高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 机械能守恒定律导学案

8.4机械能守恒定律  习题课

【学习目标】

1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定.

2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式.

3.在多个物体组成的系统中，会应用机械能守恒定律解决相关问题.

4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别.

【知识要点】

一、判断机械能是否守恒的方法

(1)做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统机械能守恒，具体有三种表现：

①只受重力、弹力，不受其他力；

②除受重力、弹力外还受其他力，其他力不做功；

③除重力、弹力外还有其他力做功，但其他力做功的代数和为零.

(2)能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒.

二、多物体组成的系统机械能守恒问题

1.多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的.

2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.

3.机械能守恒定律表达式的选取技巧

(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解.

(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：

①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解.

②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解.

【题型分类】

题型一、判断机械能是否守恒

【例1】如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球.给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动.在此过程中(　　)

A.小球的机械能守恒

B.重力对小球不做功

C.轻绳的张力对小球不做功

D.在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量

【答案】　C

【解析】　斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错，C对；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错.

【同类练习】

 1．竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图6所示.则迅速放手后(不计空气阻力)(　　)

A.放手瞬间小球的加速度等于重力加速度

B.小球、弹簧与地球组成的系统机械能守恒

C.小球的机械能守恒

D.小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大

【答案】　BD

【解析】　放手瞬间小球的加速度大于重力加速度，A错；整个系统(包括地球)的机械能守恒，B对，C错；向下运动过程中，由于重力势能减小，所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大，D正确.

题型二、多物体组成的系统机械能守恒问题

【例2】如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮.开始时两物块都位于与地面距离为的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落.若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值.滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计.

解答：设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得：

A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒，则：

解得：

【同类练习】

1.如图所示，小物体A和B通过轻质弹簧和轻绳跨过光滑定滑轮连接，初状态在外力控制下系统保持静止，轻弹簧处于原长，且轻弹簧上端离滑轮足够远，A离地面足够高，物体A和B同时从静止释放，释放后短时间内B能保持静止，A下落h高度时，B开始沿斜面上滑，则下列说法中正确的是(　　)

A.B滑动之前，A机械能守恒

B.B滑动之前，A机械能减小

C.B滑动之前，A、B组成的系统机械能守恒

D.B 滑动之后，A、B组成的系统机械能守恒

【答案】　B

【解析】　B滑动之前，A下落时，绳子的拉力对A做负功，A的机械能不守恒，由功能关系知，A的机械能减小，故A错误，B正确；B滑动之前，A的机械能减小，B的机械能不变，则A、B组成的系统机械能减小，故C错误；B滑动之后，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则A、B组成的系统机械能不守恒，故D错误.

题型三、机械能守恒定律与动能定理的综合应用

【例3】物块A的质量为m＝2 kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑.坡道顶端距水平面高度为h＝1 m，倾角为θ＝37°.物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端固定在水平滑道M处，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图11所示.物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)物块滑到O点时的速度大小；

(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；

(3)物块A被弹回到坡道后上升的最大高度.

【答案】　(1)2 m/s　(2)4 J　(3) m

【解析】　(1)由动能定理得mgh－＝mv2

代入数据解得v＝2 m/s

(2)在水平滑道上，由机械能守恒定律得mv2＝Ep

代入数据得Ep＝4 J

(3)设物块A能够上升的最大高度为h1，物块被弹回过程中由动能定理得

0－mv2＝－mgh1－

代入数据解得h1＝ m.

【同类练习】

1.如图所示，光滑细圆管轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，C为半圆的最高点．有一质量为m，半径较管道略小的光滑的小球以水平初速度v0射入圆管．

(1)若要小球从C端出来，初速度v0应满足什么条件？

(2)在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种情况，初速度v0各应满足什么条件？

解析　(1)小球恰好能达到最高点的条件是vC＝0，由机械能守恒定律，此时需要初速度v0满足mv＝mg·2R，得v0＝2，因此要使小球能从C端出来需满足入射速度v0＞2.

(2)小球从C端出来瞬间，对管壁作用力可以有三种情况：

①刚好对管壁无作用力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识mg＝m.

