人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案

这是一份人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案，共12页。

2．3　直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1　直线与平面垂直的判定

Q
一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？
X
1．直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的___垂面__.它们唯一的公共点P叫做__垂足__.
图示

画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

[归纳总结]　(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．
2．判定定理
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条__相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形
语言

符号
语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，__a∩b＝P__⇒l⊥α
作用
判断直线与平面垂直

[归纳总结]　直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．
3．直线和平面所成的角
(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面__垂直__，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的__交点__叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过__垂足__和__斜足__的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的__锐角__，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于__90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于__0°__.因此，直线与平面所成的角的范围是__[0°，90°]__．
Y
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　A　)
A．平行　 B．相交　
C．异面　 D．垂直
[解析]　∵直线l⊥平面α，∴l与α相交
又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　D　)
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
[解析]　如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D．

3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(　D　)
A． B．2
C．3 D．4
[解析]　取BC的中点D，

∵AB＝AC，∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
又PA∩AD＝D，
∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD．
∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，
∴AD＝4，
∴PD＝＝4．
故选D．

H
命题方向1　⇨线面垂直的判定
典例1 如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：

(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF．
[思路分析]　本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB，PA⊥BC，PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．
[解析]　(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．
(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PBC．
(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，
∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，
∴PC⊥平面AEF．

『规律方法』　线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：
①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论．
(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．
〔跟踪练习1〕
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．

(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
[解析]　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC．
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．
命题方向2　⇨直线与平面所成的角
典例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[思路分析]　(1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1，BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[解析]　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝，
∴tan∠A1CA＝．
(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O．
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，∴∠A1BO＝30°．
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°．

『规律方法』　求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
〔跟踪练习2〕
如图，在三棱柱ΑΒC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．

(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．
[解析]　(1)取BC的中点E，连接A1E，DE，AE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，
因为AB＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC，
由D，E分别是B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A，
所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE，
又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．

(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE．
所以BC⊥A1F，A1F⊥平面BB1C1C．
所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝．
由∠A1EA＝∠A1EB＝90°，得A1A＝A1B＝4，A1E＝．
由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝，
∠DA1E＝90°，得A1F＝．
所以sin∠A1BF＝．
Y 　逻辑推理不严密致误
典例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD．求证：CD⊥平面ABB1A1.

[错解]　∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1．
又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，
又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，
∴CD⊥平面ABB1A1．
[错因分析]　错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．
[正解]　∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴CD⊥AA1．
又AC＝BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB．
∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，
∴CD⊥平面ABB1A1．
[警示]　用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.
〔跟踪练习3〕
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A2C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1．

[错解]　在三棱柱中，∵AA1⊥平面ABC，∠B1A1C1＝90°，
∴AD⊥A1C1；
又从图可知AD⊥平面BCC1B1，
∴AD⊥C1D，
∴AD⊥平面A1DC1．
[辨析]　前半部分，虽然由罗列条件能够推证出AD⊥A1C1，但推理过程不严密；后半部分AD⊥平面BCC1B1纯属臆想，无任何推理依据．
[分析]　先推证C1A1⊥平面ABB1A1得出AD⊥C1A1；再在矩形ABB1A1中，通过计算证明AD⊥A1D．
[证明]　∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1．
∴A1C1⊥AA1．
又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1．
而A1B1∩AA1＝A，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，
∴A1C1⊥AD．
由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2．
∴AD2＋A1D2＝AA，
∴A1D⊥AD．
∵A1C1∩A1D＝A1，
∴AD⊥平面A1DC1．
X 　
1．线线垂直和线面垂直的相互转化

典例4 如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点.

(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
[解析]　(1)证明：直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．又BC∩BB1＝B，
∴AD⊥平面BCC1B1．

(2)解：连接C1D．由(1)AD⊥平面BCC1B1，
则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．
在Rt△AC1D中，AD＝，AC1＝，sin∠AC1D＝＝，
即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为．
〔跟踪练习4〕
如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE．

[证明]　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE．
又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC．
∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF．
∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE．
又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．
2．关于垂直的存在型探索性问题
典例5 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？为什么？

[思路分析]　关键是将PQ⊥QD转化为DQ⊥AQ，再使DQ⊥AP即可，但AD＝BC＝a是变化的，故需对a进行讨论．
[解析]　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD．
若边BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，
则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥PQ．
在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使AQ⊥DQ．
∴当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD．
[点评]　本题运用平面几何知识，借助以AD为直径的圆与BC交点的个数推断点Q是否存在．
K
1．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
则能保证该直线与平面垂直(　A　)
A．①③　　 B．①②　　
C．②④　　 D．①④
[解析]　三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③．
2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为(　D　)

A． B．
C． D．
[解析]　∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，
∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，
∴sin∠AC1A1＝＝．
3．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有__4__.

[解析]　∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC．
∴△PAB，△PAC为直角三角形．
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC．∴BC⊥AC，BC⊥PC．
∴△ABC，△PBC为直角三角形．
4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：EF⊥平面PCD．

[解析]　如图，取PD的中点H，连接AH，HF．

∴FH∥CD，且FH＝CD，
∴FH∥AE，且FH＝AE，∴四边形AEFH是平行四边形，∴AH∥EF．
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD．
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD．
又∵AH⊂平面PAD，∴CD⊥AH．
又∵PA＝AD，∴AH⊥PD，PD∩CD＝D
∴AH⊥平面PCD，
又∵AH∥EF，∴EF⊥平面PCD．