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2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第二章第二讲 函数的基本性质学案
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这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第二章第二讲 函数的基本性质学案，共12页。
第二讲 函数的基本性质
1.下列说法中正确的个数是( )
(1)若函数y=f (x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).
(2)对于函数f (x),x∈D,若对任意x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1 - x2)[f (x1) - f (x2)]>0,则函数f (x)在区间D上是增函数.
(3)若函数y=f (x+a)是偶函数,则函数y=f (x)的图象关于直线x=a对称.
(4)若函数y=f (x+b)是奇函数,则函数y=f (x)的图象关于点(b,0)中心对称.
(5)已知函数y=f (x)是定义在R上的偶函数,若f (x)在( - ∞,0)上是减函数,则f (x)在(0,+∞)上是增函数.
(6)若T为函数y=f (x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f (x)的周期.
A.3 B.4 C.5 D.6
2.[多选题]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x12 B.y=2 - x C.y=log12x D.y=1x
3.[2019全国卷Ⅱ]设f (x)为奇函数,且当x≥0时,f (x)=ex - 1,则当x<0时,f (x)=( )
A.e - x - 1 B.e - x+1
C. - e - x - 1 D. - e - x+1
4.[2020河南郑州高三联考]若函数f (x)=2x+2,x≤1,log2(x-1),x>1在( - ∞,a]上的最大值为4,则a的取值范围为( )
A.[0,17] B.( - ∞,17]
C.[1,17] D.[1,+∞)
5.[2020南阳模拟]已知函数f (x)=x3+ln x,则不等式f (x(x - 1))
7.[2020大同市调研测试]若函数f (x)=3e|x-1|-sin(x-1)e|x-1|在区间[ - 3,5]上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q的值为 .
考法1 确定函数的单调性(单调区间)
1判断下列函数的单调性:
(1)f (x)=x3-4x+3x(x<0); (2)f (x)=2x2-3x.
先对已知函数进行变形,变成几个基本初等函数的组合形式,再利用各基本初等函数的单调性及单调性的有关性质来判断原函数的单调性即可.
(1)(性质法)f (x)=x3-4x+3x=x2-4+3x,而函数y=x2-4及y=3x在(-∞,0)上都是减函数,则f (x)=x3-4x+3x在( - ∞,0)上是减函数.
(2)(性质法)因为f (x)=2x2-3x=2x - 3x,且函数的定义域为( - ∞,0)∪(0,+∞),(求定义域)
而函数y=2x和y= - 3x在区间( - ∞,0)上均为增函数,根据单调函数的性质,可得f (x)=2x - 3x在区间( - ∞,0)上为增函数.
同理,可得f (x)=2x - 3x在区间(0,+∞)上也是增函数.(分类讨论)
故函数f (x)=2x2-3x在区间( - ∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.
2 [2017全国卷Ⅱ]函数f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的单调递增区间是
A.( - ∞, - 2) B.( - ∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(复合法)由x2 - 2x - 8>0,得x< - 2或x>4.因此,函数f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的定义域是( - ∞, - 2)∪(4,+∞).(先求函数f (x)的定义域)
易知函数y=x2 - 2x - 8在( - ∞, - 2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,函数y=ln t为(0,+∞)上的增函数,由复合函数的单调性知,
f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的单调递增区间是(4,+∞).
D
考法2 函数单调性的应用
命题角度1 比较大小
3已知函数f (x)为偶函数,当x>0时, f (x)=x - 4 - x,设a=f (log30.2), b=f (3 - 0.2), c=f ( - 31.1),则
A.c>a>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>a>c
利用函数f (x)为偶函数和对数函数、指数函数的性质,先把a,c对应的自变量的值转化到(0,+∞)内,然后比较31.1,
- log30.2 , 3 - 0.2的大小,再判断f (x)在(0,+∞)上的单调性,即可得a,b,c的大小.
因为函数f (x)为偶函数,所以a=f (log30.2)=f ( - log30.2),c=f ( - 31.1)=f (31.1).(注意把自变量的值转化到同一个单调区间内去研究)
因为log319< log30.2< log313,所以 - 2
因为y=x在(0,+∞)上为增函数, y= - 4 - x在(0,+∞)上为增函数,所以f (x)在(0,+∞)上为增函数,
所以f (31.1)>f ( - log30.2)>f (3 - 0.2),所以c>a>b.
A
命题角度2 求解不等式
4(1)[2017全国卷Ⅰ]函数f (x)在( - ∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)= - 1,则满足 - 1≤f (x - 2)≤1的x的取值范围是
A.[ - 2,2] B.[ - 1,1] C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知函数f (x)= - x|x|,x∈( - 1,1),则不等式f (1 - m)
∴f ( - 1)= - f (1)=1,由 - 1≤f (x - 2)≤1,得f (1)≤f (x - 2)≤f ( - 1),
又函数f (x)在( - ∞,+∞)上单调递减,
∴ - 1≤x - 2≤1,∴1≤x≤3.故选D.
