人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时精练

5．5．1．2 第2课时　两角和与差的正切

A级　基础巩固

一、选择题

1．＝(　A　)

A．  B．

C．1  D．－

[解析]　原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝．

2．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α＋)＝(　A　)

A．  B．7

C．－  D．－7

[解析]　∵α∈(，π)，∴sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝＝－，∴tan(α＋)＝＝，故选A．

3．tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan2α＝(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝．

4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于(　C　)

A．2  B．1

C．  D．4

[解析]　∵tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，

∴＝4⇒tanαtanβ＝．

5．在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是(　B　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．形状不能确定

[解析]　∵0<tanBtanC<1，∴B，C均为锐角，

∴<1，∴cos(B＋C)>0，∴cosA<0，∴A为钝角．

6．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　B　)

A．  B．－

C．或－  D．－或

[解析]　由韦达定理得

tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0，

∴tan(α＋β)＝＝＝，

又－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0，

∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－．

二、填空题

7．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为　　．

[解析]　tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]

＝＝＝．

8．tan70°＋tan50°－tan50°tan70°＝　－　．

[解析]　∵tan70°＋tan50°

＝tan120°(1－tan50°·tan70°)

＝－＋tan50°·tan70°

∴原式＝－＋tan50°·tan70°－tan50°·tan70°＝－．

三、解答题

9．已知sinα＝－且α是第三象限角，求tan(α－)的值．

[解析]　∵sinα＝－且α是第三象限角，

∴cosα＝－＝－．

∴tanα＝＝3．

∴tan(α－)＝＝＝．

10．设tanα＝，tanβ＝，且α，β都是锐角，求α＋β的值．

[解析]　tan(α＋β)＝＝＝1．

又∵α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝．

B级　素养提升

一、选择题

1．已知α∈(－，)，tan(α－)＝－3，则sinα＝(　A　)

A．  B．－

C．  D．±

[解析]　tanα＝tan[(α－)＋]

＝＝－，∵α∈(，)，

∴α∈(，π)，∴sinα＝＝，故选A．

2．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是(　B　)

A．－  B．

C．  D．－

[解析]　由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，

可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，

∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，则C＝，cosC＝．

3．已知α＋β＝，且α、β满足(tanαtanβ＋2)＋2tanα＋3tanβ＝0，则tanα等于(　D　)

A．－  B．

C．－  D．3

[解析]　∵(tanαtanβ＋2)＋2tanα＋3tanβ＝0，

∴tanαtanβ＋3(tanα＋tanβ)＝tanα－2，①

∵tan(α＋β)＝＝，

∴3(tanα＋tanβ)＝(1－tanαtanβ)，②

将②代入①得＝tanα－2，∴tanα＝＋2＝3．

4．在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是(　B　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

[解析]　因为△ABC中，A＋B＋C＝π，

所以tanB＝

＝＝，

即＝，

∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，

∵0<A<π，∴A＝，

∴这个三角形为直角三角形，故选B．

二、填空题

5．已知tan＝，tan＝－，则tan＝　　．

[解析]　tan＝tan

＝＝．

6．已知△ABC中，tanAtanB－tanA－tanB＝．则C的大小为　　．

[解析]　依题意：＝－，

即tan(A＋B)＝－，又0<A＋B<π，

∴A＋B＝，∴C＝π－A－B＝．

三、解答题

7．已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2，求：

(1)tan(α＋β－)；

(2)tan(α＋β)．

[解析]　(1)tan(α＋β－)＝tan[(α＋)＋(β－)]

＝＝＝－．

(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－)＋]

＝＝＝2－3．

C级　能力拔高

已知tanα，tanβ是方程x2＋x－6＝0的两个根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)·cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．

[解析]　∵tanα，tanβ是方程x2＋x－6＝0的两个根，

∴tanα＋tanβ＝－1，tanαtanβ＝－6，

∴tan(α＋β)＝＝－．

sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)

＝

＝[tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3]＝×＝－．