新高考数学一轮复习教师用书：第七章　1 第1讲　不等关系与不等式学案

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知识点
最新考纲
不等关系与不等式
了解不等关系，掌握不等式的基本性质.
一元二次不等式及其解法
了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式.
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.
基本不等式
≤(a，b＞0)
掌握基本不等式≤(a，b＞0)及其应用.
绝对值不等式
会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．
了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
第1讲　不等关系与不等式


1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a 2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，
a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
3．不等式的一些常用性质
(1)有关倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.
②a<0 ③a>b>0，0.
④0 (2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①<；>(b－m>0)．
②>；<(b－m>0)．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a (2)若>1，则a>b.(　　)
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)
(5)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　)
(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
[教材衍化]
1．(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.－>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，
但由a2－b2>0⇒/ －>0.
2．(必修5P75A组T2改编)______(填“>”“<”或“＝”)．
解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<.
答案：<
3．(必修5P75B组T1改编)若0 解析：令a＝，b＝，
则2ab＝2××＝，
a2＋b2＝＋＝，
故a<2ab<<＝a2＋b2 答案：a<2ab< [易错纠偏]
(1)乱用不等式的相乘性致错；
(2)命题的必要性出错；
(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．
1．若a>b>0，c A.－>0 B.－<0
C.> D.<
解析：选D.因为c 又0ac，
又因为cd>0，所以>，即>.
2．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．
解析：若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析：由－<α<，－<－β<，α<β，
得－π<α－β<0.
答案：(－π，0)


　　　　　　　用不等式(组)表示不等关系
某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解】　设甲、乙两种产品的月产量分别为x，y，则由题意可知

用不等式(组)表示不等关系
(1)分析题中有哪些未知量．
(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x或x，y，再用x或x，y来表示其他未知量．
(3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．
[提醒]　在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．　
　某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
则即

　　　　　　不等式的性质及应用(高频考点)
不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：
(1)判断命题的真假；
(2)与充要条件相结合命题的判断；
(3)求代数式的取值范围．
角度一　判断命题的真假
(1)设a，b，c∈R，且a>b，则(　　)
A．ac>bc　　　　　 　　　 B.<
C．a2>b2 D．a3>b3
(2)下列命题中，正确的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<，则a D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
【解析】　(1)A项，c≤0时，由a>b不能得到ac>bc，故不正确；
B项，当a>0，b<0(如a＝1，b＝－2)时，由a>b不能得到<，故不正确；
C项，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)及a>b可知当a＋b<0时(如a＝－2，b＝－3或a＝2，b＝－3)均不能得到a2>b2，故不正确；
D项，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·，因为＋b2 >0，所以可由a>b知a3－b3>0，即a3>b3，故正确．
(2)A：取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B：当c<0时，ac>bc⇒a0，所以a 【答案】　(1)D　(2)C
角度二　与充要条件相结合命题的判断
(1)设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】　(1)(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a (2)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b>0时，由a>b有|a|>|b|，
所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.
【答案】　(1)A　(2)C
角度三　求代数式的取值范围
(2020·台州高三模拟)若α，β满足则α＋3β的取值范围为________．
【解析】　设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
则解得
因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
所以α＋3β的取值范围是[1，7]．
【答案】　[1，7]

(1)判断不等式命题真假的方法
①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．
②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．
(2)充要条件的判断方法
利用两命题间的关系，看p能否推出q，再看q能否推出p，充分利用不等式性质或特值求解．
(3)求代数式的取值范围
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．　
　已知△ABC的三边长a，b，c满足b＋c≤2a，c＋a≤2b，则的取值范围是________．
解析：因为b＋c≤2a，c＋a≤2b，c＞a－b，c＞b－a，
所以问题等价于不等式组有解，
所以⇒＜＜，
即的取值范围是.
答案：

　　　　　　比较两个数(式)的大小
(1)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0，1]．证明：f(x)≥1－x＋x2；
(2)若a＝，b＝，比较a与b的大小．
【解】　(1)证明：因为1－x＋x2－x3＝＝，由于x∈[0，1]，有≤，
即1－x＋x2－x3≤，
所以f(x)≥1－x＋x2.
(2)因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log8 9＞1，所以a＞b.

