2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：素养提升6 高考中概率与统计解答题的提分策略学案

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素养提升6高考中概率与统计解答题的提分策略

1  [2019全国卷Ⅱ，12分]11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求P(X=2);

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

(1)“X=2”可以分如下两类:①甲连赢两球;②乙连赢两球.据此求概率即可.(2)“X=4且甲获胜”包含的事件为“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”,据此求概率即可.

(1)“X=2”包含的事件为“甲连赢两球”或“乙连赢两球”.①

因此P(X=2)=0.5×0.4+(1 - 0.5)×(1 - 0.4)=0.5.②

(2)“X=4且甲获胜”包含的事件为“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”.③

因此所求概率为[0.5×(1 - 0.4)+(1 - 0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.④

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2[2017全国卷Ⅲ, 12分]某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?

(1)根据表格提供的数据进行分类求解即可;(2)根据分布列得到关于利润的函数表达式,进而求解最值.

(1)由题意知,X的所有可能取值为200,300,500,1分(得分点1)

由表格数据知,

P(X=200)==0.2,2分(得分点2)

P(X=300)==0.4,3分(得分点3)

P(X=500)==0.4.4分(得分点4)

因此X的分布列为

　5分(得分点5)

(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.

当300≤n≤500时,

若最高气温不低于25,则Y=6n - 4n=2n;

若最高气温位于区间 [20,25)内,则Y=6×300+2(n - 300) - 4n=1 200 - 2n;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n - 200) - 4n=800 - 2n.

因此E(Y)=2n×0.4+(1 200 - 2n)×0.4+(800 - 2n)×0.2=640 - 0.4n.8分(得分点6)

当200≤n<300时,

若最高气温不低于20,则Y=6n - 4n=2n;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n - 200) - 4n=800 - 2n.11分(得分点7)

因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800 - 2n)×0.2=160+1.2n.

所以当n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.12分(得分点8)

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3[2018全国卷Ⅱ, 12分]图6 - 1是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.

图6 - 1

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:= - 30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.

(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

(1)将t=19与t=9分别代入线性回归模型①与②中,可求得2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)根据线性回归模型①与②,并结合已知的折线图进行分析;也可以根据两个线性回归方程对2018年(或附近的其他年份)的环境基础设施投资额进行预报,分析它们与真实值产生的残差,进而分析两个模型的可靠性.

(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为= - 30.4+13.5×19=226.1(亿元).2分

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元).4分

(2)利用模型②得到的预测值更可靠.5分

理由如下:

(i)从图6 - 1可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y= - 30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始,环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.12分

(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.12分

(以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)

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1.[12分]如果某企业每月养殖的生猪死亡率不超过百分之一,则该企业考核为优秀.现获得某企业2019年1月到8月的相关数据如下表所示:

 (1)求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.01);

(2)若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只,请你预估该月月利润是多少万元;

(3)从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月,设X为考核优秀的月数,求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据:=460,xiyi=379.5.

附:线性回归方程x+中,,