(2)由已知得f (x)=x2,-1
命题角度3 求参数的值或取值范围
5已知函数y=log12(6 - ax+x2)在[1,2]上是增函数,则实数a的取值范围为 .
设u=6 - ax+x2(u>0),
∵ y=log12u为减函数,
∴函数u在[1,2]上是减函数,
∵ u=6 - ax+x2,其图象的对称轴为直线x=a2,
∴a2≥2,且u>0在[1,2]上恒成立.
∴a2≥2,6-2a+4>0,解得4≤a<5,
∴实数a的取值范围为[4,5).
1.(1)函数f (x)=-x2-ax-5,x≤1,ax,x>1是R上的增函数,则a的取值范围为 .
(2)[2016天津高考]已知f (x)是定义在R上的偶函数,且在区间( - ∞,0)上单调递增.若实数a满足f (2|a - 1|)>f ( - 2),则a的取值范围是 .
考法3 求函数的最值(值域)
6已知函数f (x)=x2,x≤1,x+6x-6,x>1,则f (x)的最小值是 .
结合已知分段函数,先分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得出结论.
(利用单调性和基本不等式求解)因为y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以当x≤1时, f (x)min=f (0)=0. (用单调性法求最值)
当x>1时,y=x+6x≥26,当且仅当x=6时,等号成立,此时f (x)min=26 - 6.(用基本不等式法求最值)
又26 - 6<0,(比较每段上的最值)
所以f (x)min=26 - 6.
求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.
7若x∈[ - π6,2π3],则函数y=4sin2x - 12sin x - 1的最大值为 ,最小值为 .
令t=sin x,确定t的取值范围转化为关于t的二次函数利用单调性法求解二次函数的最值
(换元法)令t=sin x,因为x∈[ - π6,2π3],
所以t∈[ - 12,1],(注意新元的取值范围)
所以y=f (t)=4t2 - 12t - 1.
因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为直线t=32,所以当t∈[ - 12,1]时,函数f (t)单调递减,
所以当t= - 12时,ymax=6;当t=1时,ymin= - 9.
8求下列函数的值域:
(1)y=1-sinx2-cosx; (2)y=-x2-6x-5;
(3)y=x+1-x2; (4)y=3x-52x+1;
(5)y=x2+4x+1x2+1; (6)y=x2-1x2+1.
根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域.
(1)(图象法)设动点M(cos x,sin x),定点P(2,1),则y=1-sinx2-cosx的几何意义是直线PM的斜率.而动点M在单位圆x2+y2=1上.如图2 - 2 - 1,当直线PM和圆相切时斜率取得最值,kM1P=0,kM2P=43.所以函数的值域为[0,43].
图2 - 2 - 1
(2)(配方法)因为y=-x2-6x-5=-(x+3)2+4≤4=2,y≥0, 所以y=-x2-6x-5的值域为[0,2].
(3)(三角换元法)因为1 - x2≥0,所以 - 1≤x≤1,所以可设x=cos α,α∈[0,π],
则y=cos α+sin α=2sin (α+π4).
因为α∈[0,π],
所以α+π4∈[π4,5π4],
所以sin(α+π4)∈[ - 22,1],
所以2sin(α+π4)∈[ - 1,2],
所以原函数的值域为[ - 1,2].
(4)(分离常数法)y=3x-52x+1=32(2x+1)-1322x+1=32-1322x+1≠32,
所以所求函数的值域为{y| y∈R且y≠32}.
(5)(判别式法)由原函数整理得(1 - y)x2+4x+1 - y=0.
当1 - y=0,即y=1时,x=0;
当1 - y≠0,即y≠1时,Δ=16 - 4(1 - y)2≥0,即(1 - y)2≤4,
解得 - 1≤y≤3,所以 - 1≤y≤3且y≠1.(要注意对二次项系数1 - y进行讨论)
综上,所求函数的值域为[ - 1,3].
(6)(有界性法)由y=x2-1x2+1,可得x2=1+y1-y,且y<1. (结合完全平方式非负的性质来转化)
由x2≥0,知1+y1-y≥0,解得 - 1≤y<1,故所求函数y=x2-1x2+1的值域为[ - 1,1).
2.(1)[2019郑州市第二次质量预测]高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[ - 2.1]= - 3,[3.1]=3.已知函数f (x)=
2x+31+2x+1,则函数y=[f (x)]的值域为( )
A.(12,3) B.(0,2] C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
(2)已知函数f (x)=sin πx22x-1+2-x+1(x>0),则函数f (x)的最大值是 .