由机械能守恒定律，mv＝mg·2R＋mv，联立解得v0＝.

②对下管壁有作用力，此时应有mg＞m，

此时相应的入射速度v0应满足2＜v0＜.

③对上管壁有作用力，此时应有mg＜m，

此时相应的入射速度v0应满足v0＞.

【成果巩固训练】

1．下列各种运动过程中，物体机械能守恒的是(忽略空气阻力)(　　)

A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程

B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程

C．在一根细线的中央悬挂着一个物体，双手拉着细线慢慢分开的过程

D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程

【答案】D

【解析】：将箭搭在弦上，拉弓的整个过程中，拉力对箭做功，故机械能不守恒，故A错误；过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，动能不变，重力势能变大，故机械能不守恒，故B错误；在一根细线的中央悬挂着一物体，双手拉着细线慢慢分开的过程，动能不变，重力势能增大，故机械能不守恒，故C错误；笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，故机械能守恒，故D正确；故选D。

2.如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项错误的是(　　)

A．物体落到海平面时的势能为mgh              B．重力对物体做的功为mgh

C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh          D．物体在海平面上的机械能为mv

【答案】A

【解析】：若以地面为参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，所以A选项错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，因而B正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，有mv＝－mgh＋Ek，在海平面上的动能为Ek＝mv＋mgh ，C选项正确；在地面处的机械能为mv，因此在海平面上的机械能也为mv，D选项正确。

3.一小球以一定的初速度从图示位置进入竖直光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为(　　)

A．2mg　 B．3mg　

C．4mg　 D．5mg

【答案】C

【解析】：小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝mv－mv，解得F＝4mg，C项正确。

4．如图，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法正确的是(　　)

A．球1的机械能守恒 B．球6在OA段机械能增大

C．球6的水平射程最大 D．有三个球落地点相同

【答案】BD

【解析】：6个小球都在斜面上运动时，只有重力做功，整个系统的机械能守恒，当有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，球2对1的作用力做功，故球1的机械能不守恒，故A错误；球6在OA段运动时，斜面上的小球在加速，球5对球6的作用力做正功，动能增加，机械能增大，故B正确；由于有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，所以可知离开A点时球6的速度最小，水平射程最小，故C错误；最后三个球在水平面上运动时不再加速，3、2、1的速度相等，水平射程相同，落地点位置相同，故D正确，故选B、D。

5.如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上其正上方A位置有一只小球小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零小球下降阶段下列说法中正确的是　　

A．在B位置小球动能最大

B．在C位置小球动能最大

C．从位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加

D．从位置小球重力势能的减少大于弹簧弹性势能的增加

【答案】B

【解析】

【详解】

小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速，C到D，重力小于弹力，合力向上，小球减速，故在C点动能最大，故A错误，B正确；小球下降过程中，重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒；从位置小球重力势能的减少等于动能增加量和弹性势能增加量之和，故C错误；小球下降过程中，重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒；从位置，动能变化量为零，故小球重力势能的减小等于弹性势能的增加，故D错误。所以B正确，ACD错误。

6．长为L的轻杆可绕O在竖直平面内无摩擦转动，质量为M的小球A固定于杆端点，质点为m的小球B固定于杆中点，且M=2m，开始杆处于水平，由静止释放，当杆转到竖直位置时（  ）

A．由于M>m，球A对轻杆做正功

B．球A在最低点速度为

C．OB杆的拉力大于BA杆的拉力

D．球B对轻杆做功

【答案】BCD

【解析】

【详解】

在转动过程中，A、B两球的角速度相同，设C球的速度为vC，B球的速度为vB，则有vA=2vB
以A、B和杆组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律，得
 
联立可以求出： ， 
设杆对A、B两球作功分别为WA，WB。根据动能定理得：
对A： 
对B： 
解得：WA=mgL，WB=-mgL，则球A对轻杆做负功，球B对轻杆做功mgL，故BD正确，A错误。当杆转到竖直位置时B的向心力向上，而向心力由B的合力提供，可知OB杆的拉力大于BA杆的拉力。故C正确。故选BCD。

