.
②.
③.
④.；
⑤.；
⑥.；
【同步训练】
1．已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.
(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，结合离心率的范围可知则的取值范围是.
【详细解析】（1）由题意得，∴.
又因为，∴.
所以椭圆的方程为.
（2）由 得.
设.所以，

2.在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列.
(1)求顶点 的轨迹方程；
(2) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线,使得点 关于对称，求实数 的取值范围
【思路点拨】(1 ) 由 成等差数列，可得 ；结合椭圆的定义可求得 的轨迹方程为；(2)将 与椭圆方程联立，判别式大于得 .根据点关于直线 对称，得.讨论 ， 两种情况即可求出 的取值范围.
【详细解析】（1）由题知 得 ，即 （定值）．
由椭圆定义知，顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆（除去左右顶点），
且其长半轴长为 ，半焦距为 ，于是短半轴长为 ．
∴ 顶点 的轨迹方程为 ．
（2）由
消去整理得,
∴ ，整理得： …①.
令 ，则 .
设 的中点 ，则 .
i)当 时，由题知， ．
ii)当 时，直线方程为 ，
3.已知A，B，C是椭圆C： （a>b>0）上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且·＝0，||＝2||
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且||＝||，求实数t的取值范围．

【思路点拨】（1）根据点的坐标求出a，然后根据求出b,即可求出椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设运用违达定理运算，求出t的取值范围。
【详细解析】（1）由A的坐标为(2，0)，所以， ，知OC=AC,所以C(),代入椭圆方程，得b=2,所以椭圆标准方程： 。
（2）显然，当直线k=0,时满足，此时-2 当直线时，设直线方程：y=kx+t,由消去整理得，
设，PQ中点，D(0,-2), 则，，化简得，得， ，所以，代入,化简得，代入，即，所以
综上所述，
4.已知椭圆的方程是，双曲线的左右焦点分别为
的左右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B 满足，求的取值范围.
【思路点拨】（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a=，c=2，b=1．即可得到双曲线方程；
（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k的不等式，解出求它们的交集即可．
【详细解析】（1）椭圆C1的方程为的左、右焦点为（﹣，0），（，0），
则C2的左、右顶点为（﹣，0），（，0），C1的左、右顶点为（﹣2，0），（2，0），则C2的左、右焦点为（﹣2，0），（2，0）．则双曲线的a=，c=2，b=1．
即有双曲线C2的方程为： ；

5.已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.
（1）求椭圆的方程；
（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.
【思路点拨】（1）由已知即可以解得a, b,c的值；（2）先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在时，联立直线与椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出，，化简得，结合解得，从而解出的取值范围.
【详细解析】（1）由已知 ，，设
的方程为
（2）过的直线若斜率不存在，则或3.
设直线斜率存在，

则
由（2）（4）解得，代入（3）式得
化简得
由（1）解得代入上式右端得

解得
综上实数的取值范围是.
6.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.
【思路点拨】(1)由相关点法得到Q点轨迹；（2）求出线段中点坐标，点在正方形内（包括边界）的条件是即，解出来即可；
【详细解析】（Ⅰ）设动点，则，且，①
又，得，
代入①得动点的轨迹方程为．
（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．
直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，代入，
得，
由，
解得，②
设，线段的中点，
则．
7.已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2
（1）求曲线C的方程
（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：于M、N两点（A、M两点相邻）若 ，当 时，求K的取值范围
【思路点拨】（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣3的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；
（2）由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，利用条件，结合韦达定理，可得4k2+2= ，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；
【详细解析】（1）由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，
∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，
∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，标准方程为x2=4y；
（2）①依题意设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，△=（﹣4k）2+16＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
∵， ∴（﹣x2，y2）=λ（x1﹣x2，y1﹣y2）， ，
，
即4k2+2= ，
∵λ∈[]，∴ ，
∵函数f（x）=x+ 在[ ]单调单调递减，
∴4k2+2∈[2，]，
∴k的取值范围是[﹣， ]．
8.如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求实数λ的取值范围．