考法4 判断函数的奇偶性
9判断下列各函数的奇偶性:
(1)f (x)=(x - 1)1+x1-x; (2)f (x)=lg(1-x2)|x2-2|-2;
(3)f (x)=x2+x(x<0),0(x=0),-x2+x(x>0).
求函数的定义域判断定义域是否关于原点对称判断f ( - x)与f (x)的关系 下结论
(1)由1+x1-x≥0得函数的定义域为[ - 1,1),不关于原点对称,所以f (x)为非奇非偶函数.
(2)由1-x2>0,|x2-2|-2≠0 得函数的定义域为( - 1,0)∪(0,1),
f (x)=lg(1-x2)-(x2-2)-2= - lg(1-x2)x2.
所以f ( - x)= - lg[1-(-x)2](-x)2= - lg(1-x2)x2=f (x),
所以f (x)为偶函数.
(3)当x<0时, - x>0,则f ( - x)= - ( - x)2 - x= - (x2+x)= - f (x);
当x>0时, - x<0,则f ( - x)=( - x)2 - x= - ( - x2+x)= - f (x).
又f (0)=0,故对任意的x∈( - ∞,+∞),都有f ( - x)= - f (x), (只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)
所以f (x)为奇函数.
3.设函数f (x),g(x)的定义域都为R,且 f (x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的( )
A. f (x)g(x)是偶函数 B. f (x)|g(x)|是奇函数
C.|f (x)|g(x)是奇函数 D.|f (x)g(x)|是奇函数
考法5 函数奇偶性的应用
10(1)[2020湖北部分重点中学高三测试]已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f (x)=log2( - x)+m,f (12)=2,则实数m=
A.22 B. - 22 C.2+1 D. - 2+1
(2)已知函数f (x)为奇函数且定义域为R,当x>0时,f (x)=x+1,则f (x)的解析式为 .
(1)解法一 令x>0,则 - x<0,所以f ( - x)=log2x+m,因为f (x)是R上的奇函数,所以f ( - x)= - f (x),
所以x>0时,f (x)= - f ( - x)= - log2x - m,因为f (12)=2,所以2= - log212 - m,解得m= - 2+1,故选D.
解法二 因为f (x)是R上的奇函数,f (12)=2,所以f ( - 12)= - 2,因为当x<0时,f (x)=log2( - x)+m,
所以 - 2=log2[ - ( - 12)]+m,所以m= - 2+1,故选D.
(2)因为f (x)为奇函数,所以f ( - x)= - f (x).
当x=0时,有f ( - 0)= - f (0),所以f (0)=0.
当x<0时, - x>0.f (x)= - f ( - x)= - ( - x+1)=x - 1.
所以f (x)=x+1,x>0,0,x=0,x-1,x<0.
4.[2020陕西省部分学校摸底测试]若函数f (x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f (x)+2g(x)=ex,则( )
A.f ( - 2)
11已知f (x)是定义在R上的偶函数,并且f (x+3)= - 1f(x),当1
由已知可得f (x+6)=f ((x+3)+3)= - 1f(x+3)= - 1-1f(x)=f (x),故函数f (x)的周期为6,
∴f (2 020)=f (6×336+4)=f (4).
∵ f (x)为偶函数,∴f (1)=f ( - 1),则f (4)=f (1+3)= - 1f(1)= - 1f(-1)=f (2)=cos2π3= - 12,∴f (2 020)= - 12.
5.[2016山东高考]已知函数f (x)的定义域为R.当x<0时,f (x)=x3 - 1;当 - 1≤x≤1时,f ( - x)= - f (x);当x>12时,
f (x+12)=f (x - 12).则f (6)=( )
A. - 2 B. - 1 C.0 D.2
考法7 函数性质的综合应用
12 (1)[2019全国卷Ⅲ]设f (x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则
A.f (log314)>f (2-32)>f (2-23) B.f (log314)>f (2-23)>f (2-32)
C.f (2-32)>f (2-23)>f (log314) D.f (2-23)>f (2-32)>f (log314)
(2)[2018全国卷Ⅱ]已知f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,满足f (1 - x)=f (1+x).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=
A. - 50 B.0 C.2 D.50
(1)根据函数f (x)为偶函数可知,f (log314)=f ( - log34)=f (log34),∵ 0<2-32<2-23< 20
(2)解法一 ∵ f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,
∴f ( - x)= - f (x),且f (0)=0.∵ f (1 - x)=f (1+x),
∴f ( - x)=f (2+x),∴f (2+x)= - f (x),∴f (4+x)= - f (2+x)=f (x),∴f (x)是周期函数,且一个周期为4,∴f (4)=f (0)=0,f (2)=f (1+1)=f (1 - 1)=
f (0)=0,f (3)=f (1+2)=f (1 - 2)= - f (1)= - 2,∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (50)=12×0+f (49)+f (50)=f (1)+f (2)=2.
