高中数学5.1 任意角和弧度制教学演示ppt课件

这是一份高中数学5.1 任意角和弧度制教学演示ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了情景引入，新知导学，1象限角，2轴线角，命题方向1⇨任意角，『规律总结』，〔跟踪练习2〕，〔跟踪练习3〕，集合概念理解错误等内容，欢迎下载使用。

在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？
1．任意角的概念(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着__端点__从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图所示：①始边：射线的起始位置OA．②终边：射线的终止位置OB．③顶点：射线的端点O．④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
(3)正角、负角、零角这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角．
[知识点拨](1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．
2．象限角使角的顶点与____重合，角的始边与____轴的非负半轴重合．那么，角的____，就说这个角是第几____，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与____重合．如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．[知识点拨]要正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}所表示的角．这四个概念不能混淆．
3．终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝__α＋k·360°__，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[知识点拨]理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．
[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
典例1　写出图(1),(2)中的角α,β,γ的度数．
[思路分析]　1．弄清角的始边与终边．2．弄清逆时针还是顺时针．[解析]　图(1)中，α＝360°－30°＝330°；图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°．
〔跟踪练习1〕如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝____．
命题方向2　⇨终边相同的角
典例2　已知角α＝2 016°．(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°．
[解析]　(1)由2016°除以360°，得商为5，余数为216°．∴取k＝5，β＝216°，α＝5×360°＋216°．又β＝216°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与2016°终边相同的角为k·360°＋2016°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2016°<720°(k∈Z)．解得－6 ≤k<－3 (k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4．将k的值代入k·360°＋2016°中，得角θ的值为－144°，216°，576°．
1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
若将例题中“角α＝2 016°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？
命题方向3　⇨终边在某条直线上的角的集合
典例3　写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
[思路分析]　首先确定0°～360°范围内终边在所给直线上的两个角，然后分别写出与两个角终边相同的角的集合，最后写出两个集合的并集即可.
求解终边在某条直线上的角的集合的思路1．若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在第几象限(　　)A．第一或第三　　　　B．第二或第三C．第二或第四 D．第三或第四
命题方向4　⇨区域角的表示
典例4　若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为　　 ．
[解析]　在0°～360°范围内，终边落在阴影范围内的角是60°≤α≤150°，故满足条件的角的集合为{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α分角、倍角所在角限的判断思路
[思路分析]　解决这类问题有两种方法：分类讨论或几何法．
[解析]　∵α是第一象限角，∴k·360°<α(2)2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的非负半轴．
综上可知： 是第一、二或第三象限角．方法二：(几何法)如右图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为 终边所落在的区域，故 为第一、二或第三象限角．
典例6　已知集合A＝{α|α＝k·180°±45°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°＋45°，k∈Z}，则A与B的关系正确的是(　　　)A．A包含于B　　　　　B．B包含于A　　　C．A＝B　　　　　 D．A包含B，且B包含A
(1)可直接用列举法A＝{……－225°，－135°，－45°，45°，135°，225°，……}，B＝{……－135°，－45°，45°，135°，225°，……}，∴A＝B．(2)可从分析两集合中相等的角入手解决．由k·180°±45°＝n·90°＋45°得，n＝2k或n＝2k－1，∵k∈Z，n∈Z，∴A＝B．