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新高考数学一轮复习教师用书:第二章 5 第5讲 指数与指数函数学案
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第5讲 指数与指数函数
1.根式
(1)根式的概念
①若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
②a的n次方根的表示:
xn=a⇒
(2)根式的性质
①()n=a(n∈N*,且n>1).
②=
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂:a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②负分数指数幂:a-==(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象及性质
函数
y=ax(a>0,且a≠1)
图象
0 a>1
图象特征
在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降
当x逐渐增大时,图象逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0,+∞)
单调性
减
增
函数值
变化
规律
当x=0时,y=1
当x<0时,y>1;
当x>0时,0
当x<0时,0
当x>0时,y>1
4.指数函数的变化特征
在同一平面直角坐标系中,分别作出指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx(a>1,b>1,0<c<1,0<d<1)的图象,如图所示.
作出直线x=1,分别与四个图象自上而下交于点A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),得到底数的大小关系是:a>b>1>c>d>0.根据y轴右侧的图象,也可以利用口诀:“底大图高”来记忆.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)=()n=a.( )
(2)(-1)=(-1)=.( )
(3)函数y=a-x是R上的增函数.( )
(4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).( )
(5)函数y=2x-1是指数函数.( )
(6)若am0,且a≠1),则m
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
[教材衍化]
1.(必修1P59A组T4改编)化简(x<0,y<0)=________.
解析:因为x<0,y<0,所以4=(16x8·y4)=(16)·(x8)·(y4)=2x2|y|=-2x2y.
答案:-2x2y
2.(必修1P55“思考”改编)函数y=2x与y=2-x的图象关于________对称.
解析:作出y=2x与y=2-x=的图象(图略),观察可知其关于y轴对称.
答案:y轴
3.(必修1P56例6改编)已知函数f(x)=ax-2+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则A的坐标为________.
解析:令x-2=0,则x=2,f(2)=3,即A的坐标为(2,3).
答案:(2,3)
[易错纠偏]
(1)忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;
(2)不能正确理解指数函数的概念致错;
(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况;
(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错.
1.计算+=________.
解析:+=(1+)+(-1)=2.
答案:2
2.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=________.
解析:由题意知即a=2.
答案:2
3.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=________.
解析:当a>1时,a=2;当0 即a=.
答案:2或
4.函数y=2的值域为________.
解析:因为≠0,
所以2>0且2≠1.
答案:(0,1)∪(1,+∞)
指数幂的运算
化简下列各式:
(1)+2-2·-(0.01)0.5;
(2)a·b-2·÷(a,b>0).
【解】 (1)原式=1+×-=1+×-=1+-=.
(2)原式=-a-b-3÷
=-a-b-3÷=-a-·b-
=-·=-.
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.
化简下列各式:
(1)(0.027)+-;
(2)·.
解:(1)原式=0.32+-
=+-=.
(2)原式===.
指数函数的图象及应用
(1)函数f(x)=21-x的大致图象为( )
(2)函数f(x)=|ax+b|(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则a+b的取值范围是________.
(3)若方程|3x-1|=k有一解,则k的取值范围为________.
【解析】 (1)函数f(x)=21-x=2×,单调递减且过点(0,2),选项A中的图象符合要求.
(2)因为根据图象得a>1,f()=0,b<0.
所以+b=0,所以a+b=a->1-=0.
(3)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.
当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解.
【答案】 (1)A (2)(0,+∞) (3){0}∪[1,+∞)
应用指数函数图象的4个技巧
(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
1.函数y=(a>1)的图象大致是( )
解析:选B.y=因为a>1,依据指数函数的图象特征可知选B.
2.若函数y=21-x+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围为________.
解析:y=+m,
函数y=的图象如图所示,则要使其图象不经过第一象限,则m≤-2.
答案:(-∞,-2]
指数函数的性质及应用(高频考点)
指数函数的性质主要是其单调性,特别受到高考命题专家的青睐,常以选择题、填空题的形式出现.主要命题角度有:
(1)比较指数式的大小;
(2)解简单的指数方程或不等式;
(3)复合函数的单调性;
(4)函数的值域(最值).