解法二 因为函数f (x)满足f (1 - x)=f (1+x),可知f (x)的图象关于直线x=1对称.
又f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,所以f (0)=0,且已知f (1)=2,计算可得:
f (2)=f (0)=0,
f (3)=f ( - 1)= - f (1)= - 2,
f (4)=f ( - 2)= - f (2)=0,
f (5)=f ( - 3)= - f (3)=2,
f (6)=f ( - 4)= - f (4)=0,
f (7)=f ( - 5)= - f (5)= - 2,
f (8)=f ( - 6)= - f (6)=0,……
所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (49)+f (50)=(2+0 - 2+0)×12+2+0=2.
(1)C (2)C
6.已知定义在R上的函数f (x),对任意实数x有f (x+4)= - f (x)+22,若函数f (x - 1)的图象关于直线x=1对称,f (5)=2,则f (2 021)= .
266
1.B 对于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2∈D(x1≠x2),(x1 - x2)[f (x1) - f (x2)]>0⇔x1>x2,f(x1)>f(x2)或x11时,y=ax在( - ∞,+∞)上单调递增,而选项B中的函数y=2 - x可转化为y=(12)x,因此函数y=2 - x在(0,+∞)上单调递减,故选项B符合题意;对于对数函数y=logax(a>0且a≠1),当01时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,因此选项C中的函数y=log12x在(0,+∞)上单调递减,故选项C符合题意.故选BCD.
3.D 解法一 依题意得,当x<0时,f (x)= - f ( - x)= - (e - x - 1)= - e - x+1,选D.
解法二 依题意得,f ( - 1)= - f (1)= - (e1 - 1)=1 - e,结合选项知,选D.
4.C 易知f (x)在( - ∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递增,因为f (1)=4,f (17)=4,所以a的取值范围为[1,17].
5.( - 1,0)∪(1,2) 函数f (x)的定义域为(0,+∞),且y=x3与y=ln x在(0,+∞)上都是增函数,故f (x)=x3+ln x在定义域内为增函数,则0
7.6 由f (x)=3e|x-1|-sin(x-1)e|x-1|=3 - sin(x-1)e|x-1|,x∈[ - 3,5],可得f (x+1)=3 - sinxe|x|,x∈[ - 4,4],令g(x)=f (x+1) - 3= - sinxe|x|,x∈[ - 4,4],可得g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点对称.设g(x)在[ - 4,4]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=0.易知p=M+3,q=m+3,所以p+q=6.
1.(1) - 3≤a≤ - 2 由题意,得-a2≥1,a<0,a≥-1-a-5,解得 - 3≤a≤ - 2.
(2)(12,32) 因为f (x)是定义在R上的偶函数,且在区间( - ∞,0)上单调递增,所以f (x)在区间(0,+∞)上单调递减.又f (2|a - 1|)>f ( - 2),且f ( - 2)=f (2),所以 - 2<2|a - 1|<2,则|a - 1|<12,所以12
(2)12 因为f (x)=sinπx22x-1+2-x+1,设f 1(x)=2x - 1+2 - x+1,
所以f 1(x)=2x - 1+12x-1≥22x-1·12x-1=2,
当且仅当2x - 1=12x-1,即x=1时取等号,
即当x=1时, f 1(x)min=2.
设f 2(x)=sinπx2,则f 2(x)max=f 2(1)=sinπ2=1,
所以函数f (x)的最大值是f (x)max=12.
3.B 因为f (x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f (x)g(x)为奇函数,f (x)|g(x)|为奇函数,|f (x)|g(x)为偶函数,|f (x)g(x)|为偶函数,故选B.
4.D 因为函数f (x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f (x)+2g(x)=ex ①,所以f ( - x)+2g( - x)=e - x,即f (x) - 2g(x)=e - x ②.联立①②,解得f(x)=ex+e-x2,g(x)=ex-e-x4,所以f ( - 2)=e-2+e22>0,f ( - 3)=e-3+e32>0,g( - 1)=e-1-e4<0.因为f ( - 3) - f ( - 2)=e-3+e32 - e-2+e22=(e-1)(e2-e-3)2>0,所以g( - 1)<
f ( - 2)
f (6)=2,故选D.
6.2 由函数y=f (x - 1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f (x)的图象关于y轴对称,故f (x)为偶函数.
