高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数第1课时精练

课后素养落实(十六)　函数的导数与极值

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列结论中，正确的是(　　)

A．导数为零的点一定是极值点

B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值

C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值

D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值

B　[根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．]

2．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)

A．x＝为f(x)的极大值点

B．x＝为f(x)的极小值点

C．x＝2为f(x)的极大值点

D．x＝2为f(x)的极小值点

D　[f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，

当x∈(0，2)时，f′(x)<0，

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0．

因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D．]

3．若x＝1是函数f(x)＝ex－ax的极值点，则方程f(x)＝a在(2，＋∞)的不同实根个数为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0

A　[由f′(x)＝ex－a，得f′(1)＝e－a＝0，则a＝e，f(x)＝ex－ex，

函数f(x)在(2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，

f(2)＝e2－2e<e，函数y＝f(x)与y＝a的交点个数为1个，故选A．]

4．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为(　　)

A．(3，－3) B．(－4，11)

C．(3，－3)或(－4，11) D．不存在

B　[f′(x)＝3x2－2ax－b，

∵当x＝1时，f(x)有极值10，

∴

解得或

验证知当a＝3，b＝－3时，在x＝1处无极值，

∴a＝－4，b＝11．]

5．函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0，3) B．(－∞，3)

C．(0，＋∞) D．

D　[令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±．

由题意知，当a>0时，有∈(0，1)，即0<<1，解得0<a<．当a＝0和a<0时，f(x)在(0，1)内无极小值，不符题意，故选D．]

二、填空题

6．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．

y＝－　[令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，

得x＝－1，∴y＝－，

∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－．]

7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数的极小值是________．

2　[由题图可知，当x<0时，f′(x)<0，

当0<x<2时，f′(x)>0，故当x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝2．]

8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．

(－∞，－1)　[∵y＝ex＋ax，

∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，

即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1．]

三、解答题

9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．

(1)确定常数a和b的值；

(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

[解]　(1)因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，

所以f′(x)＝＋2bx＋1．

依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，即

解方程组得a＝－，b＝－．

(2)由(1)知，f(x)＝－ln x－x2＋x(x>0)，

故f′(x)＝－－x＋1＝．

当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0．

故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln 2．

所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．

10．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．

[解]　因为f(x)＝，x>0，

则f′(x)＝－，

当0<x<1时，f′(x)>0，

当x>1时，f′(x)<0．

所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．

因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，

所以解得<a<1．

1．(多选题)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图像如图所示，则下面结论正确的是(　　)

A．在(1，2)上函数f(x)为增函数

B．在(3，4)上函数f(x)为减函数

C．在(1，3)上函数f(x)有极大值

D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点

ABC　[由图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，

当2＜x＜4时，f′(x)＜0，

当4＜x＜5时，f′(x)＞0，

∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]

2．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x等于(　　)

A．  B．  C．  D．

C　[函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3－3x2＋2x的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝．]

3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1，0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．

　0　[f′(x)＝3x2－2px－q，

依题意知，∴

解得p＝2，q＝－1．

∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，

令f′(x)＝0，得x＝1或x＝．

∴当x∈时，f′(x)>0，

当x∈时，f′(x)<0，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，

∴当x＝时，函数有极大值f ＝－2×＋＝，

当x＝1时，函数有极小值f(1)＝1－2＋1＝0．]

4．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)上有两个极值点，则实数m的取值范围为________．

(3，＋∞)　[f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6．

因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，

所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)上与x轴有两个不同的交点，

如图所示．

所以

解得m>3．故实数m的取值范围是(3，＋∞)．]

设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a．

(1)求f(x)的极值；

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？

[解]　(1)∵f′(x)＝3x2－2x－1，

令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1．

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

∴f(x)的极大值是f ＝＋a，

极小值是f(1)＝a－1．

(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，

由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，

x取足够小的负数时，有f(x)<0，

∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．

由(1)知f(x)极大值＝f ＝＋a，

f(x)极小值＝f(1)＝a－1．

∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，

∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，

即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，

∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．