角度一 比较指数式的大小
设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a C.b 【解析】 因为函数y=0.6x是减函数,0<0.6<1.5,所以1>0.60.6>0.61.5,
即b0,所以1.50.6>1.50=1,即c>1.综上,b 【答案】 C
角度二 解简单的指数方程或不等式
设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
【解析】 当a<0时,不等式f(a)<1可化为-7<1,即<8,即<,因为0<<1,所以a>-3,此时-3 【答案】 C
角度三 复合函数的单调性
(1)函数f(x)=的单调减区间为________.
(2)(2020·金华十校联考)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于________.
【解析】 (1)设u=-x2+2x+1,
因为y=在R上为减函数,
所以函数f(x)=的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间.
又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1],
所以f(x)的减区间为(-∞,1].
(2)因为f(x)=2|x-a|,
所以f(x)的图象关于x=a对称.又由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的图象关于直线x=1对称,故a=1,且f(x)的增区间是[1,+∞),由函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,知[m,+∞)⊆[1,+∞),
所以m≥1,故m的最小值为1.
【答案】 (1)(-∞,1] (2)1
角度四 函数的值域(最值)
如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为( )
A. B.1
C.3 D.或3
【解析】 令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,
又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,
所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(负值舍去).
当0 所以t∈,
又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,
则ymax=-2=14,解得a=(负值舍去).
综上知a=3或a=.
【答案】 D
有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1).
(2)求解简单的指数不等式问题,应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.
[提醒] 在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论.
1.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________.
解析:当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.
答案:-
2.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是________.
解析:当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],当a≤x<0时,f(x)∈,所以[-8,1],即-8≤-<-1,即-3≤a<0,
所以实数a的取值范围是[-3,0).
答案:[-3,0)
[基础题组练]
1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
解析:选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.
2.化简4a·b-÷的结果为( )
A.- B.-
C.- D.-6ab
解析:选C.原式=a-b--=-6ab-1=-,故选C.
3.下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
解析:选B.A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73.B中,因为y=0.6x在R上是减函数,-1<2,所以0.6-1>0.62.C中,因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2.D中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.
4.(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:选B.由f(1)=得a2=.
又a>0,所以a=,因此f(x)=.
因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
5.已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫作函数y=f(x)的“不动区间”,若区间[1,2]为函数y=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是( )
A.(0,2] B.
C. D.∪
解析:选C.因为函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,
所以F(x)=f(-x)=|2-x-t|,
因为区间[1,2]为函数f(x)=|2x-t|的“不动区间”,
所以函数f(x)=|2x-t|和函数F(x)=|2-x-t|在[1,2]上单调性相同,
因为y=2x-t和函数y=2-x-t的单调性相反,
所以(2x-t)(2-x-t)≤0在[1,2]上恒成立,
即1-t(2x+2-x)+t2≤0在[1,2]上恒成立,
即2-x≤t≤2x在[1,2]上恒成立,
即≤t≤2,故答案为C.
6.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________.
解析:设f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.
且f(m)=am=3.
所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.
答案:
7.(2020·杭州中学高三月考)已知ex+x3+x+1=0,-27y3-3y+1=0,则ex+3y的值为________.
解析:因为ex+x3+x+1=0,-27y3-3y+1=0等价于e-3y+(-3y)3+(-3y)+1=0,所以x=-3y,即x+3y=0,所以ex+3y=e0=1.
答案:1
8.若函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是________.
解析:依题意,a应满足解得 答案:
9.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是________.
解析:原不等式变形为m2-m<,
因为函数y=在(-∞,-1]上是减函数,
所以≥=2,
当x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-1
答案:(-1,2)
10.已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
解:(1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3,
由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),
单调递减区间是(-∞,-2).
(2)令g(x)=ax2-4x+3,f(x)=,
由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
11.已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).
(1)若f(x)为偶函数,求b的值;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.
解:(1)因为f(x)为偶函数,
所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),
即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.
(2)记h(x)=|x+b|=
①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,
即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,b≥-2.
②当0 所以f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b应满足的条件为a>1且b≥-2.
[综合题组练]
1.已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
解析:选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,因为af(c)>f(b),结合图象知,00,所以0<2a<1.所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2,故选D.
2.(2020·衢州市高考模拟)已知函数f(x)=,则此函数图象上关于原点对称的点有( )
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
解析:选B.作出函数y=f(x)图象如图所示:
再作出-y=f(-x),即y=x2-4x,恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称,记为曲线C,发现y=与曲线C有且仅有一个交点,
因此满足条件的对称点只有一对,图中的A、B就是符合题意的点.故选B.