由f (x+4)= - f (x)+22,得f (x+4+4)= - f (x+4)+22=f (x),所以f (x)是最小正周期为8的偶函数,
所以f (2 021)=f (5+252×8)=f (5)=2.
第二讲 函数的基本性质
1.下列说法中正确的个数是( )
(1)若函数y=f (x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).
(2)对于函数f (x),x∈D,若对任意x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1 - x2)[f (x1) - f (x2)]>0,则函数f (x)在区间D上是增函数.
(3)若函数y=f (x+a)是偶函数,则函数y=f (x)的图象关于直线x=a对称.
(4)若函数y=f (x+b)是奇函数,则函数y=f (x)的图象关于点(b,0)中心对称.
(5)已知函数y=f (x)是定义在R上的偶函数,若f (x)在( - ∞,0)上是减函数,则f (x)在(0,+∞)上是增函数.
(6)若T为函数y=f (x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f (x)的周期.
A.3 B.4 C.5 D.6
2.[多选题]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x12 B.y=2 - x C.y=log12x D.y=1x
3.[2019全国卷Ⅱ]设f (x)为奇函数,且当x≥0时,f (x)=ex - 1,则当x<0时,f (x)=( )
A.e - x - 1 B.e - x+1
C. - e - x - 1 D. - e - x+1
4.[2020河南郑州高三联考]若函数f (x)=2x+2,x≤1,log2(x-1),x>1在( - ∞,a]上的最大值为4,则a的取值范围为( )
A.[0,17] B.( - ∞,17]
C.[1,17] D.[1,+∞)
5.[2020南阳模拟]已知函数f (x)=x3+ln x,则不等式f (x(x - 1))
7.[2020大同市调研测试]若函数f (x)=3e|x-1|-sin(x-1)e|x-1|在区间[ - 3,5]上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q的值为 .
考法1 确定函数的单调性(单调区间)
1判断下列函数的单调性:
(1)f (x)=x3-4x+3x(x<0); (2)f (x)=2x2-3x.
先对已知函数进行变形,变成几个基本初等函数的组合形式,再利用各基本初等函数的单调性及单调性的有关性质来判断原函数的单调性即可.
(1)(性质法)f (x)=x3-4x+3x=x2-4+3x,而函数y=x2-4及y=3x在(-∞,0)上都是减函数,则f (x)=x3-4x+3x在( - ∞,0)上是减函数.
(2)(性质法)因为f (x)=2x2-3x=2x - 3x,且函数的定义域为( - ∞,0)∪(0,+∞),(求定义域)
而函数y=2x和y= - 3x在区间( - ∞,0)上均为增函数,根据单调函数的性质,可得f (x)=2x - 3x在区间( - ∞,0)上为增函数.
同理,可得f (x)=2x - 3x在区间(0,+∞)上也是增函数.(分类讨论)
故函数f (x)=2x2-3x在区间( - ∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.
2 [2017全国卷Ⅱ]函数f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的单调递增区间是
A.( - ∞, - 2) B.( - ∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(复合法)由x2 - 2x - 8>0,得x< - 2或x>4.因此,函数f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的定义域是( - ∞, - 2)∪(4,+∞).(先求函数f (x)的定义域)
易知函数y=x2 - 2x - 8在( - ∞, - 2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,函数y=ln t为(0,+∞)上的增函数,由复合函数的单调性知,
f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的单调递增区间是(4,+∞).
D
考法2 函数单调性的应用
命题角度1 比较大小
3已知函数f (x)为偶函数,当x>0时, f (x)=x - 4 - x,设a=f (log30.2), b=f (3 - 0.2), c=f ( - 31.1),则
A.c>a>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>a>c
利用函数f (x)为偶函数和对数函数、指数函数的性质,先把a,c对应的自变量的值转化到(0,+∞)内,然后比较31.1,
- log30.2 , 3 - 0.2的大小,再判断f (x)在(0,+∞)上的单调性,即可得a,b,c的大小.
因为函数f (x)为偶函数,所以a=f (log30.2)=f ( - log30.2),c=f ( - 31.1)=f (31.1).(注意把自变量的值转化到同一个单调区间内去研究)
因为log319< log30.2< log313,所以 - 2
因为y=x在(0,+∞)上为增函数, y= - 4 - x在(0,+∞)上为增函数,所以f (x)在(0,+∞)上为增函数,
所以f (31.1)>f ( - log30.2)>f (3 - 0.2),所以c>a>b.
