2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：素养提升1　高考中函数与导数解答题的提分策略学案

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素养提升1　高考中函数与导数解答题的提分策略

1[2019全国卷Ⅲ,12分]已知函数f (x)=2x3 - ax2+b.
(1)讨论f (x)的单调性;
(2)是否存在a,b,使得f (x)在区间[0,1]上的最小值为 - 1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.
本题可拆解成以下几个小问题:
(1)①求函数f (x)=2x3 - ax2+b的导数;②利用分类讨论思想判断函数的单调性.
(2)①对a分类讨论,求函数f (x)的单调区间;②分别求函数f (x)的最值,列出关于a,b的方程组;②解方程组,判断a,b是否符合相应区间.
(1)对f (x)=2x3 - ax2+b求导,
得f ' (x)=6x2 - 2ax=2x(3x - a).①
令f ' (x)=0,得x=0或x=a3.
若a>0,则当x∈( - ∞,0)∪(a3,+∞)时,f ' (x)>0;当x∈(0,a3)时,f ' (x)0,
所以f (x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递增.2分
因为f (e)=1 - e+1e-10,
所以f (x)在(1,+∞)上有唯一零点,记此零点为x1,则f (x1)=0.4分
又02,令f ' (x)=0,得x=a-a2-42或x=a+a2-42.
当x∈(0,a-a2-42)∪(a+a2-42,+∞)时,f ' (x)0,g(x)在[1,+∞)上单调递增,
∵g(e)=1 - 2ae>0,与题设矛盾,∴a≤0不符合要求.(7分)
②若a≥2,则由(1)可知,g' (x)≤0,g(x)在[1,+∞)上单调递减,
∴g(x)≤g(1)= - 2a - 40.
由(1)知当a>0时,f (x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,存在f (x1)=f (x2).
不妨设02a - x1,即x1+x2>2a.(12分)
3.(1)当a=1时,f (x)=ln x - x2+x(x>0),f ' (x)=1x - 2x+1= - (2x+1)(x-1)x.
当f ' (x)1;当f ' (x)>0时,00,当x>a时,f ' (x)0时,函数f (x)的极大值为f (a)=a(ln a+a - 1).
令g(x)=ln x+x - 1(x>0),
则g' (x)=1x+1>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(1)=0,∴当00,
∵f (1e)=a(2e - 1) - 1e2 - 1e2),
则h' (x)=1x - 10,f ' (x)在(0,+∞)上单调递增,
当x - 1,所以1+a>0,即f ' (x)>0,
所以函数f (x)在R上单调递增.(4分)
(2)由(1)知f ' (x)在[1,+∞)上单调递增,
因为a1,则h' (x)=x(1 - ex)0,得x>ln b,由g' (x)0),则F' (x)=x(2ln x - 1),
由F' (x)>0,得x>e,由F' (x)