3.(2020·杭州模拟)已知函数y=ax+b(a>0,且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),如图所示,则+的最小值为________,此时a,b的值分别为________.
解析:由函数y=ax+b(a>0且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),得a+b=3,所以+=1,又a>1,则+==2+++≥+2 =,当且仅当=,即a=,b=时取等号,所以+的最小值为.
答案: ,
4.(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)=e|x|,将函数f(x)的图象向右平移3个单位后,再向上平移2个单位,得到函数g(x)的图象,函数h(x)=若对于任意的x∈[3,λ](λ>3),都有h(x)≥g(x),则实数λ的最大值为________.
解析:依题意,g(x)=f(x-3)+2=e|x-3|+2,在同一坐标系中分别作出g(x),h(x)的图象如图所示,观察可得,要使得h(x)≥g(x),则有4e6-x+2≥e(x-3)+2,故4≥e2x-9,解得2x-9≤ln 4,故x≤ln 2+,实数λ的最大值为ln 2+.
答案:ln 2+
5.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]上的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1
=2(2x)2-2x-1,
令t=2x,x∈[-3,0],则t∈.
故y=2t2-t-1=2-,t∈,
故值域为.
(2)关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,
设2x=m>0,
等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解,
记g(m)=2am2-m-1,
当a=0时,解为m=-1<0,不成立.
当a<0时,开口向下,对称轴m=<0,
过点(0,-1),不成立.
当a>0时,开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,综上得a>0.
6.(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f(x)=,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).
(1)求h(a);
(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:
①m>n>3;
②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
解:(1)因为x∈[-1,1],
所以f(x)=∈,
设t=∈.
则y=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.
当a<时,ymin=h(a)=φ=-;
当≤a≤3时,ymin=h(a)=φ(a)=3-a2;
当a>3时,ymin=h(a)=φ(3)=12-6a.
所以h(a)=
(2)假设存在m,n满足题意.
因为m>n>3,h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数,
又因为h(a)的定义域为[n,m],
值域为[n2,m2],
所以两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n),即m+n=6,与m>n>3矛盾,
所以满足题意的m,n不存在.
第5讲 指数与指数函数
1.根式
(1)根式的概念
①若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
②a的n次方根的表示:
xn=a⇒
(2)根式的性质
①()n=a(n∈N*,且n>1).
②=
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂:a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②负分数指数幂:a-==(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象及性质
函数
y=ax(a>0,且a≠1)
图象
0 a>1
图象特征
在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降
当x逐渐增大时,图象逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0,+∞)
单调性
减
增
函数值
变化
规律
当x=0时,y=1
当x<0时,y>1;
当x>0时,0
4.指数函数的变化特征
在同一平面直角坐标系中,分别作出指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx(a>1,b>1,0<c<1,0<d<1)的图象,如图所示.
作出直线x=1,分别与四个图象自上而下交于点A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),得到底数的大小关系是:a>b>1>c>d>0.根据y轴右侧的图象,也可以利用口诀:“底大图高”来记忆.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)=()n=a.( )
(2)(-1)=(-1)=.( )
(3)函数y=a-x是R上的增函数.( )
(4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).( )
(5)函数y=2x-1是指数函数.( )
(6)若am
[教材衍化]
1.(必修1P59A组T4改编)化简(x<0,y<0)=________.
解析:因为x<0,y<0,所以4=(16x8·y4)=(16)·(x8)·(y4)=2x2|y|=-2x2y.
答案:-2x2y
2.(必修1P55“思考”改编)函数y=2x与y=2-x的图象关于________对称.
解析:作出y=2x与y=2-x=的图象(图略),观察可知其关于y轴对称.
答案:y轴
3.(必修1P56例6改编)已知函数f(x)=ax-2+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则A的坐标为________.
解析:令x-2=0,则x=2,f(2)=3,即A的坐标为(2,3).
答案:(2,3)
[易错纠偏]
(1)忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;
(2)不能正确理解指数函数的概念致错;
(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况;
(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错.
1.计算+=________.
解析:+=(1+)+(-1)=2.
答案:2
2.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=________.
解析:由题意知即a=2.
