数学必修2第三章 直线与方程综合与测试教案

章末整合提升

专题一　⇨直线的倾斜角与斜率　　

直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．

(1)倾斜角的范围是[0°，180°)．

(2)倾斜角与斜率的对应关系

①α≠90°时，k＝tanα；

②α＝90°时，斜率不存在．

(3)倾斜角与斜率的单调性问题

当直线l的倾斜角α从0°增大到90°时，直线l的斜率从0增大到＋∞；当直线l的倾斜角α从90°增大到180°时，直线l的斜率从－∞增大到0．

(4)斜率公式：经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝(x1≠x2)，应用时注意其适用的条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．

典例1 已知直线l过点P(1，1)且与以A(－1，0)，B(3，－4)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.

[解析]　如图所示，

直线PA的斜率k PA＝＝，

直线PB的斜率k PB＝＝－．

当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[，＋∞)；

当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是(－∞，－]．

∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．

『规律方法』　借助数形结合方法既可以定性地分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法．

专题二　⇨直线方程　　

求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，要注意各种直线方程的适用条件．

典例2 过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.

[解析]　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意．

(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2．

令y＝0，分别得x＝－1，x＝－．

由题意得|－1＋|＝1，即k＝1．

则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0．

综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0．

专题三　⇨两条直线的位置关系

(1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；

l1⊥l2⇔k1k2＝－1；

l1与l2相交⇔k1≠k2．

(2)已知直线的一般式方程：

l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

则：l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1；

l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；

l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1．

(3)注意满足各种条件的直线方程的设法．

典例3 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值.

(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．

[解析]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即a2－a－b＝0.　①

又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.　②

由①②解得a＝2，b＝2．

(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，

∴l1的斜率也存在，＝1－a，b＝，

故l1与l2的方程分别为

l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0．

∵坐标原点到l1，l2的距离相等，

∴4||＝||，a＝2或a＝．

因此，或．

专题四　⇨点、直线间的距离　　

(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．

(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝．

(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离为d＝．

(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式．

求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中x，y的对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可转化成点到直线的距离求解．

典例4 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：

①P是第一象限的点；

②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；

③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能，求出P点坐标；若不能，说明理由．

[解析]　(1)l2即2x－y－＝0，

∴l1与l2的距离d＝＝，

∴＝，∴|a＋|＝，

∵a>0，∴a＝3．

(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，

则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，

且＝·，即C＝或C＝，

∴2x0－y0＋＝0，或2x0－y0＋＝0；

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有＝·，

即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，

∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；

由于P在第一象限，

∴3x0＋2＝0不可能．

联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

解得，应舍去．

由，解得．

∴P(，)即为同时满足三个条件的点．

专题五　⇨对称问题　　

(1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本的也是最重要的对称，解决此类问题要抓住两点：一是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上；二是已知点与对称点的连线与对称轴垂直．

(2)与对称有关的最值问题．

在直线l上找一点P到直线两侧两定点A，B的距离之和最小，则点P必在线段AB上，所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的点．

在直线l上找一点P到直线同侧两点A，B的距离之差最大，则点P必定在线段AB(或BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用对称转化为同侧的点．

可以简单记为“异侧和最小，同侧差最大”．

典例5 已知点A(3，1)，在直线x－y＝0和y＝0上分别有M和N使△AMN的周长最短，求点M，N的坐标.

[解析]　如图所示，点A关于直线x－y＝0的对称点为A1(1，3)，点A关于直线y＝0的对称点为A2(3，－1)，

∵|AM|＝|A1M|，|AN|＝|A2N|，

∴|AM|＋|MN|＋|AN|＝|A1M|＋|MN|＋|A2N|≥|A1A2|，

∴连接A1A2，与直线x－y＝0和y＝0的交点则分别为M，N点．

∵直线A1A2的方程为2x＋y－5＝0，

∴分别与直线x－y＝0和y＝0联立得，交点M(，)，N(，0)．

故△AMN的周长最短时，点M(，)，N(，0)．

专题六　⇨分类讨论思想　　

分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决．在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决．

在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题．

典例6 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

[解析]　①当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3x＋y＝0．

②当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意，故当a≠－1且a≠2时，由题意得：

＝a－2，解得：a＝0．

此时直线的方程为：x＋y＋2＝0．

综上，所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．

专题七　⇨数形结合的思想方法　　

数形结合的思想是一种重要的思想方法，数形结合的应用大致分为两类：第一类“以数解形”——就是有些图形太过于复杂或过于简单，直接观察不易求解，这时需要给图形赋值；第二类“以形助数”——借助图形的直观性阐明数之间的关系．

典例7 已知：x，y满足2x＋3y－12＝0(0≤x≤9)，求x2＋y2－2x＋4y的最小值.

[解析]　令R＝x2＋y2－2x＋4y＝(x－1)2＋(y＋2)2－5，

又点(x，y)是线段AB上的动点，与定点(1，－2)的距离d＝，

∴R＝d2－5．

显然，当PQ⊥AB时，R取最小值，由点到直线距离公式知Rmin＝．

专题八　⇨转化与化归思想　　

数学问题的解答离不开转化与化归．利用它把代数问题几何化，几何问题代数化，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，可使复杂的数学问题直观化、简单化、具体化，从而使问题快速得到解决．

典例8 在直线2x＋3y＝6上求一点P(x，y)，使S＝xy的值最大.

[解析]　∵点P(x，y)在2x＋3y－6＝0上，∴y＝．

∵S＝xy＝＝－(x2－3x)＝－(x－)2＋．

∴当x＝时，S取得最大值，此时y＝1，

即点P的坐标为(，1)．