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北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试测试题
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这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试测试题，共21页。试卷主要包含了对角线互相垂直平分的四边形是等内容，欢迎下载使用。
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 复习测试
一．选择题
1．对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
3．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则▱ABCD是正方形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC
5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE
6．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
7．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
9．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
10．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
二．填空题
13．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AC＝8，BC＝6，则CE＝ ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 度．
17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF交于点O．则EG2+FH2= ．
18．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝___ ．
三．解答题
19．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．
20．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
21．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长．
23．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
24．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）
25．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE．
【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE＝FG．
（2）连接CM，若CM＝1，则FG的长为 ．
【应用】如图③，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为 ．
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 复习测试答案提示
一．选择题
1．对角线互相垂直平分的四边形是（ ）选：B．
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）选：D．
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
3．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（ ）选：B．
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则▱ABCD是正方形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）选：D．
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC
5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）选：D．
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE D．AE＝CE
6．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）选：A．
A．2 B． C．6 D．8
7．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（ ）选：A．
A．75° B．60° C．55° D．45°
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是（ ）选：C．
A．14 B．16 C．18 D．20
9．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（ ）选：D．
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
10．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（ ）选：C．
A．7 B．8 C．7 D．7
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAE+∠DAG＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF，
同理：∠ABE＝∠DAG＝∠CDF＝∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG＝∠CDF+∠ADG＝90°，
即∠DGA＝90°，
同理：∠CHB＝90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE＝DG，BE＝AG，
同理：AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12，
∴EG＝GF＝FH＝EF＝12﹣5＝7，
∵∠GEH＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF＝EG＝7；
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）选：D．
A．6 B．12 C．18 D．24
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）选：D．
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
二．填空题
13．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AC＝8，BC＝6，则CE＝ 5 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 EB＝DC ，使四边形DBCE是矩形．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 65 度．
17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF交于点O．则EG2+FH2= ．
答案 36
解析 连接EF，FG，GH，HE，
∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF∥AC∥GH，EF=GH=12AC=3，
EH∥BD∥FG，EH=FG=12BD=3，
∴EF=FG=GH=EH，∴四边形EFGH是菱形．
∴EG⊥FH，OE=OG，OH=OF．
∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36．
18．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝__2n＋1__．
三．解答题
19．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．
证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA＝∠DCA，
∵CE＝CF，AC＝AC，
∴△ECA≌△FCA（SAS），
∴AE＝AF．
20．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
21．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵DG＝BG，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO＝OC，
∴，
∴OM＝ON．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC＝AB＝6，
∴BO＝＝2，
∴，
∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝8，
∴△BDE的周长是：
BD+DE+BE
＝BD+AC+（BC+CE）
＝4+8+（6+6）
＝20
即△BDE的周长是20．
23．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠QAE＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ＝∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF，
由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，
∠ADF+∠ABD＝90°，
则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，
∴EF2＝BE2+DF2．
24．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE＝ 3.5 cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝ 2 cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCG＝∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
，
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FG＝EG，
∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝3，
∴BM＝1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，
∵AE＝3.5，
∴DE＝1.5＝BM，
在△MBA和△EDC中，
，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：3.5；
②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝5，AE＝2，
∴DE＝3，
∵CD＝3，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：2．
25．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE．
【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE＝FG．
（2）连接CM，若CM＝1，则FG的长为 2 ．
【应用】如图③，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为 9 ．
解：感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠CBE，
在△ABF和△BCE中，，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如图②，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG＝AB，
∴PG＝BC，
同感知的方法得，∠PGF＝∠CBE，
在△PGF和△CBE中，，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴BE＝FG，
（2）由（1）知，FG＝BE，
连接CM，
∵∠BCE＝90°，点M是BE的中点，
∴BE＝2CM＝2，
∴FG＝2，
故答案为：2．
应用：同探究（2）得，BE＝2ME＝2CM＝6，
