高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系达标测试

A级　基础巩固

一、选择题

1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　A　)

[解析]　选项B，C，D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．

2．如图所示，下列符号表示错误的是(　A　)

A．l∈α　　 B．P∉l　　

C．l⊂α　　 D．P∈α

[解析]　观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．

3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：

①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；

②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；

③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；

④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α．

其中表述方式和推理都正确的命题的序号是(　C　)

A．①④  B．②③

C．④  D．③

[解析]　①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．

4．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为(　D　)

A．0  B．1

C．0或1  D．1或3

[解析]　当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面．

5．下列命题中，正确的是(　B　)

A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面

B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面

C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面

D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面

[解析]　因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．

6．如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ等于(　C　)

A．直线AC  B．直线BC

C．直线CR  D．以上都不对

[解析]　由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR．

二、填空题

7．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有__5__条.

[解析]　如图

由图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条．

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是__(2)(3)(4)__(填序号).

(1)直线AC1在平面CC1B1B内．

(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．

(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1．

(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．

[解析]　(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．

(2)正确．如图所示．

因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．

(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1

所以四边形AB1C1D是平行四边形

所以A，B1，C1，D共面．

三、解答题

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：

(1)E，C，D1，F，四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

[解析]　

(1)分别连接EF，A1B，D1C

∵E，F分别是AB和AA1的中点

∴EF∥A1B且EF＝A1B．

又∵A1D1∥B1C1∥BC，A1D1＝B1C1＝BC，

∴四边形A1D1CB是平行四边形

∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1．

EF与CD1确定一个平面．

∴E，F，D1，C四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF＝CD1，

∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，

∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D．

又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD

即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．

而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD

∴P∈直线AD(公理3)，∴直线CE，D1F，DA三线共点．

B级　素养提升

一、选择题

1．空间中四点可确定的平面有(　D　)

A．1个  B．3个

C．4个  D．1个或4个或无数个

[解析]　当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D．

2．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是(　D　)

①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②  B．②③

C．①④  D．③④

[解析]　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．

3．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　D　)

A．点A  B．点B

C．点C，但不过点D  D．点C和点D

[解析]　A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C，D∈γ，且C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上．

4．下列各图均是正六棱柱，P，O，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　D　)

[解析]　在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥OR，即在此三个图形中P，O，R，S共面，故选D．

二、填空题

5．若直线l与平面α相交于点O.A，B∈l，且C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__共线__.

[解析]　∵AC∥BD

∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．

∵l∩α＝O，∴O∈α．

又∵O∈AB⊂β

∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．

6．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__P∈l__.

[解析]　因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∈β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l．

C级　能力拔高

1．如图，在四面体A－BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.

求证：M，N，K三点共线．

[解析]　∵M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR

M∈BC，直线BC⊂平面BCD

∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点

∴M在平面PQR与平面BCD的交线上．

同理可证，N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上．

∴M，N，K三点共线．

2．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

(1)画出直线l的位置；

(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．

[解析]　(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．

(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1

∴AD＝A1E＝A1D1＝a．

∵A1P∥D1N，且D1N＝a

∴A1P＝D1N＝a

于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a．