必修23.2 直线的方程随堂练习题

3.2.3　直线方程的一般式

A级　基础巩固

一、选择题

1．直线x－y＋2＝0的倾斜角是(　B　)

A．30°　　　 B．45°　　　

C．60°　　　 D．90

[解析]　由x－y＋2＝0，得y＝x＋2．

其斜率为1，倾斜角为45°．

2．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为(　D　)

A．－2  B．－3

C．－2或－3  D．2或3

[解析]　∵两直线平行，∴2×3＝m(m＋1)，∴m2＋m－6＝0

解得m＝2或m＝－3，经检验满足题意．

3．直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是(　D　)

A．，－  B．，

C．，－2  D．，－2

[解析]　将3x－2y－4＝0化成截距式为＋＝1，故该直线在x轴、y轴上的截距分别是，－2．

4．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a的值为(　D　)

A．1  B．－

C．－  D．－2

[解析]　由题意，得(－)×(－1)＝－1，a＝－2．

5．直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是(　A　)

A．x＋y－＝0  B．x＋y＋1＝0

C．x＋y－1＝0  D．x＋y＋＝0

[解析]　解法一：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上截距为，所以所求直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0．

解法二：将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以设直线l的方程为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为，所以－c＝，即c＝－，所以直线l的方程为x＋y－＝0．

6．直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒过定点(　B　)

A．(－1，1)  B．(1，－1)

C．(－1，－1)  D．(1，1)

[解析]　由(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0，得k(x－y－2)＋x＋y＝0，

由，得．

∴直线l过定点(1，－1)．

二、填空题

7．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为__2或－3__.

[解析]　若m＝－1，则l1的斜率不存在，l2的斜率为，此时l1与l2不平行；若m≠－1，则l1的斜率为k1＝－，l2的斜率为k2＝－.因为l1∥l2，所以k1＝k2，即－＝－，解得m＝2或－3.经检验均符合题意．

8．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围是____.

[解析]　直线方程可化为y＝(3－2t)x－6，

∴3－2t≤0，∴t≥．

三、解答题

9．求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.

[解析]　解法一：由题意知：可设l的方程为3x－4y＋m＝0

则l在x轴、y轴上的截距分别为－，．

由－＋＝1知，m＝－12．

∴直线l的方程为：3x－4y－12＝0．

解法二：设直线方程为＋＝1

由题意得 解得．

∴直线l的方程为：＋＝1．

即3x－4y－12＝0．

10．当0<a<2时，直线l1：ax－2y＝2a－4与l2：2x＋a2y＝2a2＋4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值.

[解析]　如图，由已知l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，l2：2(x－2)＋a2(y－2)＝0．

∴l1，l2都过定点(2，2)，且l1在y轴上的截距为2－a，l2在x轴上的截距为a2＋2．

∴四边形面积：S＝×2×(2－a)＋×2×(2＋a2)＝a2－a＋4

＝(a－)2＋，又0<a<2，故当a＝时，Smin＝．

B级　素养提升

一、选择题

1．若直线y＝－x＋4与直线l垂直，则l的倾斜角为(　B　)

A．30°  B．60°

C．120°  D．150°

[解析]　∵直线l与y＝－x＋4垂直，∴kl＝．

直线倾斜角θ的正切值tan θ＝，故θ＝60°．

2．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是(　D　)

A．ab  B．|ab|

C．  D．

[解析]　∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，

令x＝0，得y＝，

∴三角形的面积S＝··＝．

3．方程y＝k(x＋4)表示(　C　)

A．过点(－4，0)的一切直线

B．过点(4，0)的一切直线

C．过点(－4，0)且不垂直于x轴的一切直线

D．过点(－4，0)且不平行于x轴的一切直线

[解析]　方程y＝k(x＋4)表示过点(－4，0)且斜率存在的直线，故选C．

4．两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是(　D　)

A．m＝1  B．m＝±1

C．  D．或

[解析]　根据两直线平行可得＝，所以m＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n≠－1；m＝－1时，n≠1．

二、填空题

5．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为__3x＋4y±24＝0__.

[解析]　设直线l方程为3x＋4y＋b＝0，

令x＝0得y＝－；

令y＝0得x＝－．

由条件知·|－|·|－|＝24．

解之得b＝±24．

∴直线l方程为3x＋y±24＝0．

6．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上截距等于1，则实数m的值__3__.

[解析]　直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1的方程可化为(m＋1)x＋(m＋1)(m－2)y＝m＋1，

由题意知m＋1≠0，(m－2)y＝1，由题意得＝1，

∴m＝3．

C级　能力拔高

1．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线l不经过第一、三、四象限，求a的取值范围．

[解析]　(1)将直线l的方程整理为y－＝a，所以l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限，故不论a为何值，直线l恒过第一象限．

(2)将方程化为斜截式方程：y＝ax－.要使l经过第一、三、四象限，则，解得a>3．

2．求满足下列条件的直线方程.

(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；

(2)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12．

[解析]　(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋，

所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－，

则所求直线的斜率k＝2×(－)＝－．

又直线经过点(－1，－3)，

因此所求直线的方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0．

(2)设直线与x轴的交点为(a，0)，

因为点M(0，4)在y轴上，所以由题意有4＋＋|a|＝12，

解得a＝±3，所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0．