人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制第1课时课时练习

5．5．1．2 第1课时　两角和与差的正弦、余弦

A级　基础巩固

一、选择题

1．若△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　由条件可知cosA＝，sinA＝，sinB＝，cosB＝，∴sin(A－B)＝sinA·cosB－cosA·sinB＝×－×＝．

2．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于(　B　)

A．  B．

C．－  D．－

[解析]　cos(α＋)＝(cosα·－sinα·)＝－＝．

3．cos的值等于(　C　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　cos＝－cos＝－cos

＝－

＝－＝．

4．cos－sin的值是(　B　)

A．0  B．

C．－  D．2

[解析]　cos－sin＝2(cos－sin)＝2(sincos－cossin)＝2sin(－)＝2sin＝．

5．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为(　A　)

A．cosx  B．sinx

C．cos(x＋y)  D．cos(x－y)

[解析]　原式＝cos[(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y) siny＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny＝cosx．

6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝(　C　)

A．－  B．－

C．  D．

[解析]　∵α， β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝．又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝．

二、填空题

7．sin15°＋sin75°的值是　　．

[解析]　sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°cos30°＝．

8．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ＝　－　．

[解析]　由sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，得

sin(－β)＝m，即sinβ＝－m，又β为第三象限角，

cosβ＝－＝－＝－．

三、解答题

9．化简求值：

(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；

(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．

[解析]　(1)原式＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－．

(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1．

10．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值．

[解析]　cosθ＝－，θ∈，

∴sinθ＝－，

∴cos＝cosθ·cos－sinθ·sin

＝－×－×＝－．

B级　素养提升

一、选择题

1．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是(　C　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．等腰非直角三角形

[解析]　由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，

∴sinA≥1而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，

∴△ABC是直角三角形．

2．若α，β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于(　B　)

A．  B．

C．或  D．－

[解析]　∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，

又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，

由sinα＝得，cosα＝，

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B．

3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　A　)

A．0  B．

C．0或  D．0或±

[解析]　由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，

cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，

左右两边分别相加可得cosαcosβ＝0．

4．(　C　)

A．－  B．－

C．  D．

[解析]　

＝

＝

＝＝sin30°＝．

二、填空题

5．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝　－　．

[解析]　由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，

∵450°<β<540°，∴sinβ＝，

∴sin(60°－β)＝×－×＝－．

6．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝　　．

[解析]　由已知，得

解得

所以tanα·tanβ＝＝．

三、解答题

7．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α， β∈(0，)．求：

(1)cos(2α－β)的值；

(2)β的值．

[解析]　(1)因为α， β∈(0，)，

所以α－β∈(－，)，又sin(α－β)＝>0，

∴0<α－β<，

所以sinα＝＝，

cos(α－β)＝，

cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]

＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)

＝×－×＝．

(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝×＋×＝，

又因为β∈(0，)，所以β＝．

C级　能力拔高

已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈．求cos2α，cos2β及角β的值．

[思路分析]　讨论角的范围时，α－β一般看作α＋(－β)，先求出－β的范围，再求α＋(－β)的范围．

[解析]　由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝．

由α＋β∈，且cos(α＋β)＝．

得sin(α＋β)＝－．

∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)

＝－×－×＝－．

cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝－×＋×＝－1．

又∵α＋β∈，

α－β∈⇒β－α∈(－π，－)

⇒2β∈．

∴2β＝π，则β＝．