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新高考数学一轮复习教师用书：第九章 2 第2讲 两直线的位置关系学案
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这是一份新高考数学一轮复习教师用书：第九章 2 第2讲 两直线的位置关系学案，共16页。
第2讲 两直线的位置关系
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件
两直线的位置关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2
平行
k1＝k2
k1与k2都不存在
垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、另一个不存在
2.两直线的交点
3．三种距离
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
4.几种常见的直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[教材衍化]
1．(必修2P110B组T2改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．
解析：由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.因为a>0，所以a＝－1＋.
答案：－1
2．(必修2P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________．
解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案：1
[易错纠偏]
(1)判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；
(2)判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；
(3)求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同．
1．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝________．
解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.
答案：2或－3
2．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________．
解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
答案：0或1
3．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．
解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
答案：
两条直线平行与垂直
(2020·金丽衢十二校高三联考)设两直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m＜－1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若l1∥l2，则(3＋m)(5＋m)＝4×2⇒m＝－1或－7，经检验，当m＝－1时，l1与l2重合，
所以m＝－7，故是充分不必要条件，故选A.
【答案】 A
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为( )
A．7 B．9
C．11 D．－7
解析：选A.由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.
距离公式(高频考点)
距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离．在高考中经常出现，试题难度不大．主要命题角度有：
(1)求距离；
(2)已知距离求参数值；
(3)距离公式的综合应用．
角度一 求距离
已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，)，则线段AB的长为________．
【解析】 依题意，a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)、B(－2y，y)，故，则A(4，8)、B(－4，2)，
所以|AB|＝＝10.
【答案】 10
角度二 已知距离求参数值
(1)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．[－10，10] B．[－10，5]
C．[－5，5] D．[0，10]
(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
【解析】 (1)由题意得，点P到直线的距离为
＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
(2)依题意知，＝≠，
解得a＝－4，c≠－2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
又两平行线之间的距离为，
所以＝，
因此c＝2或－6.
【答案】 (1)D (2)2或－6
角度三 距离公式的综合应用
(1)P点在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为，则P点的坐标为( )
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1)
D．(2，1)或(－1，2)
(2)在△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1
所以P点坐标为(1，2)或(2，－1)．
(2)由两点间距离公式可得|AC|＝，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝，所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝|－|，又1
【答案】 (1)C (2)
距离的求法
(1)点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行直线间的距离
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
②利用两平行线间的距离公式．
1．已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.
由于△ABC的面积为2，
则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.
由点到直线的距离公式得＝，
即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.
因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．
2．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．
解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋|，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.
答案：12x＋8y－15＝0
对称问题
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
【解】 (1)设A′(x，y)，由已知
解得所以A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4，3)．
又因为m′经过点N(4，3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
1．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)关于y轴对称的直线的方程为( )
A．Ax－By－C＝0 B．Ax＋By－C＝0
C．Ax－By＋C＝0 D．Bx＋Ay＋C＝0
解析：选A.因为点(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)，将直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)中的x用－x代换得
－Ax＋By＋C＝0，即Ax－By－C＝0，故选A.
2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．
解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.
答案：2
思想方法系列6 妙用直线系求直线方程
求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【解】 法一：将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(－1，2)．
由题意得直线l3的斜率为，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
则直线l的方程是y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋c＝0，
将直线l1，l2的方程联立，得解得
即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，
所以5×(－1)＋3×2＋c＝0，解得c＝－1，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，
整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，
解得λ＝，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
(1)本题中的法二、法三均是利用直线系设出直线l的方程，而法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l1与l2的交点坐标，方便简捷，是最优解法．
(2)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
直线l1：x＋y－4＝0与l2：x－y＋2＝0的交点为P，直线l：2x－y－1＝0.
(1)过P与l平行的直线方程为____________；
(2)过P与l垂直的直线方程为____________．
解析：由得
所以l1与l2的交点为(1，3)．
(1)设直线方程为2x－y＋c＝0，
则2－3＋c＝0，所以c＝1，
所以所求直线方程为2x－y＋1＝0.
(2)设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，
所以c＝－7，
所以所求直线方程为x＋2y－7＝0.
