人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质精练

A级　基础巩固

一、选择题

1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则(　C　)

A．m∥β B．m⊂β

C．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直

[解析]　如图

∵α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β．

2．设有直线m，n和平面α，β，则下列命题中正确的是(　B　)

A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

B．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β

C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β

D．若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β

[解析]　⇒α⊥β，∴B正确．

3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　C　)

A．直线a必垂直于平面β

B．直线b必垂直于平面α

C．直线a不一定垂直于平面β

D．过a的平面与过b的平面垂直

[解析]　α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A，B，D都错误，故选C．

4．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　D　)

A．一条线段 B．一条直线

C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点

[解析]　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC．

又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°．

∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．

5．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　B　)

A．m∥n　　　　　　　 B．n⊥m

C．n∥α  D．n⊥α

[解析]　由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m．

6．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于(　A　)

A．2∶1  B．3∶1

C．3∶2  D．4∶3

[解析]　由已知条件可知∠BAB′＝，

∠ABA′＝，设AB＝2a，

则BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，

∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1．

二、填空题

7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：

①α∥β，l⊄β⇒l⊥m；　　　　②α⊥β⇒l∥m；

③l∥m⇒α⊥β；  ④l⊥m⇒α∥β．

其中正确的两个命题是__①③__．

[解析]　⇒l⊥m，故①对；

⇒l∥β或l⊂β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；

⇒α⊥β，∴③对；

⇒m⊂α或m∥α，无论哪种情况与m⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D．

8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的__垂__心.

[解析]　由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．

三、解答题

9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．

[解析]　⇒

⇒平面ABD⊥平面ACD．

10． 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：(1)AB∥平面A1B1C；

(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC．

[解析]　(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1．

因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．

(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．

又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．

又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC

所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．

B级　素养提升

一、选择题

1．m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：

①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；

④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；

⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β．

其中正确命题的个数为(　B　)

A．1　　　　 B．2　　　　

C．3　　　　 D．4

[解析]　根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，呆可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．

2．在空间中，下列命题正确的是(　D　)

A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面

B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α

C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β

D．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b

[解析]　选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．

3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　D　)

A．PE⊥AC B．PE⊥BC

C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD

[解析]　因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D．

二、填空题

4．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝__45°__.

[解析]　如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．

∵△PAD是等边三角形，

∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，

∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ．

在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，

∴∠PBG＝45°，即θ＝45°．

三、解答题

5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD．

(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

(2)证明：平面PAB⊥平面PBD．

[解析]　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．

理由如下：

因为AD∥BC，BC＝AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，

所以四边形AMCB是平行四边形，

从而CM∥AB．又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，

所以CM∥平面PAB．

(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)

(2)由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，

因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交．

所以PA⊥平面ABCD．从而PA⊥BD．

连接BM，因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥MD，且BC＝MD．

所以四边形BCDM是平行四边形．

所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB．

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB．

又BD⊂平面PBD．

所以平面PAB⊥平面PBD．

C级　能力拔高

1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(2)求证：EF∥平面PCD．

[解析]　(1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，

∴PE⊥AD．

∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．

(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD．

∴AB⊥PD．又PA⊥PD，AB∩PA＝A ，

∵PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD∴平面PAB⊥平面PCD．

(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD．

∵F，G分别为PB和PC的中点，

∴FG∥BC，且FG＝BC．

∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

∴ED∥BC，DE＝BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，

∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD．

又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD．

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，E为棱CC1的中点.

(1)求证：B1D1⊥AE；

(2)求证：AC∥平面B1DE；

(3)求三棱锥A－BDE的体积．

[解析]　(1)连接BD，则BD∥B1D1，

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．

又AC∩CE＝C，∴BD⊥面ACE．

∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．

(2)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF．

∵E，F是CC1，BB1的中点，∴CE与B1F 平行且相等，

∴四边形B1FCE是平行四边形，

∴CF∥B1E，CF⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE，

∴CF∥平面B1DE，∵E，F是CC1，BB1的中点，

∴EF与BC平行且相等，

又BC与AD平行且相等，∴EF与AD平行且相等．

∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，

∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE，

∴AF∥平面B1DE，

∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE．

又∵AC⊂平面ACF，

∴AC∥平面B1DE．

(3)三棱锥A－BDE的体积，即为三棱锥E－ABD的体积．

∴V＝··AD·AB·EC＝··2·2·1＝．