人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）习题

4．5．2用二分法求方程的近似解

       A级　基础巩固

一、选择题

1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　C　)

A．x1　　　 B．x2

C．x3　　　 D．x4

[解析]　用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C．

2．已知函数y＝f(x)的图象如下图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　D　)

A．4，4　　　　　 B．3，4

C．5，4　　 D．4，3

[解析]　题中图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D．

3．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　A　)

A．(1，2)　　 B．(2，3)

C．(0，)　　 D．(，1)

[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)单调递增，

∵f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－＝1－＝>0，

∴在区间(1，2)内，函数f(x)存在零点，故选A．

4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为(　C　)

A．1.2　　 B．1.3

C．1.4　　 D．1.5

[解析]　依据题意，∵f(1.4375)＝0.162，且f(1.40625)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C．

5．设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.55)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间(　C　)

A．(2，2.25)　　 B．(2.25，2.5)

C．(2.5，2.75)　　 D．(2.75，3)

[解析]　因为f(2.25)<0，f(2.75)>0，由零点存在性定理知，在区间(2.25，2.75)内必有根，利用二分法得f(2.5)<0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)内，选C．

6．用二分法可以求得方程x3＋5＝0的近似解(精确度为0.1)为(　D　)

A．－1.5　　 B．－1.8

C．－1.6　　 D．－1.7

[解析]　令f(x)＝x3＋5，易知f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，所以可取[－2，－1]为初始区间，用二分法逐次计算即得方程的近似解为－1，7．

二、填空题

7．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算__7次__．

[解析]　设至少需要计算n次，则n满足<0.001，即2n>100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．

8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称__4__次就可以发现这枚假币．

[解析]　将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在平天两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．

三、解答题

9．求的近似值(精确度0.01)．

[解析]　设x＝，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值．

以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1，2]为计算的初始区间．

用二分法逐步计算，列表如下：

由于区间(1.257 812 5，1.265 625)的长度为1.265 625－1.257 8125＝0.007 812 5<0.01，

所以的近似值可以取1.26．

10．已知函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．

(1)求m的取值范围；

(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．

[解析]　(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)·(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－，∴m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．综上，m≤－．

(2)设x1，x2是函数的两个零点，

则有x1＋x2＝－，x1x2＝，

∵＋＝－4，

即＝－4，

∴－＝－4，

解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，Δ>0符合题意，

∴m＝－3．

  B级　素养提升

1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)

[解析]　只有变号零点才能用二分法求解．故选D.

2．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算得f(0.64)<0，f(0.72)＞0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)

A．0.9  B．0.7

C．0.5  D．0.4

[解析]　因为f(0.72)＞0，f(0.68)<0，|0.72－0.68|＝0.04<0.1，所以零点在区间(0.68,0.72)内，故只有B符合要求．

3．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(0,2)

C．(2,3)  D．(2,4)

[解析]　因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．

4．已知曲线y＝x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．(1,2)

[解析]　设f(x)＝x－x，则f(0)＝1>0，f＝－＝－<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝2－2<0，显然有f(0)f<0，故x0的取值范围为.

5．(多选)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根(精确度为0.05)可以是(　　)

A．1.4125  B．1.375

C．1.42  D．1.3925

[解析]　由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.40625,1.4375)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根(精确度为0.05)可以是1.4125,1.42.故选AC.

6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.

[解析]　因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.

7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________.(精确度为0.01)

[解析]　注意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)<0，且|1.5625－1.5562|＝0.0063<0.01，故方程3x－x－4＝0的一个近似解为1.5625.

8.如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通是由焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．

[解析]第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6.

9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.

(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；

(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．

[解析]　(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，

所以f(0)f(2)<0，由函数的零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．

(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，

由此可得f(1)f(2)<0，下一个有解区间为(1,2)．

再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－<0，

所以f(1)f<0，下一个有解区间为.

再取x3＝＝，得f＝>0，

所以ff<0，下一个有解区间为.

综上所述，得所求的实数解x0在区间内．

10．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.01)．

[解析]　由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，

因此f(x)＝0的正根最多有一个．

因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，

所以方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：

因为|0.2734375－0.28125|＝0.0078125<0.01，所以方程的根的近似值为0.2734375，即f(x)＝0的正根约为0.2734375.

C级　能力拔高

1．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A．[1,4]  B．[－2,1]

C．[－2,2.5]  D．[－0.5,1]

[解析]因为第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]，第三次所取的区间可能是[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中．

2．用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0,1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)

A．5  B．6

C．7  D．8

[解析]　开区间(0,1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01，又n∈N*，所以n≥7，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.

3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2＜a＜3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)(n∈N*)，则n＝________.

[解析]　因为函数f(x)＝logax＋x－b(2<a<3)在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝loga2＋2－b<logaa＋2－b＝3－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>logaa＋3－b＝4－b>0，所以x0∈(2,3)，即n＝2.

4．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．

证明　因为f(1)>0，所以3a＋2b＋c>0，

即3(a＋b＋c)－b－2c>0.

因为a＋b＋c＝0，所以－b－2c>0，

则－b－c>c，即a>c.

因为f(0)>0，所以c>0，则a>0.

在区间[0,1]内选取二等分点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.

因为f(0)>0，f(1)>0，

所以函数f(x)在区间和上各有一个零点，又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．