∴ME＝3，
同探究（1）得，CG＝BE＝6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM＝CG×ME＝×6×3＝9，
故答案为9．
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 复习测试
一．选择题
1．对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
3．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则▱ABCD是正方形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC
5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE
6．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
7．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
9．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
10．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
二．填空题
13．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AC＝8，BC＝6，则CE＝ ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 度．
17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF交于点O．则EG2+FH2= ．
18．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝___ ．
三．解答题
19．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．
20．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
21．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长．
23．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
24．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）
25．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE．
【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE＝FG．
（2）连接CM，若CM＝1，则FG的长为 ．
【应用】如图③，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为 ．
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 复习测试答案提示
一．选择题
1．对角线互相垂直平分的四边形是（ ）选：B．
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）选：D．
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
3．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（ ）选：B．
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则▱ABCD是正方形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）选：D．
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC
5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）选：D．
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE D．AE＝CE
6．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）选：A．
A．2 B． C．6 D．8
7．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（ ）选：A．
A．75° B．60° C．55° D．45°
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是（ ）选：C．
A．14 B．16 C．18 D．20
9．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（ ）选：D．
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
10．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（ ）选：C．
A．7 B．8 C．7 D．7
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAE+∠DAG＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF，
同理：∠ABE＝∠DAG＝∠CDF＝∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG＝∠CDF+∠ADG＝90°，
即∠DGA＝90°，
同理：∠CHB＝90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE＝DG，BE＝AG，
同理：AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12，
∴EG＝GF＝FH＝EF＝12﹣5＝7，
∵∠GEH＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF＝EG＝7；
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）选：D．
A．6 B．12 C．18 D．24
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）选：D．
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
二．填空题
13．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AC＝8，BC＝6，则CE＝ 5 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 EB＝DC ，使四边形DBCE是矩形．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 65 度．
17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF交于点O．则EG2+FH2= ．
答案 36
解析 连接EF，FG，GH，HE，
∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF∥AC∥GH，EF=GH=12AC=3，
EH∥BD∥FG，EH=FG=12BD=3，
∴EF=FG=GH=EH，∴四边形EFGH是菱形．
∴EG⊥FH，OE=OG，OH=OF．
∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36．
18．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝__2n＋1__．
三．解答题
19．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．
证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA＝∠DCA，
∵CE＝CF，AC＝AC，
∴△ECA≌△FCA（SAS），
∴AE＝AF．
20．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
21．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵DG＝BG，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO＝OC，
∴，
∴OM＝ON．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC＝AB＝6，
∴BO＝＝2，
∴，
∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝8，
∴△BDE的周长是：
BD+DE+BE
＝BD+AC+（BC+CE）
＝4+8+（6+6）
＝20
即△BDE的周长是20．
23．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠QAE＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ＝∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF，
由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，
∠ADF+∠ABD＝90°，
则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，
∴EF2＝BE2+DF2．
24．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE＝ 3.5 cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝ 2 cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCG＝∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
，
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FG＝EG，
∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝3，
∴BM＝1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，
∵AE＝3.5，
∴DE＝1.5＝BM，
在△MBA和△EDC中，
，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：3.5；
②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝5，AE＝2，
∴DE＝3，
∵CD＝3，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：2．
25．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE．
【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE＝FG．
（2）连接CM，若CM＝1，则FG的长为 2 ．
【应用】如图③，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为 9 ．
解：感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠CBE，
在△ABF和△BCE中，，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如图②，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG＝AB，
∴PG＝BC，
同感知的方法得，∠PGF＝∠CBE，
在△PGF和△CBE中，，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴BE＝FG，
（2）由（1）知，FG＝BE，
连接CM，
∵∠BCE＝90°，点M是BE的中点，
∴BE＝2CM＝2，
∴FG＝2，
故答案为：2．
应用：同探究（2）得，BE＝2ME＝2CM＝6，
∴ME＝3，
同探究（1）得，CG＝BE＝6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM＝CG×ME＝×6×3＝9，
故答案为9．
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