人教版新课标A必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程教案

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3.2.3　直线方程的一般式

Q
前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x，y这两个变量，并且x，y的次数都是一次的，即它们都是关于x，y的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？
X
1．直线的一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程__Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义：
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．
[归纳总结]　AB>0时，k<0，倾斜角α为钝角；AB<0时，k>0，倾斜角α为锐角；A＝0时，k＝0，倾斜角α＝0°；B＝0时，k不存在，倾斜角α＝90°．
2．直线方程的一般式与其他形式的互化
一般式化斜截式的步骤：
①移项：By＝－Ax－C；
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－．
一般式化截距式的步骤：
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
③再化为截距式：＋＝1．
Y
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　D　)
A．A≠0　　　　　　　 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
[解析]　A，B不能同时为0，则A2＋B2≠0．
2．直线2x＋y＋4＝0的斜率k＝(　B　)
A．2　　　 B．－2　　
C．　　 D．－
[解析]　A＝2，B＝1，则k＝－＝－2．
3．直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点(　C　)
A．(0，0) B．(0，1)
C．(3，1) D．(2，1)
[解析]　直线方程可化为y－1＝k(x－3)，
∴无论k为何值时，都过定点(3，1)．
4．若直线l1：x＋ay－2＝0与直线l2：2ax＋(a－1)y＋3＝0垂直，则a的值为__－1或0__.
[解析]　由题意，得2a＋a(a－1)＝0，
解得a＝－1或0．

H
命题方向1　⇨直线的一般式方程
典例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
(1)斜率是，且经过点A(5，3)；
(2)过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1．
[思路分析]　根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程．
[解析]　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，整理得x－y＋3－5＝0．
(2)x＝－3，即x＋3＝0．
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0．
(4)y＝3，即y－3＝0．
(5)由两点式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0．
(6)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0.
〔跟踪练习1〕
已知直线l经过点A(－5，6)和点B(－4，8)，求直线的一般式方程和截距式方程．
[解析]　直线过A(－5，6)，B(－4，8)两点，
由两点式得＝，
整理得2x－y＋16＝0，
∴2x－y＝－16，两边同除以－16得，＋＝1．
故所求直线的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式方程为＋＝1.
命题方向2　⇨直线的一般式方程的应用
典例2 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等．
则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即3x＋y＝0；
若a≠2，由题设l在两轴上的截距相等，∴＝a－2，
即a＋1＝1，∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0．
∴l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴欲使l不经过第二象限，当且仅当或，∴a≤－1．
综上可知a的取值范围是a≤－1．

『规律方法』　(1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l不经过某象限不要漏掉过原点的情况．
(2)由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x＝0得纵截距；令y＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．
〔跟踪练习2〕
设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0．
[解析]　(1)∵直线l的斜率存在，∴直线l的方程可化为y＝－x＋2.由题意得－＝－1，解得k＝5．
(2)直线l的方程可化为＋＝1．
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1．
命题方向3　⇨平行与垂直的应用
典例3 求过点A(2，2)且分别满足下列条件的直线方程：
(1)与直线l：3x＋4y－20＝0平行；
(2)与直线l：3x＋4y－20＝0垂直．
[解析]　解法一：已知直线l：3x＋4y－20＝0的斜率k＝－．
(1)过A(2，2)与l平行的直线方程为
y－2＝－(x－2)．即3x＋4y－14＝0．
(2)过A与l垂直的直线的斜率k1＝－＝，
方程为y－2＝(x－2)．即4x－3y－2＝0为所求．
解法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0，
由(2，2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0，
∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0．
(2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，
由(2，2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0，
∴λ＝－2.∴所求直线为4x－3y－2＝0．

『规律方法』　1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0．
2．直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0；若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2．
若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，反之若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2或l1与l2重合．　　
3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；
(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2．
〔跟踪练习3〕
(1)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　A　)
A．x－2y－1＝0　　　　 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
(2)直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　A　)
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
[解析]　(1)所求直线与直线x－2y－2＝0平行，故所求直线的斜率k＝，又直线过点(1，0)，利用点斜式得所求直线方程y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0．
(2)由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0．
Y 　忽视特殊情形，转化不等价致错
典例4 已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值.
[错解]　由1×3－m(m－2)＝0，得m＝－1或3．
[错因分析]　因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等，所以上述解法忽略检验截距是否相等．
[正解]　由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3．
当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0．
两直线显然不重合，即l1∥l2．
当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0．
两直线重合．故m的值为－1．
[警示]　(1)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1与l2重合．
所以，由A1B2－A2B＝0求出参数值后，需检验两直线是否重合．
(2)在直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中，A2＋B2≠0；
(3)直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，斜率为k＝－.
〔跟踪练习4〕
直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则m等于(　C　)
A．2或3　　 B．2　　
C．3　　 D．－3
[错解]　直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则＝1，即2m2－5m＋2＝m2－4，m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3.故选A．
[错因分析]　错解忽视了当m＝2时，2m2－5m＋2＝0且－(m2－4)＝0．
[思路分析]　直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中，A与B满足的条件是A与B不能同时为0，即A2＋B2≠0.当A＝B＝0时，方程变为C＝0，不表示任何图形．
[正解]　直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则＝1，即2m2－5m＋2＝m2－4，m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3，当m＝2时，2m2－5m＋2＝0，－(m2－4)＝0，则m＝2不合题意，仅有m＝3，故选C．
X 　
1．点线接合关系
若点P在曲线(直线)C上，则点P的坐标满足曲线(直线)C的方程，反之也成立．
典例5 已知直线ax＋3y＋2a－1＝0过点(－1，1)，则a＝__－2__.
[解析]　由条件得，－a＋3＋2a－1＝0，
∴a＝－2．
〔跟踪练习5〕
已知2a1＋3b1＝1，2a2＋3b2＝1，则过点A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程为__2x＋3y＝1__．
[解析]　由条件知，点A，B的坐标满足方程2x＋3y＝1，又经过A，B两点有且仅有一条直线，∴过A，B的直线方程为2x＋3y＝1．
2．过直线定点
典例6 直线(2λ＋1)x＋(1－λ)y＋λ－4＝0恒过定点__(1，3)__.
[解析]　分离参数得λ(2x－y＋1)＋(x＋y－4)＝0
由得
所以无论λ取何值，直线都过定点(1，3)．
〔跟踪练习6〕
直线(t＋2)x＋(1－t)y＋3－t＝0过定点____．
[解析]　分离参数得：(x－y－1)t＋2x＋y＋3＝0
由得
∴直线过定点．
K
1．直线3x－2y－4＝0的截距式方程为(　D　)
A．－＝1　　　　　 B．－＝1
C．－＝1 D．＋＝1
[解析]　由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即＋＝1，故选D．
2．已知点A(3，a)在直线2x＋y－7＝0上，则a等于(　A　)
A．1　　　 B．－1　　　
C．2　　　 D．－2
[解析]　∵点A(3，a)在直线2x＋y－7＝0上，∴2×3＋a－7＝0，∴a＝1．
3．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　B　)
A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
[解析]　如图

由图可知，直线的斜率k＝－<0，∴ab>0，又直线在y轴上的截距为－>0，∴bc<0，故选B．
4．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝__2__；若l1∥l2，则b＝__－__.
[解析]　由根与系数的关系可知k1＋k2＝，k1·k2＝－，则当l1⊥l2时，k1·k2＝－＝－1，解得b＝2；当l1∥l2时，k1＝k2＝，解得b＝－2k1·k2＝－．