答案：(1)2x－y＋1＝0 (2)x＋2y－7＝0
[基础题组练]
1．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：y＝x＋2垂直，则a的值是( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选C.因为直线l2的斜率为，直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：y＝x＋2垂直，
所以直线l1的斜率等于－2，即＝－2，
所以a＝，故选C.
2．(2020·金华十校联考)“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.
3．(2020·义乌模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：选D.由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，1)．
又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.
4．已知点A(－1，2)，B(3，4)，P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为( )
A．15 B.
C．6 D.
解析：选D.设AB的中点坐标为M(1，3)，
kAB＝＝，
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．
即2x＋y－5＝0.
令y＝0，则x＝，即P点的坐标为，
|AB|＝＝2.
P到AB的距离为|PM|＝＝.
所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝.
5．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故选D.
6．两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是( )
A．(5，＋∞) B．(0，5]
C．(，＋∞) D．(0， ]
解析：选D.当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0， ]．故选D.
7．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．
解析：由题意可得两点间的距离d＝
＝≥，即最小值为.
答案：
8．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝________．
解析：在直线x＋2y－3＝0上取两点P1(1，1)、P2(3，0)，
则P1、P2关于点A的对称点P′1、P′2都在直线ax＋4y＋b＝0上．因为易知P′1(1，－1)、P′2(－1，0)，
所以所以b＝2.
答案：2
9．(2020·瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y＝2x－3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m，n)的连线，于是
解得所以m＋n＝.
答案：
10．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知m∈R，若点M(x，y)为直线l1：my＝－x和l2：mx＝y＋m－3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|·|MB|的最大值为________．
解析：动直线l1：my＝－x过定点A(0，0)，
动直线l2：mx＝y＋m－3化为m(x－1)－(y－3)＝0，得x＝1，y＝3，过定点B(1，3)．
因为此两条直线互相垂直，
所以|MA|2＋|BM|2＝|AB|2＝10，
所以10≥2|MA|·|MB|，
所以|MA|·|BM|≤5，
当且仅当|MA|＝|MB|时取等号．
答案：5
11．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－＋，
因为a2≥0，所以b≤0.
又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，
显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，
当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.
12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝或λ＝2.
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝.
[综合题组练]
1．(2020·温州八校联考)已知M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，则a＝( )
A．－6或－2 B．－6
C．2或－6 D．－2
解析：选A.集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B(－1，0)的直线ax＋2y＋a＝0，因为M∩N＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax＋2y＋a＝0与直线3x－y－3＝0相交于点A(2，3)．因此＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.
2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A.由题意知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1.
又直线x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0的距离d＝，
所以d2＝＝＝＝－2c，
而0≤c≤，所以－2×≤－2c≤－2×0，得≤－2c≤，所以≤d≤.
3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是________．
解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.所以b＝3－4k＋b，解得k＝.所以直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，设直线l上的一点P，则点P关于点(2，3)的对称点为，所以6－b－m＝(4－m)＋b＋，解得b＝.所以直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.
答案：6x－8y＋1＝0
4．(2020·宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为________．
解析：因为f(x)＝＋＝＋，所以f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．
要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5.
答案：5
5．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明：l1与l2相交；
(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
证明：(1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.
此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．
(2)由方程组
解得交点P的坐标(x，y)为
而2x2＋y2＝2＋＝＝1.
即P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
6．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)因为点B与A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)．
由题意，得·＝－，
化简，得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M，N的坐标分别为(3，yM)，(3，yN)．
则直线AP的方程为y－1＝(x＋1)，
直线BP的方程为y＋1＝(x－1)．
令x＝3，得yM＝，yN＝.
于是△PMN的面积
S△PMN＝|yM－yN|(3－x0)＝.
又直线AB的方程为x＋y＝0，|AB|＝2，
点P到直线AB的距离d＝.
于是△PAB的面积
S△PAB＝|AB|·d＝|x0＋y0|.
当S△PAB＝S△PMN时，
得|x0＋y0|＝.
又|x0＋y0|≠0.
所以(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝.
因为x＋3y＝4，所以y0＝±.
故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为.
法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，
则|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|·sin∠MPN.
因为sin∠APB＝sin∠MPN，
所以＝，所以＝，
即(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝.