【思路点拨】（1）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程．
（2）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到．设MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，利用韦达定理，求出，解出，将椭圆方程，然后求解实数λ的取值范围．
【详细解析】（1）因为BF1⊥x轴，得到点，
所以，所以椭圆C的方程是．
（2）因为，
所以．由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），设MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程得：（4k2+3）x2﹣8kx﹣8=0．即得（*）
又，有，
将代入（*）可得：．
因为，有，
则且λ＞2．
综上所述，实数λ的取值范围为．
9.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围．

【思路点拨】（1）由，求出a，c，然后求解椭圆的离心率．
（2）设D（x1，y1），C（x2，y2）通过，结合△＞0推出m2＜4k2+1，利用韦达定理|CM|=|DN|．求出直线的斜率，然后表示出，然后求解它的范围即可．
【详细解析】（1）由，可知即椭圆方程为…..…．（2分）
离心率为…．…．（4分）
（2）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知…．（5分）
由消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△＞0⇒4k2﹣m2+1＞0即m2＜4k2+1，…（6分）
且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分）

10.在平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点F的直线x+y﹣2=0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于D，E两点，若在线段OF上存在点M（t，0），使得∠MDE=∠MED，求t的取值范围．
【思路点拨】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，结合，设P（x0，y0），推出a2=3b2，结合c=2然后求解椭圆C的方程．
（2）设线段DE的中点为H，说明MH⊥DE，设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆C的方程为，设D（x3，y3），E（x4，y4），利用韦达定理求出H的坐标，通过kMH•kl=﹣1，求解即可．
【详细解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
相减得，，由题意知，
设P（x0，y0），因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，
所以可以解得a2=3b2，即a2=3（a2﹣c2），即，又因为c=2，∴a2=6，
所以椭圆C的方程为．
（2）设线段DE的中点为H，因为∠MDE=∠MED，所以MH⊥DE，
设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆C的方程为，
得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
设D（x3，y3），E（x4，y4），则．
则，，即，
由已知得kMH•kl=﹣1，∴，整理得，
因为k2＞0，所以，
所以t的取值范围是．
11.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|=2，∠F1AF2=60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆C的方程．
（2）存在这样的点M符合题意．设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点N在直线PQ上，求出N的坐标，利用MN⊥PQ，转化求解m的范围．
【详细解析】（1）由得a=2c，|AF1|=2，|AF2|=2a﹣2，
由余弦定理得，，
解得c=1，a=2，b2=a2﹣c2=3，
所以椭圆C的方程为．
（2）存在这样的点M符合题意．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），
由F2（1，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），
由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
由韦达定理得，故，
又点N在直线PQ上，，所以．
因为MN⊥PQ，所以，整理得，
所以存在实数m，且m的取值范围为．
12.已知椭圆E：mx2+y2=1（m＞0）．
（1）若椭圆E的右焦点坐标为，求m的值；
（2）由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以B（0，1）为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个，求m的取值范围．
【思路点拨】（1）化椭圆E的方程为标准形式，通过焦点在x轴上，求出a，然后求解m即可．
（2）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x1，y1），C（x2，y2），BA与BC不与坐标轴平行，且kBA•kBC=﹣1＜0，设直线BA的方程为y=kx+1（k＞0），则直线BC的方程为，
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形状，转化求解即可．
【详细解析】（1）椭圆E的方程可以写成，焦点在x轴上，所以，b2=1，求得．…（4分）
（2）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x1，y1），C（x2，y2）
显然BA与BC不与坐标轴平行，且kBA•kBC=﹣1＜0∴可设直线BA的方程为y=kx+1（k＞0），则直线BC的方程为，
由消去y得到（m+k2）x2+2kx=0，所以
求得
同理可求
，
所以实数m的取值范围是．…（14分）