A
命题角度2 求解不等式
4(1)[2017全国卷Ⅰ]函数f (x)在( - ∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)= - 1,则满足 - 1≤f (x - 2)≤1的x的取值范围是
A.[ - 2,2] B.[ - 1,1] C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知函数f (x)= - x|x|,x∈( - 1,1),则不等式f (1 - m)
∴f ( - 1)= - f (1)=1,由 - 1≤f (x - 2)≤1,得f (1)≤f (x - 2)≤f ( - 1),
又函数f (x)在( - ∞,+∞)上单调递减,
∴ - 1≤x - 2≤1,∴1≤x≤3.故选D.
(2)由已知得f (x)=x2,-1
命题角度3 求参数的值或取值范围
5已知函数y=log12(6 - ax+x2)在[1,2]上是增函数,则实数a的取值范围为 .
设u=6 - ax+x2(u>0),
∵ y=log12u为减函数,
∴函数u在[1,2]上是减函数,
∵ u=6 - ax+x2,其图象的对称轴为直线x=a2,
∴a2≥2,且u>0在[1,2]上恒成立.
∴a2≥2,6-2a+4>0,解得4≤a<5,
∴实数a的取值范围为[4,5).
1.(1)函数f (x)=-x2-ax-5,x≤1,ax,x>1是R上的增函数,则a的取值范围为 .
(2)[2016天津高考]已知f (x)是定义在R上的偶函数,且在区间( - ∞,0)上单调递增.若实数a满足f (2|a - 1|)>f ( - 2),则a的取值范围是 .
考法3 求函数的最值(值域)
6已知函数f (x)=x2,x≤1,x+6x-6,x>1,则f (x)的最小值是 .
结合已知分段函数,先分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得出结论.
(利用单调性和基本不等式求解)因为y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以当x≤1时, f (x)min=f (0)=0. (用单调性法求最值)
当x>1时,y=x+6x≥26,当且仅当x=6时,等号成立,此时f (x)min=26 - 6.(用基本不等式法求最值)
又26 - 6<0,(比较每段上的最值)
所以f (x)min=26 - 6.
求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.
7若x∈[ - π6,2π3],则函数y=4sin2x - 12sin x - 1的最大值为 ,最小值为 .
令t=sin x,确定t的取值范围转化为关于t的二次函数利用单调性法求解二次函数的最值
(换元法)令t=sin x,因为x∈[ - π6,2π3],
所以t∈[ - 12,1],(注意新元的取值范围)
所以y=f (t)=4t2 - 12t - 1.
因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为直线t=32,所以当t∈[ - 12,1]时,函数f (t)单调递减,
所以当t= - 12时,ymax=6;当t=1时,ymin= - 9.
8求下列函数的值域:
(1)y=1-sinx2-cosx; (2)y=-x2-6x-5;
(3)y=x+1-x2; (4)y=3x-52x+1;
(5)y=x2+4x+1x2+1; (6)y=x2-1x2+1.
根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域.
(1)(图象法)设动点M(cos x,sin x),定点P(2,1),则y=1-sinx2-cosx的几何意义是直线PM的斜率.而动点M在单位圆x2+y2=1上.如图2 - 2 - 1,当直线PM和圆相切时斜率取得最值,kM1P=0,kM2P=43.所以函数的值域为[0,43].
图2 - 2 - 1
(2)(配方法)因为y=-x2-6x-5=-(x+3)2+4≤4=2,y≥0, 所以y=-x2-6x-5的值域为[0,2].
(3)(三角换元法)因为1 - x2≥0,所以 - 1≤x≤1,所以可设x=cos α,α∈[0,π],
则y=cos α+sin α=2sin (α+π4).
因为α∈[0,π],
所以α+π4∈[π4,5π4],
所以sin(α+π4)∈[ - 22,1],
所以2sin(α+π4)∈[ - 1,2],
所以原函数的值域为[ - 1,2].
(4)(分离常数法)y=3x-52x+1=32(2x+1)-1322x+1=32-1322x+1≠32,
所以所求函数的值域为{y| y∈R且y≠32}.
(5)(判别式法)由原函数整理得(1 - y)x2+4x+1 - y=0.
当1 - y=0,即y=1时,x=0;
当1 - y≠0,即y≠1时,Δ=16 - 4(1 - y)2≥0,即(1 - y)2≤4,
解得 - 1≤y≤3,所以 - 1≤y≤3且y≠1.(要注意对二次项系数1 - y进行讨论)
综上,所求函数的值域为[ - 1,3].
(6)(有界性法)由y=x2-1x2+1,可得x2=1+y1-y,且y<1. (结合完全平方式非负的性质来转化)
由x2≥0,知1+y1-y≥0,解得 - 1≤y<1,故所求函数y=x2-1x2+1的值域为[ - 1,1).