因为x＋3y＝4，所以y0＝±.
故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为.
第2讲 两直线的位置关系
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件
两直线的位置关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2
平行
k1＝k2
k1与k2都不存在
垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、另一个不存在
2.两直线的交点
3．三种距离
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
4.几种常见的直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[教材衍化]
1．(必修2P110B组T2改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．
解析：由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.因为a>0，所以a＝－1＋.
答案：－1
2．(必修2P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________．
解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案：1
[易错纠偏]
(1)判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；
(2)判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；
(3)求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同．
1．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝________．
解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.
答案：2或－3
2．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________．
解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
答案：0或1
3．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．
解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
答案：
两条直线平行与垂直
(2020·金丽衢十二校高三联考)设两直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m＜－1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若l1∥l2，则(3＋m)(5＋m)＝4×2⇒m＝－1或－7，经检验，当m＝－1时，l1与l2重合，
所以m＝－7，故是充分不必要条件，故选A.
【答案】 A
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为( )
A．7 B．9
C．11 D．－7
解析：选A.由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.
距离公式(高频考点)
距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离．在高考中经常出现，试题难度不大．主要命题角度有：
(1)求距离；
(2)已知距离求参数值；
(3)距离公式的综合应用．
角度一 求距离
已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，)，则线段AB的长为________．
【解析】 依题意，a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)、B(－2y，y)，故，则A(4，8)、B(－4，2)，
所以|AB|＝＝10.
【答案】 10
角度二 已知距离求参数值
(1)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．[－10，10] B．[－10，5]
C．[－5，5] D．[0，10]
(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
【解析】 (1)由题意得，点P到直线的距离为
＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
(2)依题意知，＝≠，
解得a＝－4，c≠－2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
又两平行线之间的距离为，
所以＝，
因此c＝2或－6.
【答案】 (1)D (2)2或－6
角度三 距离公式的综合应用
(1)P点在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为，则P点的坐标为( )
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1)
D．(2，1)或(－1，2)
(2)在△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1
所以P点坐标为(1，2)或(2，－1)．
(2)由两点间距离公式可得|AC|＝，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝，所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝|－|，又1
【答案】 (1)C (2)
距离的求法
(1)点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行直线间的距离
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
②利用两平行线间的距离公式．
1．已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.
由于△ABC的面积为2，
则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.
由点到直线的距离公式得＝，
即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.
因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．
2．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．
解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋|，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.
答案：12x＋8y－15＝0
对称问题
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
【解】 (1)设A′(x，y)，由已知
解得所以A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4，3)．
又因为m′经过点N(4，3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
1．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)关于y轴对称的直线的方程为( )
A．Ax－By－C＝0 B．Ax＋By－C＝0
C．Ax－By＋C＝0 D．Bx＋Ay＋C＝0
解析：选A.因为点(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)，将直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)中的x用－x代换得
－Ax＋By＋C＝0，即Ax－By－C＝0，故选A.
2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．
解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.
答案：2
思想方法系列6 妙用直线系求直线方程
求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【解】 法一：将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(－1，2)．
由题意得直线l3的斜率为，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
则直线l的方程是y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋c＝0，
将直线l1，l2的方程联立，得解得
即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，
所以5×(－1)＋3×2＋c＝0，解得c＝－1，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，
整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，
解得λ＝，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
(1)本题中的法二、法三均是利用直线系设出直线l的方程，而法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l1与l2的交点坐标，方便简捷，是最优解法．
(2)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
直线l1：x＋y－4＝0与l2：x－y＋2＝0的交点为P，直线l：2x－y－1＝0.
(1)过P与l平行的直线方程为____________；
(2)过P与l垂直的直线方程为____________．
解析：由得
所以l1与l2的交点为(1，3)．
(1)设直线方程为2x－y＋c＝0，
则2－3＋c＝0，所以c＝1，
所以所求直线方程为2x－y＋1＝0.
(2)设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，
所以c＝－7，
所以所求直线方程为x＋2y－7＝0.