　

1．设m＝(x＋2)(x＋3)，n＝2x2＋5x＋9，则m与n的大小关系为(　　)
A．m>n B．m C．m≥n D．m≤n
解析：选B.m－n＝x2＋5x＋6－(2x2＋5x＋9)
＝－x2－3<0，所以m 2．比较＋与a＋b(a>0，b>0)两个代数式的大小．
解：因为＋－(a＋b)＝
＝＝
＝.
又因为a>0，b>0，所以≥0，
故＋≥a＋b.
[基础题组练]
1．(2020·嘉兴期中)若x＞y，m＞n，下列不等式正确的是(　　)
A．m－y＞n－x　　　　　　 B．xm＞yn
C.＞ D．x－m＞y－n
解析：选A.对于B，x＝1，y＝－2，m＝－1，n＝－2时不成立，
对于C，x＝1，y＝－2，m＝－1，n＝－2时不成立，
因为x＞y，m＞n，所以x＋m＞y＋n，所以m－y＞n－x.A正确，
易知D不成立，故选A.
2．(2020·义乌质检)设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0，π) D.
解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤≤，
所以－≤－≤0，所以－<2α－<π.
3．设实数x，y满足0＜xy＜1且0＜x＋y＜1＋xy，那么x，y的取值范围是(　　)
A．x＞1且y＞1 B．0＜x＜1且y＜1
C．0＜x＜1且0＜y＜1 D．x＞1且0＜y＜1
解析：选C.⇒又x＋y＜1＋xy，所以1＋xy－x－y＞0，即(x－1)(y－1)＞0，所以或(舍去)，所以
4．(2020·温州校级月考)下列不等式成立的是(　　)
A．若|a|＜b，则a2＞b2
B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则a2＞b2
D．若a＞|b|，则a2＞b2
解析：选D.若|a|＜b，则a2＜b2，故A错误；若a＝b＜0，则|a|＞b，则a2＝b2，故B错误；
若－a＝b＜0，则a＞b，则a2＝b2，故C错误；
若a＞|b|，则a2＞b2，故D正确．故选D.
5．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
解析：选C.当c＝0时，可知A不正确；当c＜0时，可知B不正确；由a3＞b3且ab＜0知a＞0且b＜0，所以＞成立，C正确；当a＜0且b＜0时，可知D不正确．
6．已知实数a，b，c.(　　)
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2<100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
解析：选D.取a＝10，b＝10，c＝－110，可排除选项A；取a＝10，b＝－100，c＝0，可排除选项B；取a＝10，b＝－10，c＝0，可排除选项C.故选D.
7．(2020·严州模拟)若a1 解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，
因为a1 所以(a1－a2)(b1－b2)>0，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
8．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，
即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
9．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．
解析：矩形靠墙的一边长为x m，则另一边长为 m，即 m，根据题意知
答案：
10．已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
解析：因为f(x)过原点，所以设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
由得
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又
所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即f(－2)的取值范围是[6，10]．
答案：[6，10]
11．(2020·嘉兴期中)已知a，b是正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
因为a≠b，a＞0，b＞0，
所以(a－b)2(a＋b)＞0，
所以a3＋b3＞a2b＋ab2.
12．已知a＞b＞0，m＞0且m≠a.试比较：与的大小．
解：－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以a－b>0，m(a－b)>0.
(1)当a>m时，a(a－m)>0，
所以>0，
即－>0，
故>.
(2)当a 所以<0，
即－<0，故<.
[综合题组练]
1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知a>0且a≠1，则“ab>1”是“(a－1)b>0”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由ab>1⇒或由(a－1)b>0⇒或又a>0且a≠1，所以“ab>1”是“(a－1)b>0”的充要条件．
2．若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＋< B. C．a＋ D．log2(a＋b) 解析：选B.根据题意，令a＝2，b＝进行验证，易知a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2＞1，因此a＋＞log2(a＋b)＞.
3．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析：因为ab2>a>ab，
所以a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1 即无解．
综上可得b<－1.
答案：(－∞，－1)
4．已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lg ≤2，则lg 的取值范围是________．
解析：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg ≤2得1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2，而lg ＝2lg x－lg y＝(lg x＋lg y)＋(lg x－lg y)，所以－1≤lg ≤5.
答案：[－1，5]
5．(2020·金华十校联考)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5 折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1 当n<5时，y1>y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
6．设不等式＋≤a对一切x＞0，y＞0恒成立，求实数a的最小值．
解：原题即a≥对一切x＞0，y＞0恒成立，
设A＝，
A2＝＝1＋≤2，
当x＝y时等号成立，因为A＞0，
所以0＜A≤ ，即A有最大值.
所以当a≥ 时，＋≤a对一切x＞0，y＞0恒成立．
所以a的最小值为.