答案:2
3.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=________.
解析:当a>1时,a=2;当0 即a=.
答案:2或
4.函数y=2的值域为________.
解析:因为≠0,
所以2>0且2≠1.
答案:(0,1)∪(1,+∞)
指数幂的运算
化简下列各式:
(1)+2-2·-(0.01)0.5;
(2)a·b-2·÷(a,b>0).
【解】 (1)原式=1+×-=1+×-=1+-=.
(2)原式=-a-b-3÷
=-a-b-3÷=-a-·b-
=-·=-.
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.
化简下列各式:
(1)(0.027)+-;
(2)·.
解:(1)原式=0.32+-
=+-=.
(2)原式===.
指数函数的图象及应用
(1)函数f(x)=21-x的大致图象为( )
(2)函数f(x)=|ax+b|(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则a+b的取值范围是________.
(3)若方程|3x-1|=k有一解,则k的取值范围为________.
【解析】 (1)函数f(x)=21-x=2×,单调递减且过点(0,2),选项A中的图象符合要求.
(2)因为根据图象得a>1,f()=0,b<0.
所以+b=0,所以a+b=a->1-=0.
(3)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.
当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解.
【答案】 (1)A (2)(0,+∞) (3){0}∪[1,+∞)
应用指数函数图象的4个技巧
(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
1.函数y=(a>1)的图象大致是( )
解析:选B.y=因为a>1,依据指数函数的图象特征可知选B.
2.若函数y=21-x+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围为________.
解析:y=+m,
函数y=的图象如图所示,则要使其图象不经过第一象限,则m≤-2.
答案:(-∞,-2]
指数函数的性质及应用(高频考点)
指数函数的性质主要是其单调性,特别受到高考命题专家的青睐,常以选择题、填空题的形式出现.主要命题角度有:
(1)比较指数式的大小;
(2)解简单的指数方程或不等式;
(3)复合函数的单调性;
(4)函数的值域(最值).
角度一 比较指数式的大小
设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a C.b 【解析】 因为函数y=0.6x是减函数,0<0.6<1.5,所以1>0.60.6>0.61.5,
即b0,所以1.50.6>1.50=1,即c>1.综上,b 【答案】 C
角度二 解简单的指数方程或不等式
设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
【解析】 当a<0时,不等式f(a)<1可化为-7<1,即<8,即<,因为0<<1,所以a>-3,此时-3 【答案】 C
角度三 复合函数的单调性
(1)函数f(x)=的单调减区间为________.
(2)(2020·金华十校联考)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于________.
【解析】 (1)设u=-x2+2x+1,
因为y=在R上为减函数,
所以函数f(x)=的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间.
又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1],
所以f(x)的减区间为(-∞,1].
(2)因为f(x)=2|x-a|,
所以f(x)的图象关于x=a对称.又由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的图象关于直线x=1对称,故a=1,且f(x)的增区间是[1,+∞),由函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,知[m,+∞)⊆[1,+∞),
所以m≥1,故m的最小值为1.
【答案】 (1)(-∞,1] (2)1
角度四 函数的值域(最值)
如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为( )
A. B.1
C.3 D.或3
【解析】 令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,
又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,
所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(负值舍去).
当0 所以t∈,
又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,
则ymax=-2=14,解得a=(负值舍去).
综上知a=3或a=.
【答案】 D
有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1).
(2)求解简单的指数不等式问题,应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.
[提醒] 在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论.
1.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________.
解析:当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.
答案:-
2.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是________.
解析:当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],当a≤x<0时,f(x)∈,所以[-8,1],即-8≤-<-1,即-3≤a<0,
所以实数a的取值范围是[-3,0).
答案:[-3,0)
[基础题组练]
1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
解析:选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.
2.化简4a·b-÷的结果为( )
A.- B.-
C.- D.-6ab
解析:选C.原式=a-b--=-6ab-1=-,故选C.
3.下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
解析:选B.A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73.B中,因为y=0.6x在R上是减函数,-1<2,所以0.6-1>0.62.C中,因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2.D中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.
4.(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:选B.由f(1)=得a2=.
又a>0,所以a=,因此f(x)=.
因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
5.已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫作函数y=f(x)的“不动区间”,若区间[1,2]为函数y=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是( )
A.(0,2] B.
