2021学年第五章 三角函数本章综合与测试同步训练题

第五章学业质量标准检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．给出下列四种说法，其中正确的有(　D　)

①－75°是第四象限角　②225°是第三角限角　③475°是第二象限角　④－315°是第一象限角

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

2．设α是第三象限角，且|cos|＝－cos，则的终边所在的象限是(　B　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

[解析]　因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，

所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，

所以的终边在第二象限或第四象限．

又|cos|＝－cos，所以cos<0，

所以的终边所在的象限是第二象限．

3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是(　C　)

A．2  B．sin2

C．  D．2sin1

[解析]　由题设，圆弧的半径r＝，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝．

4．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝(　D　)

A．  B．

C．－  D．－

[解析]　x<0，r＝，∴cosα＝＝x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴tanα＝－．

5．如果＝－5，那么tanα的值为(　D　)

A．－2  B．2

C．  D．－

[解析]　∵sinα－2cosα＝－5(3sinα＋5cosα)，

∴16sinα＝－23cosα，∴tanα＝－．

6．设α为第二象限角，则·＝(　D　)

A．1  B．tan2α

C．－tan2α  D．－1

[解析]　·＝·＝·||，

又∵α为第二象限角，∴cosα<0，sinα>0．

∴原式＝·||＝·＝－1．

7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是(　D　)

[解析]　本题用排除法，对于D选项，由振幅|a|>1，而周期T＝应小于2π，与图中T>2π矛盾．

8．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则＝(　B　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2．

则sinα＝－，

原式＝＝－＝．

9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　A　)

A．f(2)<f(－2)<f(0)  B．f(0)<f(2)<f(－2)

C．f(－2)<f(0)<f(2)  D．f(2)<f(0)<f(－2)

[解析]　∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且x＝是经过函数f(x)最小值点的一条对称轴，∴x＝－＝是经过函数f(x)最大值点的一条对称轴．

∵|2－|＝，|(π－2)－|＝，|0－|＝，∴|2－|>|(π－2)－|>|0－|，且－<2<，－<π－2<，－<0<，∴f(2)<f(π－2)<f(0)，即f(2)<f(－2)<f(0)．

10．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin(2x＋)，则下面结论正确的是(　D　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

[解析]　因为y＝sin(2x＋)＝cos(2x＋－)＝cos(2x＋)，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋)．

11．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　A　)

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

[解析]　函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为．由此可判断选项A正确．

故选A．

12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b，下表是某日各时的浪高数据：

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　B　)

A．y＝cost＋1  B．y＝cost＋

C．y＝2cost＋  D．y＝cos6πt＋

[解析]　∵T＝12－0＝12，∴ω＝＝＝．

又最大值为2，最小值为1，

则解得A＝，b＝，

∴y＝cost＋．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　　．

[解析]　∵ f(x)≤f对任意的实数x都成立，∴ 当x＝时，f(x)取得最大值，即f＝cos＝1，∴ ω－＝2kπ，k∈Z，

∴ ω＝8k＋，k∈Z．

∵ ω>0，∴ 当k＝0时，ω取得最小值．

14．已知sinθcosθ＝，且<θ<，则cosθ－sinθ的值为　－　．

[解析]　因为<θ<，所以cosθ－sinθ<0，所以cosθ－sinθ＝－＝－＝－＝－．

15．设a为常数，且a>1，0≤x≤2π，则函数f(x)＝cos2x＋2asinx－1的最大值为__2a－1__．

[解析]　f(x)＝cos2x＋2asinx－1＝1－sin2x＋2asinx－1＝－(sinx－a)2＋a2，

∵0≤x≤2π，∴－1≤sinx≤1，

又a>1，∴当sinx＝1时，f(x)max＝－1(1－a)2＋a2＝2a－1．

16．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(w>0，φ∈[0，2π))的部分图象如图所示，则f(2018)＝　　．

[解析]　由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝．

由点(1，1)在函数图象上，可得f(1)＝sin(＋φ)＝1，故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π)，所以φ＝．故f(x)＝sin(x＋)，所以f(2 018)＝sin(＋)＝sin(504π＋π)＝sinπ＝．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值；

(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值；

(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3：4，求2sinα＋cosα的值．

[解析]　(1)∵r＝＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴2sinα＋cosα＝－＋＝－．

(2)∵r＝＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sinα＝＝－，cosα＝，∴2sinα＋cosα＝－；

当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝＝，cosα＝－，

∴2sinα＋cosα＝．

(3)当点P在第一象限时，sinα＝，cosα＝，2sinα＋cosα＝2；

当点P在第二象限时，sinα＝，cosα＝－，2sinα＋cosα＝；

当点P在第三象限时，sinα＝－，cosα＝－，2sinα＋cosα＝－2；

当点P在第四象限时，sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝－．

18．(本题满分12分)已知f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(a为常数)．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；

(3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合．

[解析]　(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

(2)当x∈[0，]时，2x＋∈[，π]，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值a＋3＝4，所以a＝1．

(3)当sin(2x＋)＝1时f(x)取得最大值，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．

(1)求ω和φ的值；

(2)若f()＝(<α<)，求cos(α－)的值．

[解析]　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2．

又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z．由－≤φ<得φ＝－．

(2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝，

所以sin(α－)＝．由<α<得0<α－<，

所以cos(α－)＝＝＝．

20．(本题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

[解析]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：

且函数表达式为f(x)＝5sin(2x－)．

(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]＝5sin(2x＋)

因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．

令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z．

即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为(－，0)．

21．(本题满分12分)如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h．

(1)求h与θ间关系的函数解析式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．

[解析]　

(1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．

当θ>时，∠BOM＝θ－．

h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin(θ－)；

当0≤θ≤时，上述解析式也适合．

(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是，

∴t秒转过的弧度数为t，

∴h＝4.8sin(t－)＋5.6，t∈[0，＋∞)．

22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：

(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；

(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－(－)＝2π，

由T＝，得ω＝1，又，

解得，令ω·＋φ＝，即＋φ＝，

解得φ＝－，∴f(x)＝2sin(x－)＋1．

(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－)＋1的周期为，又k>0，∴k＝3，令t＝3x－，

∵x∈[0，]，∴t∈[－，]，

如图，sint＝s在[－，]上有两个不同的解，则s∈[，1]，

∴方程 f(kx)＝m在x∈[0，]时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1，3]，即实数m的取值范围是[＋1，3]．