高中第一章 空间几何体综合与测试一课一练

第一章　学业质量标准检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 (　A　)

A．2π　 　  B．π　 　

C．2　　 　 D．1

[解析]　所得旋转体是底面半径为1，高为1的圆柱，其侧面积S侧＝2πRh＝2π×1×1＝2π．

2．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是 (　C　)

A．1∶1　　 B．2∶1　　

C．3∶2　　 D．4∶3

[解析]　∵圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为2R，则圆柱全面积S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，球表面积S2＝4πR2，∴＝．

3．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 (　A　)

A．30  B．60

C．30＋135  D．135

[解析]　由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为＝，则这个菱柱的侧面积为4××5＝30．

4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1∶V2＝ (　D　)

A．1∶3  B．1∶1

C．2∶1  D．3∶1

[解析]　V1∶V2＝(Sh)∶(Sh)＝3∶1．

5．圆台上、下底面半径和母线的比为1∶4∶5，高为8，那么它的侧面积为 (　B　)

A．50π  B．100π

C．150π  D．200π

[解析]　∵圆台上、下底面半径和母线的比为1∶4∶5，高为8，所以可设圆台上、下底面半径和母线分别为x，4x，5x，画出圆台轴面，如图所示，由勾股定理可得，(5x)2＝(3x)2＋82，解得x＝2，故圆台的上底面半径r＝2，圆台的下底面半径R＝8，圆台的母线长l＝10，可得圆台的侧面积S＝π(r＋R)l＝100π，故选B．

6．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为 (　D　)

A．6  B．3

C．6  D．12

[解析]　△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝×6×4＝12．

7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 (　D　)

A．60  B．30

C．20  D．10

[解析]　由三视图画出如图所示的三棱锥P－ACD，过点P作PB⊥平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱锥P－ACD＝××3×5×4＝10.故选D．

8．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为 (　D　)

A．1  B．

C．  D．

[解析]　设圆柱与圆锥的底半径分别为R，r，高都是h，由题设，2R·h＝×2r·h

∴r＝2R，V柱＝πR2h，V锥＝πr2h＝πR2h

∴＝，选D．

9．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 (　A　)

A．πR3  B．πR3

C．πR3  D．πR3

[解析]　依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为，高为R，所以圆锥的体积为×π×()2×R＝πR3．

10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 (　B　)

A．14斛  B．22斛

C．36斛  D．66斛

[解析]　设圆锥底面半径为r，则×2×3r＝8，∴r＝，所以米堆的体积为××3×()2×5＝，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B．

11．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为 (　B　)

A．12  B．18

C．24  D．54

[解析]　如图所示

点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当DM⊥平面ABC且D与面ABC在球心O两侧时，三棱锥D－ABC体积最大，

此时，OD＝OB＝R＝4，

∵S△ABC＝AB2＝9，

∴AB＝6，∵点M为三角形ABC的重心，

∴BM＝BE＝2，

∴Rt△ABC中，有OM＝＝2，

∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，

∴(VD－ABC)max＝×9×6＝18，故选B．

12．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为 (　C　)

A．＋π  B．＋π

C．＋π  D．1＋π

[解析]　根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为，所以该几何体的体积为×1×1×1＋×π()3＝＋π．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是__16__.

[解析]　在△AOB中，OB＝4，高为8，则面积S＝×4×8＝16．

14．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为____.

[解析]　连结A1C1，交B1D1于点O，很明显A1C1⊥平面BDD1B1，则A1O是四棱锥的高，且A1O＝A1C1＝＝，

S＝BD×DD1＝×1＝，

结合四棱锥体积公式可得其体积为：V＝Sh＝××＝．

15．棱长为a的正四面体的全面积为__a2__，体积为__a3__.

[解析]　因为正四面体的棱长为a，所以正四面体的底面积为S＝a2×＝a2，正四面体的表面积为S＝4×a2＝a2，正四面体的底面外接圆半径为r＝a×＝a，∴正四面体的高为h＝＝＝a，

∴正四面体的为V＝Sh＝×a2×a＝a3，故答案a2，a3．

16．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为__2＋__.

[解析]　该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，

∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm.求圆锥的母线长.

[解析]　如图，设圆锥母线长为l，则＝，所以l＝ cm．

18．(本小题满分12分)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.

[解析]　如图所示，作出轴截面

因为△ABC是正三角形，所以CD＝AC＝2，

所以AC＝4，AD＝×4＝2，

所以R＝．

所以V球＝πR3＝π·()3＝．

所以球的体积等于．

19．(本小题满分12分)如右图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.

[解析]　因为V半球＝×πR3＝××π×43≈134(cm3)，

V圆锥＝πr2h＝π×42×12≈201(cm3)，

因为134<201，所以V半球<V圆锥，所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子．

20．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积.

[解析]　由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π()2×1＝．

21．(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.

[解析]　设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h．

由题意知圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为r，

∴V圆锥＝πr2h，∴V球＝πr3．

又h＝2r，

∴V圆锥∶V球∶V圆柱＝(πr2h)∶(πr3)∶(πr2h)＝(πr3)∶(πr3)∶(2πr3)＝1∶2∶3．

22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).

试求：(1)AD的长；

(2)容器的容积．

[解析]　(1)设圆台上、下底面半径分别为r，R，AD＝x，

则OD＝72－x，由题意得

，∴．

即AD应取36 cm．

(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm

圆台的高h＝＝＝6．

∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π·6·(122＋12×6＋62)

＝504π(cm3)．

即容器的容积为504π cm3．