高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案设计

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2.3.4　平面与平面垂直的性质

Q
教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画一条直线方能与地面垂直？
X
平面与平面垂直的性质定理
文字
语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面__垂直__
符号
语言
⇒a⊥β
图形
语言

作用
证明直线与平面垂直

Y
1．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是(　C　)
①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任何一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α．
A．4　　　 B．3　　　
C．2　　　 D．1
[解析]　
序号
正误
理由
①
√
设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线
②
√
β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线
③
×
α内不与交线垂直的直线不垂直于β
④
×
垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直

2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　D　)

A．平行
B．EF⊂平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．相交且垂直
[解析]　∵平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1．
3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　C　)
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
[解析]　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD．∴BD⊥AC．∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C．又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C．

4．已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC．
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC．

[解析]　如图所示：
(1)取AC的中点D，连接PD，BD，
∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴PD⊥平面ABC，D为垂足．
∵PA＝PB＝PC，
∴DA＝DB＝DC，
∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC．
(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP．
∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，
∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面AFC．

H
命题方向1　⇨面面垂直性质的应用
典例1 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD．

[思路分析]　解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直．
[解析]　连接PG，BD，∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，
∵G是AD的中点，
∴BG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD．

『规律方法』　1.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的定理将其转化为线面垂直、线线垂直．在应用面面垂直的性质定理时，注意三点：①两个平面垂直，是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
2．先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．
〔跟踪练习1〕
已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
[解析]　如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，

∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，
又AC⊂平面PAC，
∴BC⊥AC．
命题方向2　⇨与面面垂直有关的计算
典例2 如右图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长.

[思路分析]　要求CD的长，由BD⊥l，α⊥β易知△BCD为直角三角形，已知BD的长，只要知道BC的长即可．由AC⊥l知△ABC为直角三角形，从而可解．
[解析]　∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，
∴BC＝5 cm．
∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD⊂β，
∴BD⊥α．
又BC⊂α，
∴BD⊥BC．
在Rt△BDC中，DC＝＝13 cm．

『规律方法』　1.与面面垂直有关的计算问题的类型：
(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．
(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等．
(3)求几何体的体积或平面图形的面积．
2．计算问题的解决方法：
(1)上述计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．
(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．
〔跟踪练习2〕
如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，且AB＝12，求A′B′的长．

[解析]　连接A′B，AB′．
在△AA′B中，∠AA′B＝90°，∠ABA′＝30°，AB＝12，
所以A′B＝6．
在△ABB′中，∠BB′A＝90°，∠BAB′＝45°，AB＝12，
所以BB′＝6，
在△A′B′B中，∠A′B′B＝90°，A′B＝6，BB′＝6，
所以A′B′＝6．
Y 　考虑问题不全面，导致证明过程不严谨
典例3

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，则平EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由.
[错解]　平面EBD不能垂直于平面ABCD．理由如下：
假设平面EBD垂直于平面ABCD，
过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO．
∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，
平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA．
又∵E是PC的中点，
∴O是AC的中点．
又∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO．
又∵AO＝OC，∴AB＝CD，
这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．
故平面EBD不能垂直于平面ABCD．
[错因分析]　错误的原因是默认了A，O，C三点共线，而A，O，C三点若不共线，则△ABO∽△CDO不成立．事实上，很容易证A，O，C三点共线，由于A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，故P，E，C三点的投影均在直线AC上，故A，O，C三点共线，补上这一点证明就完整了．
[正解]　平面EBD不能垂直于平面ABCD．理由如下：
假设平面EBD垂直于平面ABCD，
过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO．
∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，
∴EO⊥平面ABCD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA．
∵A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，
∴P，E，C三点的投影均在直线AC上，
∴A，O，C三点共线．
又∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．
又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO．
又∵AO＝OC，∴AB＝CD，
这与CD＝2AB矛盾，
∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD．
X 　
1．转化思想在线线、线面、面面垂直关系中的应用
线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想，其转化关系如下：

典例4 已知：α，β，γ是三个不同的平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.

[解析]　证法一：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，∵α⊥γ，β⊥γ，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，
∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，
∴l⊥γ．

证法二：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，
∴m∥n，又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l，∴l⊥γ．

『规律方法』　(1)证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．
通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
又在原题条件下，添加条件b∥α，b∥β，求证b⊥γ.在l上任取一点B，过b和B的平面交α于过B的直线a′，交β于过B的直线a″
∵b∥α，∴a′∥b，同理b∥a″
∵a′和a″同时过B且平行于b．
∴a′和a″重合于直线l，由l⊥γ可得b⊥γ．
(2)在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性．
〔跟踪练习3〕
如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2．
　　　　
图1　　　　　　　　　　图2
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
[思路分析]　(1)先转化为BE⊥平面A1OC，再根据线线平行的性质证得；(2)根据四棱锥的体积公式，列出关于a的方程求解即可．
[解析]　在题图1中，
因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，
∠BAD＝，所以BE⊥AC．
又在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC．
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．
　　　　
图1　　　　　　　　　　图2
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)知A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．
由题图1可知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥A1­BCDE的体积为
V＝S·A1O＝×a2×a＝a3，
由a3＝36，得a＝6．
2．点的射影问题
(1)若直线PA⊥平面α，垂足为A，则点A叫做点P在平面α内的射影．
(2)若PA⊥平面α，PB是平面α的斜线，B为斜足，则AB是斜线PB在平面α内的射影．
(3)若α，β两平面垂直，α∩β＝l，A是平面α内一点，则A在平面β内的射影落在直线l上．
(4)特殊几何图形的点的射影问题：
①正棱柱上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心．
②正棱锥顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
③正棱台上底面中心在下底面的射影是下底面的中心．
④圆锥顶点在底面射影是底面圆心．
⑤圆台上底面圆心在下底面射影是下底面圆心．
⑥球心在球的任意截面上的射影是截面圆心．
典例5 如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　A　)

A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
[解析]　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，
又∵AC⊂平面ABC，
∴平面ABC1⊥平面ABC，
∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A．
〔跟踪练习4〕
如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是(　C　)

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
A．①　　　　　　　　　 B．①②
C．①②③ D．②③
[解析]　注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．
①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，
∴BC∥平面A′DE．
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．
K
1．设两个平面互相垂直，则(　C　)
A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面
B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上
C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
[解析]　由面面垂直的性质可知，选C．
2．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(　B　)

A．PD⊂平面ABC B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC
[解析]　∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．
又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC．
3．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点.

求证：(1)EF⊥CD；
(2)平面SCD⊥平面SCE．
[解析]　(1)连接AC，AF，BF．

∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AC，
∴△SAC为直角三角形．
又∵F为SC的中点，
∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线，∴AF＝SC．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴CB⊥AB．
而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA，
∴CB⊥平面SAB，∴CB⊥SB，
∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线，
∴BF＝SC，∴AF＝BF．
∴△AFB为等腰三角形．
∵E为AB的中点，∴EF⊥AB．
又CD∥AB，∴EF⊥CD．
(2)在Rt△SAE和Rt△CBE中，
∵SA＝CB，AE＝BE，
∴Rt△SAE≌△Rt△CBE，
∴SE＝EC，即△SEC为等腰三角形．
∵F为SC的中点，∴EF⊥SC．
又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，
∴EF⊥平面SCD．
又∵EF⊂平面SCE，
∴平面SCD⊥平面SCE．