答案：(1)2x－y＋1＝0 (2)x＋2y－7＝0
[基础题组练]
1．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：y＝x＋2垂直，则a的值是( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选C.因为直线l2的斜率为，直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：y＝x＋2垂直，
所以直线l1的斜率等于－2，即＝－2，
所以a＝，故选C.
2．(2020·金华十校联考)“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.
3．(2020·义乌模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：选D.由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，1)．
又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.
4．已知点A(－1，2)，B(3，4)，P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为( )
A．15 B.
C．6 D.
解析：选D.设AB的中点坐标为M(1，3)，
kAB＝＝，
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．
即2x＋y－5＝0.
令y＝0，则x＝，即P点的坐标为，
|AB|＝＝2.
P到AB的距离为|PM|＝＝.
所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝.
5．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故选D.
6．两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是( )
A．(5，＋∞) B．(0，5]
C．(，＋∞) D．(0， ]
解析：选D.当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0， ]．故选D.
7．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．
解析：由题意可得两点间的距离d＝
＝≥，即最小值为.
答案：
8．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝________．
解析：在直线x＋2y－3＝0上取两点P1(1，1)、P2(3，0)，
则P1、P2关于点A的对称点P′1、P′2都在直线ax＋4y＋b＝0上．因为易知P′1(1，－1)、P′2(－1，0)，
所以所以b＝2.
答案：2
9．(2020·瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y＝2x－3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m，n)的连线，于是
解得所以m＋n＝.
答案：
10．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知m∈R，若点M(x，y)为直线l1：my＝－x和l2：mx＝y＋m－3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|·|MB|的最大值为________．
解析：动直线l1：my＝－x过定点A(0，0)，
动直线l2：mx＝y＋m－3化为m(x－1)－(y－3)＝0，得x＝1，y＝3，过定点B(1，3)．
因为此两条直线互相垂直，
所以|MA|2＋|BM|2＝|AB|2＝10，
所以10≥2|MA|·|MB|，
所以|MA|·|BM|≤5，
当且仅当|MA|＝|MB|时取等号．
答案：5
11．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－＋，
因为a2≥0，所以b≤0.
又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，
显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，
当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.
12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝或λ＝2.
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝.
[综合题组练]
1．(2020·温州八校联考)已知M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，则a＝( )
A．－6或－2 B．－6
C．2或－6 D．－2
解析：选A.集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B(－1，0)的直线ax＋2y＋a＝0，因为M∩N＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax＋2y＋a＝0与直线3x－y－3＝0相交于点A(2，3)．因此＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.
2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A.由题意知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1.
又直线x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0的距离d＝，
所以d2＝＝＝＝－2c，
而0≤c≤，所以－2×≤－2c≤－2×0，得≤－2c≤，所以≤d≤.
3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是________．
解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.所以b＝3－4k＋b，解得k＝.所以直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，设直线l上的一点P，则点P关于点(2，3)的对称点为，所以6－b－m＝(4－m)＋b＋，解得b＝.所以直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.
答案：6x－8y＋1＝0
4．(2020·宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为________．
解析：因为f(x)＝＋＝＋，所以f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．
要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5.
答案：5
5．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明：l1与l2相交；
(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
证明：(1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.
此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．
(2)由方程组
解得交点P的坐标(x，y)为
而2x2＋y2＝2＋＝＝1.
即P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
6．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)因为点B与A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)．
由题意，得·＝－，
化简，得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M，N的坐标分别为(3，yM)，(3，yN)．
则直线AP的方程为y－1＝(x＋1)，
直线BP的方程为y＋1＝(x－1)．
令x＝3，得yM＝，yN＝.
于是△PMN的面积
S△PMN＝|yM－yN|(3－x0)＝.
又直线AB的方程为x＋y＝0，|AB|＝2，
点P到直线AB的距离d＝.
于是△PAB的面积
S△PAB＝|AB|·d＝|x0＋y0|.
当S△PAB＝S△PMN时，
得|x0＋y0|＝.
又|x0＋y0|≠0.
所以(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝.
因为x＋3y＝4，所以y0＝±.
故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为.
法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，
则|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|·sin∠MPN.
因为sin∠APB＝sin∠MPN，
所以＝，所以＝，
即(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝.
因为x＋3y＝4，所以y0＝±.
故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为.
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