2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第九章第五讲　抛物线学案

这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第九章第五讲　抛物线学案，共14页。
第五讲　抛物线


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[2019全国卷Ⅱ]若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
2.[多选题]已知抛物线x2=12y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上的两点,则下列结论正确的是(　　)
A.点F的坐标为(18,0)
B.若直线MN过点F,则x1x2=-116
C.若MF=λNF,则|MN|的最小值为12
D.若|MF|+|NF|=32,则线段MN的中点P到x轴的距离为58
3.[2020安徽合肥高三调研]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F ,斜率为k的直线过F 交C于点A,B,AF=2FB,则直线AB的斜率为(　　)
A.22 B.23 C.±22 D.±23
4.[2020广东高三四校联考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F ,O为坐标原点,点M,N为抛物线准线上相异的两点,且M,N两点的纵坐标之积为 - 4,直线OM,ON分别交抛物线于A,B两点,若A,F ,B三点共线,则p=　　　　. 
5.[2018全国卷Ⅲ]已知点M( - 1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则 k=　　　　. 
6.[2020四川成都市毕业班摸底考试]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F ,准线为l.若位于x轴上方的动点A在准线l上,线段AF 与抛物线C相交于点B,且|AF||BF| - |AF |=1,则抛物线C的标准方程为　　　　　. 
7.[2020浙江温州九校第一次联考]已知抛物线y2=4x的焦点F ,过点F 作直线l交抛物线于A,B两点,则1|AF|+1|BF|=　　　　,
16|AF| - |BF |2的最大值为　　　　. 
　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法1 抛物线定义的应用
1已知抛物线y2=2x的焦点是F ,点P是抛物线上的动点,若A(3,2),则|PA|+|PF |的最小值为　　　　,此时点P的坐标为　　　　. 
利用抛物线的定义可知|PF |等于点P到准线的距离,从而将|PA|+|PF |的最小值问题转化为点P到点A和到准线的距离之和最小的问题.
将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±6.因为6>2,所以点A在抛物线内部,如图9 - 5- 1所示.
作抛物线的准线l,过点P作PQ⊥l于点Q,则|PA|+|PF |=|PA|+|PQ|,(运用定义进行转化)
当PA⊥l,即A,P,Q三点共线时,|PA|+|PQ|最小,(两点之间线段最短)
最小值为72,即|PA|+|PF |的最小值为72,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,所以此时点P的坐标为(2,2).
1.(1)[2017全国卷Ⅰ]已知F 为抛物线C:y2=4x的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
(2)[2020湖北省部分重点中学联考]已知动圆P恒过定点(14,0),且与直线x= - 14相切,则动圆P的圆心轨迹M的方程为　　　　　. 
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
2(1)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F ,点M在C上,|MF |=5.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C的方程为
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
(2)[2020惠州高三第一次调研]已知F 是抛物线C:y=2x2的焦点,N是x轴上一点,线段F N与抛物线C相交于点M,若2FM=MN,则|F N|=
A.58 B.12 C.38 D.1

(1)思路一　设A(0,2),由以MF 为直径的圆过点(0,2)得到AF·AM=0→由|MF |=5求出p值→得到抛物线C的方程
思路二　由以MF 为直径的圆过点(0,2)得到点M的坐标→由圆与y轴相切求出p值→得到抛物线C的方程
思路三　由以焦半径为直径的圆恒与y轴相切得到点M的坐标→将点M的坐标代入抛物线方程求出p值→得到抛物线C的方程


(1)解法一　由已知得抛物线的焦点F (p2,0),设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则AF=(p2, - 2),AM=(y022p,y0 - 2).由已知得AF·AM=0,(由以MF 为直径的圆过点(0,2)可得)
即y02 - 8y0+16=0,得y0=4,M(8p,4).由|MF |=5,得(8p-p2)2+16=5,又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
解法二　因为以MF 为直径的圆过点(0,2),所以点M在第一象限.由|MF |=xM+p2=5,
得xM=5 - p2,即M(5 - p2,2p(5-p2)).
设以MF 为直径的圆的圆心为N,则N的坐标为(52,122p(5-p2)).(N为MF 的中点)
因为点N的横坐标恰好等于圆的半径,所以圆与y轴相切于点(0,2),所以2=122p(5-p2),即p2 - 10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
解法三　易知点M在第一象限,由抛物线的定义得xM+p2=5,即xM=5 - p2,在抛物线中,以焦半径为直径的圆恒与y轴相切,由题意知切点为(0,2),则M点的纵坐标为4,将M(5 - p2,4)代入抛物线方程得16=2p(5 - p2),即p2 - 10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
(2)解法一　因为F 是抛物线C:y=2x2的焦点,所以 F (0,18),抛物线C的准线方程为y= - 18.如图
9 - 5 - 2,过点M作抛物线的准线的垂线,交x轴于点A,交抛物线C的准线于点B,则MA∥OF ,所以|MA||OF|=|MN||FN|.因为2FM=MN,所以|MA|=23×18=112,|MF |=|MB|=112+18=524,|F N|=3|F M|=58,
故选A.
解法二　因为F 是抛物线y=2x2的焦点,所以F (0,18).设N(x0,0),则由2FM=MN,可得M(13x0,112),代入抛物线方程,得112=2×(13x0)2,解得x02=38,则|F N|=|ON|2+|OF|2=38+164=58,故选A.
(1)C　(2)A
2.[2017全国卷Ⅱ]已知F 是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,F M的延长线交y轴于点N.若M为F N的中点,则|F N|=　　　. 
考法3 直线与抛物线的综合问题
命题角度1　焦点弦问题
3如图9 - 5 - 3,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F 是AC的中点,且|AF |=4,则线段AB的长为
A.5　　B.6　　C.163　　D.203


如图9 - 5 - 4,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l,交l于点D,由抛物线的定义知, |AD|=
|AF |=4.由F 是AC的中点,知|AD|=2|MF |=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
解法一　(判别式法)设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2