7．如图所示，两个可视为质点的小球a、b的质量均为m，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，轻杆长度为L. a套在另一根固定的光滑竖直杆上，b放在光滑水平地面上，开始时a、b之间的轻杆可以认为是竖直静止的，在轻微扰动下，a向下运动，b向右运动，不计一切摩擦，重力加速度大小为g. 则

A．a落地前，轻杆对b一直做正功

B．a落地时速度大小为

C．a下落过程中的某个时刻，其加速度大小可能等于g

D．a落地前，当a的机械能最小时，杆对b所做的功为

【答案】BCD

【解析】

【详解】

A.b开始时速度为零，当a到达底端时，b的速度又为零，所以在整个过程中，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，由动能定理可知轻杆对b先做正功，后做负功，故A错误；

B. a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统的机械能守恒得：，解得，故B正确；

 C.由于b的速度先增加后减小，存在速度最大的时刻，该时刻合力为零，故杆的弹力为零，故此时a只受重力，加速度为g，故C正确；

 D.当a的机械能最小时，b的速度最大。设杆与竖直方向的夹角为α时a、b的速度分别为va和vb．则有 vacosα=vbsinα

a、b整体的机械能守恒，则有 mg（L-Lcosα）=

联立得 =mgL（cos2α-cos3α）

两边求导得 （）′=mgL（-2cosαsinα+3cos2αsinα）

当（）′=0，得 cosα=，的最大值为，对b球，由动能定理知当a的机械能最小时，杆对b所做的功为，故D正确；

8．为了研究过山车的原理，某同学设计了如下模型：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.5 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R=0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量m=2 kg小物块，当从A点以初速度v0=6 m/s沿倾斜轨道滑下，到达C点时速度vC=4 m/s。取g=10 m/s2，sin37°=0.60，cos37°=0.80。

（1）小物块到达C点时，求圆轨道对小物块支持力的大小；

（2）求小物块从A到B运动过程中，摩擦力对小物块所做的功；

（3）小物块要能够到达竖直圆弧轨道的最高点，求沿倾斜轨道滑下时在A点的最小初速度vA。

【答案】(1) N=180 N (2) Wf=−50 J (3) m/s

【解析】

【详解】

（1）在C点时，设圆轨道对小物块支持力的大小为N，则：

解得

N=180 N

（2）设A→B过程中摩擦力对小物块所做的功为Wf，小物块A→B→C的过程，有

解得

Wf=−50 J。

（3）小物块要能够到达竖直圆弧轨道的最高点，设在最高点的速度最小为vm，则：

小物块从A到竖直圆弧轨道最高点的过程中，有

解得

m/s

9．如图所示，竖直平面内半径为R的光滑半圆形轨道，与水平轨道AB相连接，AB的长度为x．一质量为m的小球，在水平恒力F作用下由静止开始从A向B运动，小球与水平轨道间的动摩擦因数为μ，到B点时撤去力F，小球沿圆轨道运动到最高点时对轨道的压力为2mg，重力加速度为g．求：

(1)小球在C点的加速度大小；

(2)小球运动至B点时的速度大小；

(3)恒力F的大小．

【答案】(1)  (2)   (3)

【解析】

【分析】

【详解】

（1）由牛顿第三定律知在C点，轨道对小球的弹力为：

F=2mg

小球C点时，受到重力和和轨道对球向下的弹力，由牛顿第二定律得：

解得：

a=3g

（2）设小球在B、C两点的速度分别为

在C点有：

解得：

从B到C过程中，由机械能守恒定律得：

解得：

（3）从A到B过程中，由动能定理得：

解得：

10．如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下．求

(1)球B到最低点时的速度是多大？

(2)当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功?

【答案】-0.2mgL，0.2mgL

【解析】

如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒．

(1)若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得：①

又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故②

由①②式得：.

(2)根据动能定理，可解出杆对A、B做的功．

对于A有：，即：

对于B有：，即：.

答案：轻杆对A、B两球分别做的功为：、