C. D.∪
解析:选C.因为函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,
所以F(x)=f(-x)=|2-x-t|,
因为区间[1,2]为函数f(x)=|2x-t|的“不动区间”,
所以函数f(x)=|2x-t|和函数F(x)=|2-x-t|在[1,2]上单调性相同,
因为y=2x-t和函数y=2-x-t的单调性相反,
所以(2x-t)(2-x-t)≤0在[1,2]上恒成立,
即1-t(2x+2-x)+t2≤0在[1,2]上恒成立,
即2-x≤t≤2x在[1,2]上恒成立,
即≤t≤2,故答案为C.
6.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________.
解析:设f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.
且f(m)=am=3.
所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.
答案:
7.(2020·杭州中学高三月考)已知ex+x3+x+1=0,-27y3-3y+1=0,则ex+3y的值为________.
解析:因为ex+x3+x+1=0,-27y3-3y+1=0等价于e-3y+(-3y)3+(-3y)+1=0,所以x=-3y,即x+3y=0,所以ex+3y=e0=1.
答案:1
8.若函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是________.
解析:依题意,a应满足解得 答案:
9.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是________.
解析:原不等式变形为m2-m<,
因为函数y=在(-∞,-1]上是减函数,
所以≥=2,
当x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-1
10.已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
解:(1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3,
由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),
单调递减区间是(-∞,-2).
(2)令g(x)=ax2-4x+3,f(x)=,
由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
11.已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).
(1)若f(x)为偶函数,求b的值;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.
解:(1)因为f(x)为偶函数,
所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),
即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.
(2)记h(x)=|x+b|=
①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,
即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,b≥-2.
②当0 所以f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b应满足的条件为a>1且b≥-2.
[综合题组练]
1.已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
解析:选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,因为af(c)>f(b),结合图象知,0
2.(2020·衢州市高考模拟)已知函数f(x)=,则此函数图象上关于原点对称的点有( )
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
解析:选B.作出函数y=f(x)图象如图所示:
再作出-y=f(-x),即y=x2-4x,恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称,记为曲线C,发现y=与曲线C有且仅有一个交点,
因此满足条件的对称点只有一对,图中的A、B就是符合题意的点.故选B.
3.(2020·杭州模拟)已知函数y=ax+b(a>0,且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),如图所示,则+的最小值为________,此时a,b的值分别为________.
解析:由函数y=ax+b(a>0且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),得a+b=3,所以+=1,又a>1,则+==2+++≥+2 =,当且仅当=,即a=,b=时取等号,所以+的最小值为.
答案: ,
4.(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)=e|x|,将函数f(x)的图象向右平移3个单位后,再向上平移2个单位,得到函数g(x)的图象,函数h(x)=若对于任意的x∈[3,λ](λ>3),都有h(x)≥g(x),则实数λ的最大值为________.
解析:依题意,g(x)=f(x-3)+2=e|x-3|+2,在同一坐标系中分别作出g(x),h(x)的图象如图所示,观察可得,要使得h(x)≥g(x),则有4e6-x+2≥e(x-3)+2,故4≥e2x-9,解得2x-9≤ln 4,故x≤ln 2+,实数λ的最大值为ln 2+.
答案:ln 2+
5.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]上的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1
=2(2x)2-2x-1,
令t=2x,x∈[-3,0],则t∈.
故y=2t2-t-1=2-,t∈,
故值域为.
(2)关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,
设2x=m>0,
等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解,
记g(m)=2am2-m-1,
当a=0时,解为m=-1<0,不成立.
当a<0时,开口向下,对称轴m=<0,
过点(0,-1),不成立.
当a>0时,开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,综上得a>0.
6.(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f(x)=,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).
(1)求h(a);
(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:
①m>n>3;
②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
解:(1)因为x∈[-1,1],
所以f(x)=∈,
设t=∈.
则y=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.
当a<时,ymin=h(a)=φ=-;
当≤a≤3时,ymin=h(a)=φ(a)=3-a2;
当a>3时,ymin=h(a)=φ(3)=12-6a.
所以h(a)=
(2)假设存在m,n满足题意.
因为m>n>3,h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数,
又因为h(a)的定义域为[n,m],
值域为[n2,m2],
所以两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n),即m+n=6,与m>n>3矛盾,
所以满足题意的m,n不存在.