2.(1)[2019郑州市第二次质量预测]高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[ - 2.1]= - 3,[3.1]=3.已知函数f (x)=
2x+31+2x+1,则函数y=[f (x)]的值域为( )
A.(12,3) B.(0,2] C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
(2)已知函数f (x)=sin πx22x-1+2-x+1(x>0),则函数f (x)的最大值是 .
考法4 判断函数的奇偶性
9判断下列各函数的奇偶性:
(1)f (x)=(x - 1)1+x1-x; (2)f (x)=lg(1-x2)|x2-2|-2;
(3)f (x)=x2+x(x<0),0(x=0),-x2+x(x>0).
求函数的定义域判断定义域是否关于原点对称判断f ( - x)与f (x)的关系 下结论
(1)由1+x1-x≥0得函数的定义域为[ - 1,1),不关于原点对称,所以f (x)为非奇非偶函数.
(2)由1-x2>0,|x2-2|-2≠0 得函数的定义域为( - 1,0)∪(0,1),
f (x)=lg(1-x2)-(x2-2)-2= - lg(1-x2)x2.
所以f ( - x)= - lg[1-(-x)2](-x)2= - lg(1-x2)x2=f (x),
所以f (x)为偶函数.
(3)当x<0时, - x>0,则f ( - x)= - ( - x)2 - x= - (x2+x)= - f (x);
当x>0时, - x<0,则f ( - x)=( - x)2 - x= - ( - x2+x)= - f (x).
又f (0)=0,故对任意的x∈( - ∞,+∞),都有f ( - x)= - f (x), (只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)
所以f (x)为奇函数.
3.设函数f (x),g(x)的定义域都为R,且 f (x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的( )
A. f (x)g(x)是偶函数 B. f (x)|g(x)|是奇函数
C.|f (x)|g(x)是奇函数 D.|f (x)g(x)|是奇函数
考法5 函数奇偶性的应用
10(1)[2020湖北部分重点中学高三测试]已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f (x)=log2( - x)+m,f (12)=2,则实数m=
A.22 B. - 22 C.2+1 D. - 2+1
(2)已知函数f (x)为奇函数且定义域为R,当x>0时,f (x)=x+1,则f (x)的解析式为 .
(1)解法一 令x>0,则 - x<0,所以f ( - x)=log2x+m,因为f (x)是R上的奇函数,所以f ( - x)= - f (x),
所以x>0时,f (x)= - f ( - x)= - log2x - m,因为f (12)=2,所以2= - log212 - m,解得m= - 2+1,故选D.
解法二 因为f (x)是R上的奇函数,f (12)=2,所以f ( - 12)= - 2,因为当x<0时,f (x)=log2( - x)+m,
所以 - 2=log2[ - ( - 12)]+m,所以m= - 2+1,故选D.
(2)因为f (x)为奇函数,所以f ( - x)= - f (x).
当x=0时,有f ( - 0)= - f (0),所以f (0)=0.
当x<0时, - x>0.f (x)= - f ( - x)= - ( - x+1)=x - 1.
所以f (x)=x+1,x>0,0,x=0,x-1,x<0.
4.[2020陕西省部分学校摸底测试]若函数f (x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f (x)+2g(x)=ex,则( )
A.f ( - 2)
11已知f (x)是定义在R上的偶函数,并且f (x+3)= - 1f(x),当1
由已知可得f (x+6)=f ((x+3)+3)= - 1f(x+3)= - 1-1f(x)=f (x),故函数f (x)的周期为6,
∴f (2 020)=f (6×336+4)=f (4).
∵ f (x)为偶函数,∴f (1)=f ( - 1),则f (4)=f (1+3)= - 1f(1)= - 1f(-1)=f (2)=cos2π3= - 12,∴f (2 020)= - 12.
5.[2016山东高考]已知函数f (x)的定义域为R.当x<0时,f (x)=x3 - 1;当 - 1≤x≤1时,f ( - x)= - f (x);当x>12时,
f (x+12)=f (x - 12).则f (6)=( )
A. - 2 B. - 1 C.0 D.2
考法7 函数性质的综合应用
12 (1)[2019全国卷Ⅲ]设f (x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则
A.f (log314)>f (2-32)>f (2-23) B.f (log314)>f (2-23)>f (2-32)
C.f (2-32)>f (2-23)>f (log314) D.f (2-23)>f (2-32)>f (log314)
(2)[2018全国卷Ⅱ]已知f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,满足f (1 - x)=f (1+x).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=
A. - 50 B.0 C.2 D.50
(1)根据函数f (x)为偶函数可知,f (log314)=f ( - log34)=f (log34),∵ 0<2-32<2-23< 20
(2)解法一 ∵ f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,
∴f ( - x)= - f (x),且f (0)=0.∵ f (1 - x)=f (1+x),
∴f ( - x)=f (2+x),∴f (2+x)= - f (x),∴f (4+x)= - f (2+x)=f (x),∴f (x)是周期函数,且一个周期为4,∴f (4)=f (0)=0,f (2)=f (1+1)=f (1 - 1)=
f (0)=0,f (3)=f (1+2)=f (1 - 2)= - f (1)= - 2,∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (50)=12×0+f (49)+f (50)=f (1)+f (2)=2.
