2021学年5.4 三角函数的图象与性质第2课时习题

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

第2课时

A级　基础巩固

一、选择题

1．函数y＝2sinx(0≤x≤)的值域是(　C　)

A．[－2，2]  B．[－1，1]

C．[0，1]  D．[0，2]

2．下列关系式中正确的是(　C　)

A．sin11°<cos10°<sin168° B．sin168°<sin11°<cos10°

C．sin11°<sin168°<cos10° D．sin168°<cos10°<sin11°

[解析]　cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°．

sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°．

3．y＝2sinx2的值域是(　A　)

A．[－2，2]  B．[0，2]

C．[－2，0]  D．R

[解析]　∵x2≥0，∴sinx2∈[－1，1]，

∴y＝2sinx2∈[－2，2]．

4．函数y＝是(　A　)

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

[解析]　定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，则f(x)是奇函数．

5．设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是(　D　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在(，π)单调递减

[解析]　A项，因为f(x)＝cos(x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A正确．

B项，因为f(x)＝cos(x＋)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．

C项，f(x＋π)＝cos(x＋)．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．

D项，因为f(x)＝cos(x＋)的递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，所以(，)是减区间，[，π)是增区间，D项错误．

6．函数y＝lncosx(－<x<)的图象是(　A　)

[解析]　当x∈(－，)时，cosx∈(0，1]，

∴lncosx≤0，

由此可排除B，C，D，故选A．

二、填空题

7．函数y＝sin(x－)，x∈[0，π]的值域为　[－，1]　．

8．函数＝cos(2x－)的单调增区间是　[kπ＋π，kπ＋π]，(k∈Z)　．

[解析]　令t＝2x－，

∴2kπ＋π≤t≤2kπ＋2π时，y＝cos t单调递增．

即：2kπ＋π≤2x－≤2kπ＋2π，k∈Z．

∴单调递增区间为：[kπ＋π，kπ＋π]，k∈Z．

三、解答题

9．求下列函数的单调区间．

(1)y＝cos2x；

(2)y＝2sin．

[解析]　(1)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定

2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)  ①

2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)  ②

解①得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，

解②得，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．

故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z)．

(2)y＝2sin化为

y＝－2sin．

∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为

(k∈Z)，

(k∈Z)．

∴函数y＝－2sin的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定

2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)  ①

2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)  ②

解①得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

解②得，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z)．

10．求函数y＝sin2x＋sinx－1的值域．

[解析]　令t＝sinx，则t∈[－1，1]，

∴y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，(t∈[－1，1])，

∴当t＝－即sinx＝－，x＝2kπ－或2kπ－π(k∈Z)时，ymin＝－．

当t＝1，即sinx＝1，x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1．

∴原函数的值域为[－，1]．

B级　素养提升

一、选择题

1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是(　A　)

A．y＝sin(2x＋)  B．y＝cos(2x＋)

C．y＝sin(x＋)  D．y＝cos(x＋)

[解析]　C，D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C，D；B项中y＝cos(2x＋)＝－sin2x，该函数在[，]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋)＝cos2x，该函数符合题意，选A．

2．函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为(　B　)

A．－1  B．－

C．  D．0

[解析]　由x∈[0，]得2x－∈[－，]，所以sin(2x－)∈[－，1]，故函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为－．

3．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　D　)

A．f(x)是偶函数  B．f(x)是增函数

C．f(x)是周期函数  D．f(x)的值域为[－1，＋∞]

[解析]　因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1；x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确．

4．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　C　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　∵f(x)是偶函数，

∴f(0)＝sin＝±1，

∴＝kπ＋，

∴φ＝3kπ＋，(k∈Z)，

又φ∈[0，2π]，∴φ＝π．

二、填空题

5．y＝的定义域为　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)　，单调递增区间为　[2kπ，2kπ＋]，k∈Z　．

[解析]　∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在[0，]上单调递增．

∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋]，k∈Z．

6．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是　[－，3]　．

[解析]　∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，

∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，

∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)，

∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，

∴－≤sin(2x－)≤1，∴－≤3sin(2x－)≤3，

即f(x)的取值范围是[－，3]．

二、解答题

7．已知函数y＝sin(－2x)．

(1)求函数的周期；

(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．

[解析]　y＝sin(－2x)可化为y＝－sin(2x－)．

(1)周期T＝＝＝π．

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以x∈R时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z．

从而x∈[－π，0]时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[－π，－]，[－，0]．

8．已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域为[0，]，值域是[－5，1]，求a，b的值．

[解析]　∵0≤x≤，∴≤2x＋≤．

∴－≤sin(2x＋)≤1．

∴a>0时，解得

a<0时，解得

综上，a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1．

C级　能力拔高

已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a．

当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围．

[解析]　－1≤sinx≤1，令t＝sinx，则－1≤t≤1．

f(x)＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1，1]内有实数解．

令g(t)＝t2－t－a＝(t－)2－a－，t∈[－1，1]．

如图，方程t2－t－a＝0在[－1，1]内有实数解等价于函数g(t)的图象与坐标系的横轴在[－1，1]上有交点，故只需满足解得－≤a≤2．

∴所求a的取值范围是[－，2]．