高中第五章 三角函数5.5 三角恒等变换课堂检测

5．5．1．3二倍角的正弦、余弦、正切公式

A级　基础巩固

一、选择题

1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是(　B　)

A．f(x)在(，)上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称

C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2

[解析]　因为f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，所以f(x)是奇函数，因而f(x)的图象关于原点对称，故选B．

2．－sin215°的值是(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　原式＝－＝＝．

3．＋2的化简结果是(　A　)

A．2cos4－4sin4  B．2sin4

C．2sin4－4cos4  D．－2sin4

[解析]　原式＝＋2

＝·＋2

＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4．

4．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(　A　)

A．－  B．－

C．  D．

[解析]　sin4α－cos4α＝－(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝－．

5．若α∈，则＋的值为(　D　)

A．2cos  B．－2cos

C．2sin  D．－2sin

[解析]　∵α∈，∴∈，

∴原式＝＋

＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin．

6．已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝(　A　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　本题考查半角公式及诱导公式．

由倍角公式可得，cos2(α＋)＝＝＝＝，故选A．

二、填空题

7．若tanθ＝，则cos2θ＝　　．

[解析]　cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝

＝＝＝．

8．＝　　．

[解析]　原式＝×＝tan(2×)

＝tan＝．

三、解答题

9．求值：sin50°(1＋tan10°)．

[解析]　原式＝sin50°(1＋)

＝sin50°·

＝sin50°·

＝sin50°·

＝sin50°·＝

＝＝＝1．

10．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－．

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

[解析]　(1)解：因为tan α＝，tan α＝，

所以sin α＝cos α．

因为sin2α＋cos2α＝1，

所以cos2α＝，

因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－．

(2)解：因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝，

因此tan(α＋β)＝－2．

因为tan α＝，

所以tan 2α＝＝－．

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝－．

B级　素养提升

一、选择题

1．若＝－，则cosα＋sinα的值为(　C　)

A．－  B．－

C．  D．

[解析]　

＝

＝－(cosα＋sinα)＝－．

∴sinα＋cosα＝．

2．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为(　B　)

A．  B．

C．  D．－1

[解析]　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ

＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝．

3．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　C　)

A．  B．

C．－  D．－

[解析]　本题考查三角函数同角间的基本关系．

将sinα＋2cosα＝两边平方可得

sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝．

将左边分子分母同除以cos2α得，

＝，解得tanα＝3，

∴tan2α＝＝＝－．

4．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝(　B　)

A．－  B．－

C．  D．

[解析]　cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1＝2cos2[－(－α)]－1＝2sin2(－α)－1＝－1＝－．

二、填空题

5．若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于　　．

[解析]　由sin2α＋cos2α＝得sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝．∵α∈(0，)，∴cosα＝，

∴α＝，∴tanα＝tan＝．

6．已知α为第三象限角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝　－　．

[解析]　由题意sin2α＝，∴tan2α＝－．

∴tan(＋2α)＝＝＝－．

三、解答题

7．已知tanα＝2．

(1)求tan(α＋)的值；

(2)求的值．

[解析]　(1)tan(α＋)＝＝＝－3．

(2)

＝

＝

＝＝

＝1．

C级　能力拔高

已知sin(－x)＝，x∈(0，)，求的值．

[解析]　∵x∈(0，)，

∴－x∈(0，)，

又∵sin(－x)＝．∴cos(－x)＝，

又cos2x＝sin(－2x)＝2sin(－x)cos(－x)

＝2××＝．

cos(＋x)＝sin[－(＋x)]＝sin(－x)＝，

∴原式＝＝．