解法二 因为函数f (x)满足f (1 - x)=f (1+x),可知f (x)的图象关于直线x=1对称.
又f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,所以f (0)=0,且已知f (1)=2,计算可得:
f (2)=f (0)=0,
f (3)=f ( - 1)= - f (1)= - 2,
f (4)=f ( - 2)= - f (2)=0,
f (5)=f ( - 3)= - f (3)=2,
f (6)=f ( - 4)= - f (4)=0,
f (7)=f ( - 5)= - f (5)= - 2,
f (8)=f ( - 6)= - f (6)=0,……
所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (49)+f (50)=(2+0 - 2+0)×12+2+0=2.
(1)C (2)C
6.已知定义在R上的函数f (x),对任意实数x有f (x+4)= - f (x)+22,若函数f (x - 1)的图象关于直线x=1对称,f (5)=2,则f (2 021)= .
266
1.B 对于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2∈D(x1≠x2),(x1 - x2)[f (x1) - f (x2)]>0⇔x1>x2,f(x1)>f(x2)或x1
3.D 解法一 依题意得,当x<0时,f (x)= - f ( - x)= - (e - x - 1)= - e - x+1,选D.
解法二 依题意得,f ( - 1)= - f (1)= - (e1 - 1)=1 - e,结合选项知,选D.
4.C 易知f (x)在( - ∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递增,因为f (1)=4,f (17)=4,所以a的取值范围为[1,17].
5.( - 1,0)∪(1,2) 函数f (x)的定义域为(0,+∞),且y=x3与y=ln x在(0,+∞)上都是增函数,故f (x)=x3+ln x在定义域内为增函数,则0
7.6 由f (x)=3e|x-1|-sin(x-1)e|x-1|=3 - sin(x-1)e|x-1|,x∈[ - 3,5],可得f (x+1)=3 - sinxe|x|,x∈[ - 4,4],令g(x)=f (x+1) - 3= - sinxe|x|,x∈[ - 4,4],可得g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点对称.设g(x)在[ - 4,4]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=0.易知p=M+3,q=m+3,所以p+q=6.
1.(1) - 3≤a≤ - 2 由题意,得-a2≥1,a<0,a≥-1-a-5,解得 - 3≤a≤ - 2.
(2)(12,32) 因为f (x)是定义在R上的偶函数,且在区间( - ∞,0)上单调递增,所以f (x)在区间(0,+∞)上单调递减.又f (2|a - 1|)>f ( - 2),且f ( - 2)=f (2),所以 - 2<2|a - 1|<2,则|a - 1|<12,所以12
(2)12 因为f (x)=sinπx22x-1+2-x+1,设f 1(x)=2x - 1+2 - x+1,
所以f 1(x)=2x - 1+12x-1≥22x-1·12x-1=2,
当且仅当2x - 1=12x-1,即x=1时取等号,
即当x=1时, f 1(x)min=2.
设f 2(x)=sinπx2,则f 2(x)max=f 2(1)=sinπ2=1,
所以函数f (x)的最大值是f (x)max=12.
3.B 因为f (x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f (x)g(x)为奇函数,f (x)|g(x)|为奇函数,|f (x)|g(x)为偶函数,|f (x)g(x)|为偶函数,故选B.
4.D 因为函数f (x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f (x)+2g(x)=ex ①,所以f ( - x)+2g( - x)=e - x,即f (x) - 2g(x)=e - x ②.联立①②,解得f(x)=ex+e-x2,g(x)=ex-e-x4,所以f ( - 2)=e-2+e22>0,f ( - 3)=e-3+e32>0,g( - 1)=e-1-e4<0.因为f ( - 3) - f ( - 2)=e-3+e32 - e-2+e22=(e-1)(e2-e-3)2>0,所以g( - 1)<
f ( - 2)
f (6)=2,故选D.
6.2 由函数y=f (x - 1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f (x)的图象关于y轴对称,故f (x)为偶函数.
由f (x+4)= - f (x)+22,得f (x+4+4)= - f (x+4)+22=f (x),所以f (x)是最小正周期为8的偶函数,
所以f (2 021)=f (5+252×8)=f (5)=2.
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